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Wurzel_Ableitung
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Wurzel Ableitung

Bilden Sie die Ableitungsfunktion f' der Wurzelfunktion $ \wurzel{x} $ nur unter Benutzung der Definition des Differentialquotienten.


Du kennst den Differentialquotienten:

$ f'(x_{0})=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h $

Hier $ f(x)=\wurzel{x} $

Also:

$ f'(x_{0})=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{\wurzel{x_{0}+h}-\wurzel{x_{0}}}{h} $


Für die Umformungen, deren Ziel es ist, h=0 einsetzen zu können (also es aus dem Nenner zu entfernen), lasse ich mal den Limes weg.

$ \bruch{\wurzel{x_{0}+h}-\wurzel{x_{0}}}{h} $
$ =\bruch{(\wurzel{x_{0}+h}-\wurzel{x_{0}})(\wurzel{x_{0}+h}+\wurzel{x_{0}})}{h(\wurzel{x_{0}+h}+\wurzel{x_{0}})} $
$ =\bruch{(\wurzel{x_{0}+h})²-(\wurzel{x_{0}})²}{h(\wurzel{x_{0}+h}+\wurzel{x_{0}})} $
$ =\bruch{x_{0}+h-x_{0}}{h(\wurzel{x_{0}+h}+\wurzel{x_{0}})} $
$ =\bruch{h}{h(\wurzel{x_{0}+h}+\wurzel{x_{0}})} $
$ =\bruch{1}{\wurzel{x_{0}+h}+\wurzel{x_{0}}} $

Jetzt kannst du, ohne dass der Nenner Null wird, h=0 setzen, also:

$ f'(x_{0})=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{\wurzel{x_{0}+h}-\wurzel{x_{0}}}{h} $
$ =\limes_{h\rightarrow0}\bruch{1}{\wurzel{x_{0}+h}+\wurzel{x_{0}}} $
$ =\bruch{1}{\wurzel{x_{0}+\red{0}}+\wurzel{x_{0}}} $
$ =\bruch{1}{\wurzel{x_{0}}+\wurzel{x_{0}}} $
$ =\bruch{1}{2\cdot{}\wurzel{x_{0}}} $

Letzte Änderung: Do 05.02.2009 um 14:28 von informix
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