2 Partialbruchzerlegungen < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:20 So 21.11.2010 | | Autor: | jensiboy |
| Aufgabe 1 | | [mm] \bruch{1}{s^3(s^2+1))} [/mm] |
| Aufgabe 2 | | [mm] \bruch{1}{1-z^-1}*\bruch{1}{1-z^-1} [/mm] |
Hallo.
Ich soll von den beiden Funktionen eine Parzialbruchzerlegung machen. Die Lösung der erste sollte
[mm] \bruch{1}{s^3} [/mm] + [mm] \bruch{s}{(s^2+1)} [/mm] - [mm] \bruch{1}{s}
[/mm]
sein. Nur wie kommt man nun darauf ?
Immer wenn ich eine Zerlegung mach, kann ich nicht die Koeffizienten berechnen, da ich auf der rechten Seite meiner Gleichung keine Konstanten Glieder übrig habe und auf der linken Seite nur eine 1 steht. Bei der 2. Aufgabe ist das Gleiche Problem.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Grüße, Jens
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Hallo jensiboy,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]\bruch{1}{s^3(s^2+1))}[/mm]
> [mm]\bruch{1}{1-z^-1}*\bruch{1}{1-z^-1}[/mm]
> Hallo.
>
> Ich soll von den beiden Funktionen eine
> Parzialbruchzerlegung machen. Die Lösung der erste sollte
>
> [mm]\bruch{1}{s^3}[/mm] + [mm]\bruch{s}{(s^2+1)}[/mm] - [mm]\bruch{1}{s}[/mm]
>
> sein. Nur wie kommt man nun darauf ?
Den Ansatz macht man gemäß der ![[]](/images/popup.gif) Partialbruchzerlegung.
In Fall der Aufgabe 1:
[mm]\bruch{1}{s^{3}*\left(s^{2}+1\right)}=\bruch{A}{s}+\bruch{B}{s^{2}}+\bruch{C}{s^{3}}+\bruch{D*s+E}{s^{2}+1}[/mm]
> Immer wenn ich eine Zerlegung mach, kann ich nicht die
> Koeffizienten berechnen, da ich auf der rechten Seite
> meiner Gleichung keine Konstanten Glieder übrig habe und
> auf der linken Seite nur eine 1 steht. Bei der 2. Aufgabe
> ist das Gleiche Problem.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Grüße, Jens
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 So 21.11.2010 | | Autor: | jensiboy |
Hallo MathePower,
Danke für deine Antwort.
Auch mit diesem Ansatz habe ich es Versucht. Dennoch komm ich auf kein Ergebnis, da wenn ich nun mit dem Hauptnenner multipliziere kein konstantes Glied auf der rechten Seite übrig bleibt. Und auf der linken Seite habe ich ja nur eine 1 stehen...desshalb misslingt mir der Koeff.vergleich und ich komme auf kein Ergebnis.
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Hallo jensiboy,
> Hallo MathePower,
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> Danke für deine Antwort.
> Auch mit diesem Ansatz habe ich es Versucht. Dennoch komm
> ich auf kein Ergebnis, da wenn ich nun mit dem Hauptnenner
> multipliziere kein konstantes Glied auf der rechten Seite
> übrig bleibt. Und auf der linken Seite habe ich ja nur
> eine 1 stehen...desshalb misslingt mir der Koeff.vergleich
Und in Gedanken steht auf der linken Seite:
[mm]0*s^{4}+0*s^{3}+0*s^{2}+0*s^{1}+1*s^{0}[/mm]
> und ich komme auf kein Ergebnis.
Koeffizientenvergleich heisst hier ja,
vergleiche gleiche Exponenten miteinander.
Vergleiche also die Potenzen [mm]s^{0}, s^{1}, s^{2}, s^{3}, s^{4}[/mm]
jeweils auf der linken und rechten Seite miteinander.
Daraus ergibt sich dann ein Gleichungssystem
zur Bestimmung der fehlenden Größen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 So 21.11.2010 | | Autor: | jensiboy |
Ja das ist mir alles schon klar. Aber auf der rechten seite entsteht kein konstantes Gleid. Also kein Glied mit dem [mm] s^0 [/mm] und dann kann ich ja keinen Koeff.vergleich machen, wenn da z.B. steht
1 = [mm] A*s^3 [/mm] + [mm] B*s^2 [/mm] + [mm] C*s^1
[/mm]
Daran häng ich die ganze Zeit. Selbst wenn jetzt A=B=C=0 wären, kommt raus 1 = 0 was ja offensichtlich falsch ist. Wo ist aber jetzt der Fehler ?
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Hallo
[mm] \bruch{1}{s^{3}*(s^{2}+1)}=\bruch{A}{s}+\bruch{B}{s^{2}}+\bruch{C}{s^{3}}+\bruch{Ds+E}{(s^{2}+1)}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{s^{3}*(s^{2}+1)}=\bruch{A*s^{2}*(s^{2}+1)}{s^{3}*(s^{2}+1)}+\bruch{B*s*(s^{2}+1)}{s^{3}*(s^{2}+1)}+\bruch{C*(s^{2}+1)}{s^{3}*(s^{2}+1)}+\bruch{(Ds+E)*s^{3}}{s^{3}*(s^{2}+1)}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{s^{3}*(s^{2}+1)}=\bruch{A*s^{4}+A*s^{2}+B*s^{3}+B*s+C*s^{2}+C+D*s^{4}+E*s^{3}}{s^{3}*(s^{2}+1)}
[/mm]
jetzt Koeffizientenvergleich
für [mm] s^{4}: [/mm] 0=A+D
für [mm] s^{3}: [/mm] 0=B+E
für [mm] s^{2}: [/mm] 0=A+C
für [mm] s^{1}: [/mm] 0=B
für [mm] s^{0}: [/mm] 1=C
Steffi
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