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Forum "Knobelaufgaben" - #4 Unfaire Münze
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#4 Unfaire Münze: Knobelaufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:48 Do 21.07.2011
Autor: kamaleonti

Aufgabe
Knobelaufgabe #4 Unfaire Münze [mm] (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar) [/mm]

Es sei 0<p<1 die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wurf der Münze 'Kopf' oben liegt. Diese Wahrscheinlichkeit p ist nicht bekannt.

Das Werfen der Münze ist das einzige erlaubte Hilfsmittel. Damit finde man eine Strategie, die von zwei Ergebnissen mit einer Wahrscheinlichkeit von [mm] \frac{1}{\pi} [/mm] das erste und mit einer Wahrscheinlichkeit von [mm] 1-\frac{1}{\pi} [/mm] das zweite auswählt.

Liebe Forumsgemeinde,

mein Beitrag zur Füllung des Sommerlochs:
Eine neue Knobelaufgabe. Ich finde die Lösung ziemlich trickreich. Umso schöner ist sie ;-).

Also wer sich daran probieren möchte, ist wie immer herzlich dazu eingeladen.

Viel Spaß und Erfolg!

LG

P.S: Bitte ein Moderator diese Aufgabe als Übungsaufgabe deklarieren. Danke!

[mm] \rule{\textwidth}{0.3pt} [/mm]
[mm] \hspace{5pt}\footnotesize [/mm]
[mm] \textit{Ältere Knobelaufgaben der Serie:} [/mm]
[mm] \bigstar\bigstar:[/mm]  1
[mm] \bigstar\bigstar\bigstar:[/mm]  3
[mm] \bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar:[/mm]  2


        
Bezug
#4 Unfaire Münze: Dummy-Frage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:03 Do 21.07.2011
Autor: reverend

Bitte nicht beantworten!

Dieser Beitrag steht nur hier, damit die Übungsaufgabe sichtbar bleibt.
Danke.

Grüße
reverend


Bezug
        
Bezug
#4 Unfaire Münze: Tipp
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:14 So 24.07.2011
Autor: kamaleonti

Moin!

Ich will ein bisschen dazu tun:

Wem gelingt es, eine Strategie zu finden, um von zwei Ergebnissen mit einer Wahrscheinlichkeit von [mm] \frac{1}{2} [/mm] das erste auszuwählen?

Das wird die Grundlage für die weitere Lösung der Aufgabe sein. :-)



LG

Bezug
                
Bezug
#4 Unfaire Münze: Teillösung?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:29 Di 26.07.2011
Autor: pyw


> Wem gelingt es, eine Strategie zu finden, um von zwei
> Ergebnissen mit einer Wahrscheinlichkeit von [mm]\frac{1}{2}[/mm]
> das erste auszuwählen?

Ich nehme die Münze und fasse immer zwei Würfe zu einem zusammen.
Dann gibt es vier Ergebnisse: KK, KZ, ZK, ZZ (K Kopf und Z Zahl mit relevanter Reihenfolge).

Nun entscheide ich mich für Ergebnis 1, wenn ich KK oder ZZ erhalte und für Ergebnis 2 sonst. Dann ist die Wahrscheinlichkeit für beide 1/2.

Aber ich hab keine Ahnung, wie das helfen soll, nun die Wahrscheinlichkeit [mm] 1/\pi [/mm] zu erhalten?


Gruß

Bezug
                        
Bezug
#4 Unfaire Münze: geloescht
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:21 Di 26.07.2011
Autor: kamaleonti

Dieser Artikel war fehlerhaft.

Siehe hier.

Bezug
                                
Bezug
#4 Unfaire Münze: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:37 Di 26.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo,
>  > > Wem gelingt es, eine Strategie zu finden, um von zwei

> > > Ergebnissen mit einer Wahrscheinlichkeit von [mm]\frac{1}{2}[/mm]
> > > das erste auszuwählen?
>  >  
> > Ich nehme die Münze und fasse immer zwei Würfe zu einem
> zusammen.
>  >  Dann gibt es vier Ergebnisse: KK, KZ, ZK, ZZ (K Kopf
> und Z Zahl mit relevanter Reihenfolge).
>  >  
> > Nun entscheide ich mich für Ergebnis 1, wenn ich KK oder
> > ZZ erhalte und für Ergebnis 2 sonst. Dann ist die
> Wahrscheinlichkeit für beide 1/2.
>  [daumenhoch]!      [haee]


Hallo kamaleonti,

das kann so nicht gehen, wie ich schon gezeigt habe.
Mein Vorschlag wäre folgender:

Man wirft die Münze stets zwei Mal, und zwar so oft,
bis in den beiden Würfen sowohl K als auch Z auftreten.
Doppelwürfe, die KK oder ZZ ergeben, zählen einfach nicht.
Das Ergebnis des so erhaltenen Doppelwurfs ist dann
entweder KZ oder ZK, je mit gleicher Wahrscheinlichkeit

   P(KZ | ZK oder KZ) = P(ZK | ZK oder KZ) = 1/2

Dieser Algorithmus zur Emulation einer fairen Münze
durch eine eventuell unfaire hat aber die kleine Schwäche,
dass er potentiell nicht endlich ist ... es könnte
theoretisch beliebig lange dauern, bis KZ oder ZK
auftritt.

LG   Al-Chwarizmi

Bezug
                                        
Bezug
#4 Unfaire Münze: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:17 Di 26.07.2011
Autor: kamaleonti


> Hallo kamaleonti,
>  
> das kann so nicht gehen, wie ich schon gezeigt habe.
>  Mein Vorschlag wäre folgender:
>  
> Man wirft die Münze stets zwei Mal, und zwar so oft,
>  bis in den beiden Würfen sowohl K als auch Z auftreten.
>  Doppelwürfe, die KK oder ZZ ergeben, zählen einfach
> nicht.
>  Das Ergebnis des so erhaltenen Doppelwurfs ist dann
>  entweder KZ oder ZK, je mit gleicher Wahrscheinlichkeit
>  
> P(KZ | ZK oder KZ) = P(ZK | ZK oder KZ) = 1/2
>  
> Dieser Algorithmus zur Emulation einer fairen Münze
>  durch eine eventuell unfaire hat aber die kleine
> Schwäche,
>  dass er potentiell nicht endlich ist ... es könnte
>  theoretisch beliebig lange dauern, bis KZ oder ZK
>  auftritt.
>  
> LG   Al-Chwarizmi  

Genau, so gehts!
Les deine Mitteilung leider erst, nachdem ich es selbst getippt habe.

LG

Bezug
                        
Bezug
#4 Unfaire Münze: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:04 Di 26.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> > Wem gelingt es, eine Strategie zu finden, um von zwei
> > Ergebnissen mit einer Wahrscheinlichkeit von [mm]\frac{1}{2}[/mm]
> > das erste auszuwählen?
>  
> Ich nehme die Münze und fasse immer zwei Würfe zu einem
> zusammen.
>  Dann gibt es vier Ergebnisse: KK, KZ, ZK, ZZ (K Kopf und Z
> Zahl mit relevanter Reihenfolge).
>  
> Nun entscheide ich mich für Ergebnis 1, wenn ich KK oder
> ZZ erhalte und für Ergebnis 2 sonst. Dann ist die
> Wahrscheinlichkeit für beide 1/2.    [haee]


Hallo,

nach meiner Rechnung wäre dann

P(KK oder [mm] ZZ)=p^2+(1-p)^2=2\,p^2-2\,p+1 [/mm]

P(KZ oder [mm] ZK)=p*(1-p)+(1-p)*p=2\,p-2\,p^2 [/mm]

Diese Wahrscheinlichkeiten werden nur gleich groß,
nämlich gleich 1/2, falls p=1/2 ist, also wenn die
Münze ohnehin fair ist.

Man muss also anders vorgehen, um mit der unfairen
eine faire Münze zu emulieren.

LG    Al-Chwarizmi



Bezug
                                
Bezug
#4 Unfaire Münze: Richtigstellung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:16 Di 26.07.2011
Autor: kamaleonti

Hallo,

blöde Unaufmerksamkeit...

> nach meiner Rechnung wäre dann
>
> P(KK oder [mm]ZZ)=p^2+(1-p)^2=2\,p^2-2\,p+1[/mm]
>  
> P(KZ oder [mm]ZK)=p*(1-p)+(1-p)*p=2\,p-2\,p^2[/mm]
>  
> Diese Wahrscheinlichkeiten werden nur gleich groß,
>  nämlich gleich 1/2, falls p=1/2 ist, also wenn die Münze ohnehin fair ist.

Ich muss mich entschuldigen - ich war selbst einen Moment von der von pyw angegebenen Strategie überzeugt, hätte aber Nachrechnen sollen.

In der Tat ist es aber eine gute Idee, zwei Münzwürfe zu einem zusammenzufassen.
Allerdings muss man dann die Ergebnisse KK und ZZ ignorieren (und ggf. nochmals Werfen*).
Dann weist man zum Beispiel o. E. dem Ergebnis KZ den Wert 1 und dem Ergebnis ZK den Wert 0 zu und hat damit die gewünschten gleichen Wahrscheinlichkeiten. In beiden Fällen ist die Wahrscheinlichkeit des Auftretens bei einem Münzwurf p(1-p). Durch Ignorieren der beiden anderen Ergebnisse ist die Chance dann 50-50.

*: Wir gehen davon aus, dass dies terminiert ;-)

LG


Bezug
                                        
Bezug
#4 Unfaire Münze: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:26 Di 26.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> In der Tat ist es aber eine gute Idee, zwei Münzwürfe zu
> einem zusammenzufassen.
>  Allerdings muss man dann die Ergebnisse KK und ZZ
> ignorieren (und ggf. nochmals Werfen*).

> *: Wir gehen davon aus, dass dies terminiert ;-)

Es könnte natürlich theoretisch sein, dass in einer
langen Sequenz von Doppelwürfen weder KZ noch ZK
auftritt. Ich würde mich in einem solchen Fall dann
nach einiger Zeit auch fragen, ob ich da irrtümlich
statt einer klassischen eine quantenmechanische
Münze erwischt hätte ...    ;-)

LG   Al


Bezug
        
Bezug
#4 Unfaire Münze: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:57 Di 26.07.2011
Autor: abakus


> Knobelaufgabe #4 Unfaire Münze
> [mm](\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar)[/mm]
>  
> Es sei 0<p<1 die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wurf
> der Münze 'Kopf' oben liegt. Diese Wahrscheinlichkeit p
> ist nicht bekannt.
>  
> Das Werfen der Münze ist das einzige erlaubte Hilfsmittel.
> Damit finde man eine Strategie, die von zwei Ergebnissen
> mit einer Wahrscheinlichkeit von [mm]\frac{1}{\pi}[/mm] das erste
> und mit einer Wahrscheinlichkeit von [mm]1-\frac{1}{\pi}[/mm] das
> zweite auswählt.
>  Liebe Forumsgemeinde,
>  
> mein Beitrag zur Füllung des Sommerlochs:
>  Eine neue Knobelaufgabe. Ich finde die Lösung ziemlich
> trickreich. Umso schöner ist sie ;-).
>  
> Also wer sich daran probieren möchte, ist wie immer
> herzlich dazu eingeladen.
>  
> Viel Spaß und Erfolg!
>  
> LG

Darf man sich für die Lösung ein quadratisches Gitter geeigneter Größe zeichnen? Oder ist die Auswertung nach Kopf/Zahl das einzige Kriterium?
Gruß Abakus

>  
> P.S: Bitte ein Moderator diese Aufgabe als Übungsaufgabe
> deklarieren. Danke!
>  
> [mm]\rule{\textwidth}{0.3pt}[/mm]
>  [mm]\hspace{5pt}\footnotesize[/mm]
>  [mm]\textit{Ältere Knobelaufgaben der Serie:}[/mm]
>  
> [mm]\bigstar\bigstar:[/mm]  1
>  [mm]\bigstar\bigstar\bigstar:[/mm]  
> 3
>  [mm]\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar:[/mm]  
> 2
>  


Bezug
                
Bezug
#4 Unfaire Münze: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:30 Di 26.07.2011
Autor: kamaleonti

Hallo abakus,
> Darf man sich für die Lösung ein quadratisches Gitter
> geeigneter Größe zeichnen? Oder ist die Auswertung nach
> Kopf/Zahl das einzige Kriterium?

In meiner Lösung zur Aufgabe ist dies nicht vorgesehen. Da es in gewisser Weise um die Kreiszahl [mm] \pi [/mm] geht, könnte eine Konstruktion über ein solches Gitter vielleicht sogar möglich sein.

Die Zahl [mm] \pi [/mm] ist ja auch experimentell bestimmbar (vgl. []Buffonsches Nadelproblem). Die Situation ist hier aber etwas schwieriger, da es nun darum geht, [mm] \frac{1}{\pi} [/mm] zu bestimmen. Ich sehe spontan keine Möglichkeit, diese Zahl durch Würfe mit einer Kreisscheibe auf ein fest vorgegebenes Gitter zu bestimmen. Das ist eine interessante Problemstellung - vielleicht kann man die Konstruktion auch noch anpassen (?).

Also, wenn dadurch noch eine andere Lösung für die Aufgabe herausspringt, würde mich das sehr interessieren. :-)


LG

Bezug
        
Bezug
#4 Unfaire Münze: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:08 Di 26.07.2011
Autor: rabilein1

Wie oft soll denn die Münze geworfen werden?

Erfahrungsgemäß kommt man doch umso genauer an das "wahre" Ergebnis ran, je öfter man wirft.

Also: wenn man eine Münze eine Million mal wirft, dann würde man mit nahezu 100%iger Sicherheit eine gefälschte Münze als solche erkennen, wenn diese mit 51:49 (statt 50:50) KOPF wirft.  
Würde man dieselbe falsche Münze dagegen nur hundert Mal werfen, dann dürfte die Fälschung wohl kaum auffallen.

Bezug
                
Bezug
#4 Unfaire Münze: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:18 Di 26.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Wie oft soll denn die Münze geworfen werden?
>
> Erfahrungsgemäß kommt man doch umso genauer an das
> "wahre" Ergebnis ran, je öfter man wirft.
>
> Also: wenn man eine Münze eine Million mal wirft, dann
> würde man mit nahezu 100%iger Sicherheit eine gefälschte
> Münze als solche erkennen, wenn diese mit 51:49 (statt
> 50:50) KOPF wirft.  
> Würde man dieselbe falsche Münze dagegen nur hundert Mal
> werfen, dann dürfte die Fälschung wohl kaum auffallen.


Hallo rabilein,

wenn ich die Aufgabe richtig verstehe, sind solche
Überlegungen hier gar nicht Gegenstand der Aufgabe.
Gesucht ist ein Münzenwurf-Algorithmus, der jeweils
ein Ergebnis A oder dessen Gegenteil B ergibt, wobei
man durch theoretische Argumente zeigen kann, dass
[mm] P(A)=1/\pi [/mm] sein muss. Durch (endlich viele) tatsächliche
Durchführungen des Experiments könnte man so etwas
ja ganz grundsätzlich nicht zeigen.

Ich hoffe, dass der gemeinte Algorithmus bei jeder
Durchführung nur eine endliche Anzahl (genauer:
maximal N für ein bestimmtes [mm] N\in\IN) [/mm] von Münzen-
würfen erfordert.

LG   Al-Chw.


Bezug
                        
Bezug
#4 Unfaire Münze: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:49 Di 26.07.2011
Autor: rabilein1


> Diese Wahrscheinlichkeit p ist nicht bekannt.

Soll denn p bestimmt werden? Oder bleibt das im Dunkeln, wie groß p ist?

>  Durch (endlich viele) tatsächliche Durchführungen des Experiments
>  könnte man so etwas ja ganz grundsätzlich nicht zeigen.

Also sollen es unendlich viele Durchführungen des Experiments sein? Oder auch nicht?

Irgendwie ist mir das Ganze unverständlich. Dieses [mm] 1/\pi [/mm] ist doch eine feste, unveränderbare Zahl (ungefährt 0.3). Könnte da denn auch jede andere Zahl < 1 stehen, oder soll das [mm] 1/\pi [/mm] bereits die Lösung sein?  

Bezug
                                
Bezug
#4 Unfaire Münze: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:17 Di 26.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> > Diese Wahrscheinlichkeit p ist nicht bekannt.
>  
> Soll denn p bestimmt werden? Oder bleibt das im Dunkeln,
> wie groß p ist?

p "bestimmen" kann man ohnehin nicht, wenn man darunter
eine exakte Bestimmung versteht. Also ist eine Methode
gesucht, die vom wahren Wert von p unabhängig ist.
Natürlich muss 0<p<1 sein , aber wie du sagst: der
Wert bleibt im Dunkeln.

> >  Durch (endlich viele) tatsächliche Durchführungen des

> Experiments
> >  könnte man so etwas ja ganz grundsätzlich nicht zeigen.

>  
> Also sollen es unendlich viele Durchführungen des
> Experiments sein? Oder auch nicht?

Die Lösung soll (auf theoretischer Basis) so sein, dass
tatsächliche Durchführungen gar nicht nötig sind ...

> Irgendwie ist mir das Ganze unverständlich. Dieses [mm]1/\pi[/mm]
> ist doch eine feste, unveränderbare Zahl (ungefährt 0.3).
> Könnte da denn auch jede andere Zahl < 1 stehen, oder soll
> das [mm]1/\pi[/mm] bereits die Lösung sein?

So wie ich es verstehe, denkt kamaleonti da schon an
eine trickreiche Methode, die sehr speziell auf den Wert
[mm] p=1/\pi [/mm] zugeschnitten ist. Für mich bedeutet dies, dass
wahrscheinlich eine gewisse Reihendarstellung von [mm] \pi [/mm]
eine Rolle spielen wird. Eine "Lösung" mittels eigentlich
"geometrischer Wahrscheinlichkeit" in Analogie zum
Nadelwurfproblem, bei dem man die Münze als geome-
trisches Objekt benützt und z.B. auf ein ebenes Raster
wirft, empfände ich aber bei der vorliegenden Aufgabe
eher als einen schlechten Scherz, der nicht einmal ins
Sommerloch passt ...  

Gruß   Al  


Bezug
                                        
Bezug
#4 Unfaire Münze: Tipp 2
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:58 Di 26.07.2011
Autor: kamaleonti

Hallo Al, rabilein1 und alle anderen,
> So wie ich es verstehe, denkt kamaleonti da schon an
>  eine trickreiche Methode, die sehr speziell auf den Wert
>  [mm]p=1/\pi[/mm] zugeschnitten ist.

Nein, die ist gar nicht so speziell. Das Vorkommen von [mm] \pi [/mm] dient hier nur zur Ablenkung (das ist ganz schön fies, ich weiß ;-))

> Für mich bedeutet dies, dass
>  wahrscheinlich eine gewisse Reihendarstellung von [mm]\pi[/mm]
>  eine Rolle spielen wird. Eine "Lösung" mittels eigentlich
> "geometrischer Wahrscheinlichkeit" in Analogie zum
> Nadelwurfproblem, bei dem man die Münze als geome-
>  trisches Objekt benützt und z.B. auf ein ebenes Raster
> wirft, empfände ich aber bei der vorliegenden Aufgabe
> eher als einen schlechten Scherz, der nicht einmal ins Sommerloch passt ...  

Da kann ich dich beruhigen, auf so eine Lösung will ich nicht hinaus (ich bezweifle auch, dass es so eine gibt).

Tipp:
Wir können nun mit der Münze von zwei Ereignissen gleich wahrscheinlich eines auswählen. Kann man die Zahl [mm] 1/\pi [/mm] dafür irgendwie geeignet darstellen?

LG

Bezug
                                                
Bezug
#4 Unfaire Münze: Frage.
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:30 Di 26.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo Al, rabilein1 und alle anderen,
>  > So wie ich es verstehe, denkt kamaleonti da schon an

>  >  eine trickreiche Methode, die sehr speziell auf den
> Wert
>  >  [mm]p=1/\pi[/mm] zugeschnitten ist.
>  Nein, die ist gar nicht so speziell. Das Vorkommen von [mm]\pi[/mm]
> dient hier nur zur Ablenkung (das ist ganz schön fies, ich
> weiß ;-))
>  > Für mich bedeutet dies, dass

>  >  wahrscheinlich eine gewisse Reihendarstellung von [mm]\pi[/mm]
>  >  eine Rolle spielen wird. Eine "Lösung" mittels
> eigentlich
> > "geometrischer Wahrscheinlichkeit" in Analogie zum
> > Nadelwurfproblem, bei dem man die Münze als geome-
>  >  trisches Objekt benützt und z.B. auf ein ebenes Raster
> > wirft, empfände ich aber bei der vorliegenden Aufgabe
> > eher als einen schlechten Scherz, der nicht einmal ins
> Sommerloch passt ...  
> Da kann ich dich beruhigen, auf so eine Lösung will ich
> nicht hinaus (ich bezweifle auch, dass es so eine gibt).
>  
> Tipp:
>  Wir können nun mit der Münze von zwei Ereignissen gleich
> wahrscheinlich eines auswählen. Kann man die Zahl [mm]1/\pi[/mm]
> dafür irgendwie geeignet darstellen?


Hi kamaleonti,

in der Aufgabenstellung stand:

"Das Werfen der Münze ist das einzige erlaubte Hilfsmittel."

Daraus schließe ich, dass sich der Wahrscheinlichkeitswert
[mm] 1/\pi [/mm]  ausschließlich aus dem Algorithmus der Auswertung von
Münzenwürfen ergeben muss. Da das Problem der unbekannten
Wahrscheinlichkeit p inzwischen gelöst ist (mittels Betrach-
tung von Doppelwürfen, wobei KK und ZZ als ungültige Würfe
gelten), dürfen wir jetzt o.B.d.A. annehmen, dass wir eine
faire Münze mit p=1/2 hätten. Bleibt also die Frage, wie man
mittels einer solchen ein Ereignis A mit [mm] P(A)=1/\pi [/mm] definieren
kann.  
Dass du nun sagst, der Wert [mm] p=1/\pi [/mm] sei nicht so speziell,
irritiert mich jedoch einigermaßen. Bist du sicher, dass
du dann nicht doch noch auf versteckte Weise so etwas
wie eine geometrische Wahrscheinlichkeit einbringst ?

Gruß    Al

Bezug
                                                        
Bezug
#4 Unfaire Münze: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:14 Di 26.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo kamaleonti,

>  Bist du sicher, dass du dann nicht doch noch auf
>  versteckte Weise so etwas wie eine geometrische
>  Wahrscheinlichkeit einbringst ?


ganz konkrete Frage:

muss man, um die Methode durchführen zu können,
die Zahl [mm] \pi [/mm] oder [mm] 1/\pi [/mm] kennen, z.B. in Form einer
Binärentwicklung ?

LG   Al

Bezug
                                                                
Bezug
#4 Unfaire Münze: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:28 Di 26.07.2011
Autor: kamaleonti

Hallo Al,
> ganz konkrete Frage:
>
> muss man, um die Methode durchführen zu können,
>  die Zahl [mm]\pi[/mm] oder [mm]1/\pi[/mm] kennen, z.B. in Form einer Binärentwicklung ?

Ja, sehr gut.
Dieses Wissen darf vorausgesetzt werden.

LG

Bezug
                                                                        
Bezug
#4 Unfaire Münze: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:37 Di 26.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo Al,
>  > ganz konkrete Frage:

> >
> > muss man, um die Methode durchführen zu können,
>  >  die Zahl [mm]\pi[/mm] oder [mm]1/\pi[/mm] kennen, z.B. in Form einer
> Binärentwicklung ?
>  Ja, sehr gut.
> Dieses Wissen darf vorausgesetzt werden.


das habe ich befürchtet ...

in diesem Fall ist die Aufgabe aber keineswegs von der
Art, die ich mir dabei vorgestellt habe ...
Vorher hatte ich gefragt, ob z.B. eine Reihenentwicklung
von [mm] \pi [/mm] eine Rolle spielen würde, was du verneint hast.
Allerdings entspricht eine Binärentwicklung ebenso einer
Reihendarstellung, und dazu einer äußerst komplexen Art
von Reihe, wenn man betrachtet, was im Detail dahinter
steckt ...

LG   Al

Bezug
                                                                                
Bezug
#4 Unfaire Münze: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:53 Di 26.07.2011
Autor: kamaleonti


> > > muss man, um die Methode durchführen zu können,
>  >  >  die Zahl [mm]\pi[/mm] oder [mm]1/\pi[/mm] kennen, z.B. in Form einer Binärentwicklung ?
>  >  Ja, sehr gut.
> > Dieses Wissen darf vorausgesetzt werden.
>  
>
> das habe ich befürchtet ...
>  
> in diesem Fall ist die Aufgabe aber keineswegs von der
> Art, die ich mir dabei vorgestellt habe ...
>  Vorher hatte ich gefragt, ob z.B. eine Reihenentwicklung
> von [mm]\pi[/mm] eine Rolle spielen würde, was du verneint hast.
>  Allerdings entspricht eine Binärentwicklung ebenso einer
>  Reihendarstellung, und dazu einer äußerst komplexen Art
>  von Reihe, wenn man betrachtet, was im Detail dahinter steckt ...

Dies hatte ich leider nicht als Reihenentwicklung klassifiziert. :/
Sorry für die falsche Spur.

LG

Bezug
                        
Bezug
#4 Unfaire Münze: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:52 Di 26.07.2011
Autor: kamaleonti

Hallo Al,
> Hallo rabilein,
>  
> wenn ich die Aufgabe richtig verstehe, sind solche
>  Überlegungen hier gar nicht Gegenstand der Aufgabe.
>  Gesucht ist ein Münzenwurf-Algorithmus, der jeweils
>  ein Ergebnis A oder dessen Gegenteil B ergibt, wobei
>  man durch theoretische Argumente zeigen kann, dass
>  [mm]P(A)=1/\pi[/mm] sein muss.

Genau.

> Durch (endlich viele) tatsächliche Durchführungen des Experiments könnte man so etwas  ja ganz grundsätzlich nicht zeigen.
>  
> Ich hoffe, dass der gemeinte Algorithmus bei jeder
>  Durchführung nur eine endliche Anzahl (genauer: maximal N für ein bestimmtes [mm]N\in\IN)[/mm] von Münzen- würfen erfordert.

Nein, das ist definitiv eine Schwäche des Algorithmus, der hier Lösung sein soll. Man kann für große N aber sagen, dass es sehr wahrscheinlich ist, dass der Algorithmus terminiert.

Um das Problem der theoretisch möglichen Unendlichkeit zu verdeutlichen, habe ich hier ein einfaches 'Casino'-Spiel. Der Spieler setzt einen festen Betrag. Anschließend wird eine Münze geworfen und bei Kopf bekommt er den doppelten Betrag ausgezahlt, ansonsten verliert er seinen Einsatz.
Dieses Spiel ist offenbar (?) fair.

Man betrachte folgende Strategie (man kann sie auch unter dem Namen Martingale im Internet suchen):

Der erste Einsatz ist eine Geldeinheit. Gewinnt der Spieler, fängt er wieder von vorne (mit einer Geldeinheit) an. Verliert der Spieler, so verdoppelt er seinen Einsatz beim nächsten Spiel. Verliert er wieder, verdoppelt er beim nächsten Spiel wieder den Einsatz, usw.
Der Spieler hört dann auf, wenn (endlich) mal wieder 'Kopf' geworfen wird. Dann hat er einen Nettogewinn von einer Geldeinheit.

In Wirklichkeit geht dies aber aus zwei Gründen schief: Der Spieler wird nur begrenzte Zeit haben und wohl noch viel wahrscheinlicher nur begrenztes Kapital zur Verfügung haben. Und wenn er dann eine Pechsträhne erwischt, in der nur 'Zahl' geworfen wird ... owe ;-)

LG




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#4 Unfaire Münze: Definitionen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:09 Di 26.07.2011
Autor: rabilein1


> Es sei 0<p<1 die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wurf
> der Münze 'Kopf' oben liegt. Diese Wahrscheinlichkeit p
> ist nicht bekannt.
>  
> Das Werfen der Münze ist das einzige erlaubte Hilfsmittel.
> Damit finde man eine Strategie, die von zwei Ergebnissen
> mit einer Wahrscheinlichkeit von [mm]\frac{1}{\pi}[/mm] das erste
> und mit einer Wahrscheinlichkeit von [mm]1-\frac{1}{\pi}[/mm] das
> zweite auswählt.

Scheinbar ist mehreren Leuten (auch mir) gar nicht klar, was denn eigentlich gesucht ist.

Was bedeutet denn "Strategie". Soll das eine Formel sein, in der p (und eventuell auch [mm] \pi [/mm] vorkommt)?

Und was für eine Art "Ergebnis" soll man erhalten?
Ist damit z.B.  KKZKZZKKZ gemeint bzw. 5*K und 4*Z  (K=Kopf, Z=Zahl)




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#4 Unfaire Münze: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:48 Di 26.07.2011
Autor: kamaleonti

Hallo rabilein1,
> > Es sei 0<p<1 die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wurf
> > der Münze 'Kopf' oben liegt. Diese Wahrscheinlichkeit p
> > ist nicht bekannt.
>  >  
> > Das Werfen der Münze ist das einzige erlaubte Hilfsmittel.
> > Damit finde man eine Strategie, die von zwei Ergebnissen
> > mit einer Wahrscheinlichkeit von [mm]\frac{1}{\pi}[/mm] das erste
> > und mit einer Wahrscheinlichkeit von [mm]1-\frac{1}{\pi}[/mm] das
> > zweite auswählt.
>  
> Scheinbar ist mehreren Leuten (auch mir) gar nicht klar,
> was denn eigentlich gesucht ist.
>  
> Was bedeutet denn "Strategie". Soll das eine Formel sein,
> in der p (und eventuell auch [mm]\pi[/mm] vorkommt)?

Eher eine Anleitung, wie man die Münze zu werfen hat und die Ergebnisse der Münzwürfe zu interpretieren hat, um sich dann zwischen Ereignis A und Ereignis B zu entscheiden. (Siehe unten.)

>  
> Und was für eine Art "Ergebnis" soll man erhalten?
>  Ist damit z.B.  KKZKZZKKZ gemeint bzw. 5*K und 4*Z  (K=Kopf, Z=Zahl)

Ergebnis war hier ganz abstrakt gemeint. Die beiden Ergebnisse seien also mit A und B bezeichnet. Mit der Strategie soll man sich nun einzig und allein durch Würfe der unfairen Münze mit einer Wahrscheinlichkeit von [mm] \frac{1}{\pi} [/mm] für Ergebnis A und mit einer Wahrscheinlichkeit von [mm] 1-\frac{1}{\pi} [/mm] für Ergebnis B entscheiden.

Zwar stehen in der Praxis nur die Würfe mit der Münze zur Verfügung, dennoch darf bei dieser Aufgabe vorausgesetzt werden, dass die Dezimalstellen von [mm] \frac{1}{\pi} [/mm] bekannt sind.

Ich hoffe, es ist nun besser verständlich.

LG

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#4 Unfaire Münze: Lösungsvorschlag
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:52 Di 26.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo kamaleonti,

ich habe da nun so eine Idee. Meiner Meinung nach entspräche diese "Lösung" allerdings nicht so recht dem, was ich mir eigentlich vorgestellt hatte bei einer Methode, bei der nur auf die Ergebnisse der Münzenwürfe abgestellt wird.

Mit der schon beschriebenen Methode der Doppelwürfe konstruiert man eine Folge von Binärzahlen:

   KK ---> ignorieren
   KZ ---> Ziffer 0
   ZK ---> Ziffer 1
   ZZ ---> ignorieren

Man setzt diese Folge von Binärziffern, welche man der Reihe nach hinter den Anfang "0." (binär) setzt, so weit fort, bis entschieden ist, ob die dabei entstehende Binärzahl kleiner oder größer als $ [mm] 1/\pi [/mm] $ ist. Im ersten Fall gilt das Ereignis A als eingetreten, im zweiten Fall B.
Dann hat das Ereignis A die Wahrscheinlichkeit $ [mm] P(A)=1/\pi [/mm] $ .

Diese Methode hat allerdings den Nachteil, dass die Binärentwicklung der Zahl $ [mm] 1/\pi [/mm] $ vorliegen muss (und jedenfalls im Bedarfsfalle beliebig weit berechnet werden müsste).

Beispiel:

Die Binärentwicklung von $ [mm] 1/\pi [/mm] $ ist:

               $ \ [mm] 1/\pi\ [/mm] =\ \ [mm] 0.010100010111110011000\,......\, [/mm] _{BIN} $

Wurfergebnis:        $ \ [mm] 0.0101\red{1}\, [/mm] _{BIN} $      --->  zu groß, also Ereignis B

Wurfergebnis:        $ \ [mm] 0.0101000\red{0}\, [/mm] _{BIN} $      --->  zu klein, also Ereignis A

Man betrachtet also die erste der Binärziffern, welche sich von der entsprechenden Binärziffer der Zahl $ [mm] 1/\pi [/mm] $ unterscheidet. Je nach dem Wert dieser ersten abweichenden Binärziffer (0 oder 1) hat man dann das Ereignis A oder B.

Fazit: Die Methode würde sich also keineswegs dazu eignen, einen Näherungswert für [mm] 1/\pi [/mm] (und indirekt für [mm] \pi) [/mm] durch eine Münzenwurfserie zu erzeugen. Man muss umgekehrt den Wert von [mm] 1/\pi [/mm] schon kennen, um die Methode überhaupt anwenden zu können.

LG   Al-Chw.

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#4 Unfaire Münze: Richtig!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:37 Di 26.07.2011
Autor: kamaleonti

Hallo Al,

Glückwunsch! Die Lösung ist nun vollständig und korrekt. [daumenhoch]!

> ich habe da nun so eine Idee. Meiner Meinung nach entspräche diese "Lösung" allerdings nicht so recht dem, was ich mir eigentlich vorgestellt hatte bei einer Methode, bei der nur auf die Ergebnisse der Münzenwürfe abgestellt wird.

Es ist nicht ganz einfach, eine Knobelaufgabe so zu stellen, dass jeder gleich den richtigen Riecher bekommt. Gerade bei den Voraussetzungen ist es schwierig, schon zu Beginn genau zu sagen, was eigentlich alles erlaubt ist. Manchmal habe ich den Eindruck, dadurch die Lösung schon vorwegzunehmen. Deswegen habe ich mich bisher im Ernstfall immer dafür entschieden, lieber mehr in der Aufgabenstellung offen zu lassen.
Nachfragen sind dann natürlich gerechtfertigt!

Mit der Zeit werde ich sicherlich besser sehen, worauf es bei der Formulierung von solchen Aufgabenstellungen ankommt. Dies wird schließlich nicht die letzte Aufgabe sein, die ich an die Community stellen werde ;-)

LG

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#4 Unfaire Münze: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:21 Mi 27.07.2011
Autor: rabilein1

  
> Mit der Zeit werde ich sicherlich besser sehen, worauf es
> bei der Formulierung von solchen Aufgabenstellungen ankommt.

Das Wichtigste bei der Formulierung ist meines Erachtens, dass man weiß, was überhaupt gemeint ist.
Das heißt: Auch Jemand, der von Mathematik keinerlei Ahnung hat, sollte zumindestens die Problematik der Aufgabe verstehen können, auch wenn er nicht weiß, wie sie zu lösen ist.

Es gibt zwar auch sogenannte "Scherzaufgaben", bei denen man zunächst auf eine falsche Fährte gelockt wird. Aber der "Scherz" sollte eigentlich nicht darin liegen, dass die Aufgabe sprachlich-verworren formuliert ist.

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#4 Unfaire Münze: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:43 Mi 27.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Aber der "Scherz" sollte eigentlich nicht darin liegen,
> dass die Aufgabe sprachlich-verworren formuliert ist.

Hallo rabilein,

die Aufgabenstellung fand ich keineswegs als
"sprachlich-verworren formuliert". Hier ist sie
nochmals:

Aufgabe
Es sei 0<p<1 die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wurf der Münze 'Kopf' oben liegt. Diese Wahrscheinlichkeit p ist nicht bekannt.

Das Werfen der Münze ist das einzige erlaubte Hilfsmittel. Damit finde man eine Strategie, die von zwei Ergebnissen mit einer Wahrscheinlichkeit von $ [mm] \frac{1}{\pi} [/mm] $ das erste und mit einer Wahrscheinlichkeit von $ [mm] 1-\frac{1}{\pi} [/mm] $ das zweite auswählt.



Worin mögliche "Strategien" im Einzelnen bestehen
könnten, wird zwar nicht beschrieben (dies wäre auch
nicht gerade einfach, wenn man dabei nicht schon
Ansätze zu einer Lösung verraten wollte).

Liebe Grüße !  

Al  


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#4 Unfaire Münze: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:19 Mi 27.07.2011
Autor: rabilein1

Nichtsdestoweniger habe ich immer noch nicht verstanden, was das Ganze eigentlich sollte. Vor allem, was das p (dessen Größe ja scheinbar uninteressant ist) bedeuten soll und warum ausgerechnet [mm] \pi [/mm]

Die Crux ist ja wohl der Satz:

> Die Binärentwicklung von [mm]1/\pi[/mm] ist:
> [mm]\ 1/\pi\ =\ \ 0.010100010111110011000\,......\, _{BIN}[/mm]

Also hätte man doch anstell von [mm] \pi [/mm] auch 10 nehmen können.
Dann wäre 1/10 = 0.1

Und davon die Binärentwicklung. Wie ist die? Was würde dann rauskommen?
Und würde das dann ergeben, dass die eine Entwicklung mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 % und die andere mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % auftritt? Das könnte man dann (eventuell) noch nachvollziehen.

Außerdem müsste p doch einen ganz konkreten Wert haben, denn bei jedem unterschiedlichen p ergibt sich doch eine andere Wurffolge.

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#4 Unfaire Münze: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:01 Mi 27.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Nichtsdestoweniger habe ich immer noch nicht verstanden,
> was das Ganze eigentlich sollte. Vor allem, was das p
> (dessen Größe ja scheinbar uninteressant ist) bedeuten
> soll und warum ausgerechnet [mm]\pi[/mm]

Nun, die Sache mit der p-Münze (mit der man ja scheinbar
zunächst überhaupt nichts Gescheites anfangen kann, wenn
man p gar nicht kennt) ist natürlich der erste Knackpunkt.
Man könnte daraus eine eigene Aufgabe machen:

Aufgabe
Wie kann man mittels einer unfairen Münze, also einer
mit P("Kopf") = p mit unbekanntem [mm] p\in(0...1), [/mm] eine
faire Münze mit P("Kopf") = P("Zahl") = [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] emulieren ?


Diese Teilaufgabe wurde da besprochen.

> Die Crux ist ja wohl der Satz:
>
> > Die Binärentwicklung von [mm]1/\pi[/mm] ist:
>  > [mm]\ 1/\pi\ =\ \ 0.010100010111110011000\,......\, _{BIN}[/mm]

  

> Also hätte man doch anstelle von [mm]\pi[/mm] auch 10 nehmen
> können.
> Dann wäre 1/10 = 0.1
>
> Und davon die Binärentwicklung. Wie ist die?

     $\ [mm] 0.1_{DEZ}\ [/mm] =\ [mm] 0.000110011001100\,..._{BIN}\ [/mm] =\ [mm] 0.0\overline{0011}_{BIN}$ [/mm]    (periodisch)

> Was würde dann rauskommen?

Wegen der Periodizität der Binärzahl könnte man dann
den Algorithmus in einfacherer Form beschreiben. Der
Rückgriff auf die Binärdarstellung einer irrationalen
Zahl bliebe einem erspart.

>  Und würde das dann ergeben, dass die eine Entwicklung mit
> einer Wahrscheinlichkeit von 10 % und die andere mit einer
> Wahrscheinlichkeit von 90 % auftritt? Das könnte man dann
> (eventuell) noch nachvollziehen.

> Außerdem müsste p doch einen ganz konkreten Wert haben,
> denn bei jedem unterschiedlichen p ergibt sich doch eine
> andere Wurffolge.

Wichtig ist eigentlich nur, dass jeweils die beiden Würfe,
die zusammen einen Doppelwurf mit einem der Ergebnisse
KK,KZ,ZK,ZZ ergeben, mit derselben p-Münze gemacht
werden. Von Doppelwurf zu Doppelwurf dürfte man aber
eine andere Münze mit anderem p nehmen.
Münzen mit p-Werten sehr nahe bei 0 oder sehr nahe bei
1 sind aber unvorteilhaft, weil man mit ihnen oft viele
Doppelwürfe ausführen müsste, bis endlich mal "KZ" oder
"ZK" erscheint.

Die auf diese Weise erzeugten binären Zufallszahlen der
Form

      $\ [mm] 0.b_1b_2b_3b_4\,......$ [/mm]

haben dann die Eigenschaft, dass an jeder einzelnen ihrer
Stellen

       $\ [mm] P(b_i=0)\ [/mm] =\ [mm] P(b_i=1)\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{2}$ [/mm]

gilt. Insgesamt sind die so erzeugten Zahlen (jeweils mit
unendlicher Binärentwicklung) gleichverteilt im Intervall
(0...1). Es gilt für jede Zahl t in diesem Intervall

     $\ [mm] P(x\le [/mm] t)\ =\ t$  

LG    Al

Bezug
                                                
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#4 Unfaire Münze: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:49 Mi 27.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Also hätte man doch anstelle von [mm]\pi[/mm] auch 10 nehmen
> können.
> Dann wäre 1/10 = 0.1
>
> Und davon die Binärentwicklung. Wie ist die?

     $ \ [mm] 0.1_{DEZ}\ [/mm] =\ [mm] 0.000110011001100\,..._{BIN}\ [/mm] =\ [mm] 0.0\overline{0011}_{BIN} [/mm] $    (periodisch)

>  Und würde das dann ergeben, dass die eine Entwicklung mit
> einer Wahrscheinlichkeit von 10 % und die andere mit einer
> Wahrscheinlichkeit von 90 % auftritt? Das könnte man dann
> (eventuell) noch nachvollziehen.


Hallo rabilein,

ich habe mir nun noch die Aufgabe gestellt, für diesen
Fall, also P(A)=0.1 und P(B)=0.9 , einen Algorithmus
zu entwickeln, nach welchem man das Münzenwurf-
experiment leicht nachvollziehen kann.
Ich habe das Ganze in die Form eines Flussdiagramms
gebracht - und zum Zeichnen zum ersten Mal wieder
eine spezielle Schablone benützt, die schon seit min-
destens 20 Jahren in einem Regal lag ...
Das Flussdiagramm sollte leicht zu verstehen sein.
"DW" bedeutet, dass man einen Doppelwurf mit einer
p-Münze ausführen soll. Je nach Ergebnis (KK,KZ,ZK,ZZ)
wird man dann im Diagramm weitergeleitet und landet
schließlich bei einem Quadrat, das das Ergebnis "A"
oder "B" anzeigt.
Wenn man nun diesen Algorithmus oft durchführt,
sollte in 10% der Fälle das Ergebnis "A" und in 90%
der Fälle das Ergebnis "B" entstehen.

     [Dateianhang nicht öffentlich]

Wollte man für den Fall mit [mm] P(A)=\frac{1}{\pi} [/mm] ein analoges Fluss-
diagramm zeichnen, so würde dieses unendlich lang
und deshalb unmöglich zu erstellen. Zur Beschreibung
wäre ein weiterer Algorithmus zur Berechnung der
Binärstellen von [mm] \frac{1}{\pi} [/mm] erforderlich.

Dank der Periodizität der Binärzahl für den Bruch [mm] \frac{1}{10} [/mm]
haben wir für den Fall [mm] P(A)=\frac{1}{10} [/mm] jedoch ein Flussdiagramm,
das eine Schleife enthält und nur "potentiell" unendlich ist.


LG   Al-Chwarizmi

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                                                        
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#4 Unfaire Münze: Lob!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:12 Mi 27.07.2011
Autor: kamaleonti

Hallo Al,
> ich habe mir nun noch die Aufgabe gestellt, für diesen
>  Fall, also P(A)=0.1 und P(B)=0.9 , einen Algorithmus
>  zu entwickeln, nach welchem man das Münzenwurf-
>  experiment leicht nachvollziehen kann.

Eine tolle Idee.

>  Ich habe das Ganze in die Form eines Flussdiagramms
>  gebracht - und zum Zeichnen zum ersten Mal wieder
>  eine spezielle Schablone benützt, die schon seit min-
>  destens 20 Jahren in einem Regal lag ...

Zum Glück hast du sie in der langen Zeit nicht weggeworfen ;-)
Also, vielen Dank für den Aufwand.

>  
> Wollte man für den Fall mit [mm]P(A)=\frac{1}{\pi}[/mm] ein
> analoges Fluss-
>  diagramm zeichnen, so würde dieses unendlich lang
>  und deshalb unmöglich zu erstellen. Zur Beschreibung
>  wäre ein weiterer Algorithmus zur Berechnung der
>  Binärstellen von [mm]\frac{1}{\pi}[/mm] erforderlich.
>  
> Dank der Periodizität der Binärzahl für den Bruch
> [mm]\frac{1}{10}[/mm] haben wir für den Fall [mm]P(A)=\frac{1}{10}[/mm] jedoch ein
> Flussdiagramm, das eine Schleife enthält und nur "potentiell" unendlich ist.

Wenn ich die Aufgabe noch einmal anderswo stelle, werde ich nicht die Zahl [mm] \frac{1}{\pi} [/mm] auswählen, sondern eine einfachere Zahl - wie in deinem Beispiel. Das senkt dann auch die Wahrscheinlichkeit, experimentelle Methoden zu suggerieren.

LG

Bezug
                                                                
Bezug
#4 Unfaire Münze: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:29 Mi 27.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo Al,

>  >  ich habe mir nun noch die Aufgabe gestellt, für diesen
>  >  Fall, also P(A)=0.1 und P(B)=0.9 , einen Algorithmus
>  >  zu entwickeln, nach welchem man das Münzenwurf-
>  >  experiment leicht nachvollziehen kann.

>  Eine tolle Idee.

Auch dank rabileins Gespür für gute Aufgaben !

>  >  Ich habe das Ganze in die Form eines Flussdiagramms
>  >  gebracht - und zum Zeichnen zum ersten Mal wieder
>  >  eine spezielle Schablone benützt, die schon seit min-
>  >  destens 20 Jahren in einem Regal lag ...

>  Zum Glück hast du sie in der langen Zeit nicht
>  weggeworfen ;-)  

    Ich bin kein "Wegwerfer"; habe fast eher das umgekehrte
    Problem - dank eines gewissen x-ten Sinnes finde ich aber
    immer noch sehr oft das Gesuchte ...

>  Also, vielen Dank für den Aufwand.

Bitte sehr - es hat mir ja auch Spass bereitet ...

Gruß   :-)    Al


Bezug
                                                                        
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#4 Unfaire Münze: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:01 Do 28.07.2011
Autor: rabilein1

> Auch dank rabileins Gespür für gute Aufgaben !

Ich weiß nicht, ob die Aufgaben, die ich mir ausdenke, gut sind. Sie sind vielleicht manchmal außergewöhnlich, weil ich oftmals schräge Gedanken habe (die allerdings auch mal absurd sein können).

Meine Devise lautet:
Was im ganz Kleinen funktioniert, das funktioniert auch im ganz Großen.
Oder: Wer bis 10 zählen kann, der kann auch bis 10 Millionen zählen.

Ich glaube, in obigem Fall war selbst das 0.1 noch etwas zu kompliziert (von [mm] 1/\pi [/mm] ganz zu schweigen).
Vielleicht hätte schon ein Beispiel mit nur einer einzigen (oder maximal zwei) Verzweigung ausgereicht, um zu zeigen, was überhaupt gemeint ist.

Und dann hätte ein Mathematiker "beweisen" können (das tun die ja immer so gerne), dass das mit jeder beliebigen Zahl (also auch mit [mm] 1/\pi) [/mm] funktioniert.

Wenn man dagegen das Pferd von hinten aufzäumt, das wäre so ähnlich, als hätte Otto Lilienthal sich daran gemacht, einen Jumbo-Jet zu bauen, um zu zeigen, dass Menschen fliegen können...
(Was im Kleinen funktioniert, das funktioniert schließlich auch im Großen.)
  

Bezug
                                                                                
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#4 Unfaire Münze: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:08 Do 28.07.2011
Autor: kamaleonti

Hallo rabilein1,


> Ich glaube, in obigem Fall war selbst das 0.1 noch etwas zu
> kompliziert (von [mm]1/\pi[/mm] ganz zu schweigen).
> Vielleicht hätte schon ein Beispiel mit nur einer einzigen
> (oder maximal zwei) Verzweigung ausgereicht, um zu zeigen,
> was überhaupt gemeint ist.

In Zukunft wähle ich einfachere Beispiele . Minimalbeispiele sozusagen ;-)

>
> Und dann hätte ein Mathematiker "beweisen" können (das
> tun die ja immer so gerne), dass das mit jeder beliebigen
> Zahl (also auch mit [mm]1/\pi)[/mm] funktioniert.

Das wird dann Zusatzaufgabe.

LG


Bezug
                                                                                
Bezug
#4 Unfaire Münze: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:07 Do 28.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Meine Devise lautet:
>  Was im ganz Kleinen funktioniert, das funktioniert auch im
> ganz Großen.
>  Oder: Wer bis 10 zählen kann, der kann auch bis 10
> Millionen zählen.

Ich kenne viele Leute, die bis 10 zählen können und es hie
und da auch tun. Aber ich habe noch nie jemand getroffen,
der jemals bis 10 Millionen gezählt hat. Hätte ich einen
getroffen, so hätte ich mir gedacht: "welch ein Depp !" ...  ;-)
  

> Ich glaube, in obigem Fall war selbst das 0.1 noch etwas zu
> kompliziert (von [mm]1/\pi[/mm] ganz zu schweigen).
> Vielleicht hätte schon ein Beispiel mit nur einer einzigen
> (oder maximal zwei) Verzweigung ausgereicht, um zu zeigen,
> was überhaupt gemeint ist.

Allzu einfach sollten Beispiele auch nicht sein, wenn sie
"typisch" sein sollen.
Ich fand die Zahl  $\ [mm] 0.1_{DEZ}\ [/mm] =\ [mm] 0.0\overline{0011}_{BIN}$ [/mm]  deshalb günstig, weil
die Periode nicht gar zu trivial ist (wie etwa [mm] \overline{0} [/mm] , [mm] \overline{1} [/mm] , [mm] \overline{10} [/mm] )
und nicht gleich ganz vorne beginnt. Unter diesen Bedingungen
kämen z.B. auch $\ [mm] 0.0\overline{001}_{BIN}\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{14}$ [/mm] oder $\ [mm] 0.0\overline{011}_{BIN}\ [/mm] =\ [mm] \frac{3}{14}$ [/mm] in Frage.
Da ist doch 0.1 eine ganz nette Wahl.

LG   Al-Chw.

Bezug
                                                                                        
Bezug
#4 Unfaire Münze: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:39 Do 28.07.2011
Autor: rabilein1


> Aber ich habe noch nie jemand getroffen, der jemals bis 10 Millionen gezählt hat.

Es ging mir nicht darum, dass Jemand es tut (bis 10 Millionen zählen), sondern darum, dass er weiß, wie es geht. Und das Schema ist eigentlich schon klar, sobald man auf die ZEHN stößt.

Ich fände die Zahl [mm]\ 0.25_{DEZ}\ =\ 0.01_{BIN}[/mm] günstig, weil da gar keine Periode ist.

Das müsste dann meiner Vorstellung nach am Einfachsten sein, oder?
Wie würde das Schema denn dann aussehen?


Bezug
                                                                                                
Bezug
#4 Unfaire Münze: Diagramm für p = 1/4
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:38 Do 28.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Ich fände die Zahl [mm]\ 0.25_{DEZ}\ =\ 0.01_{BIN}[/mm] günstig,
> weil da gar keine Periode ist.

Da ist natürlich trotzdem eine Periode:  $\ 0.01\ =\ [mm] 0.01\overline{0}$ [/mm]

> Das müsste dann meiner Vorstellung nach am einfachsten
> sein, oder?
> Wie würde das Schema denn dann aussehen ?

Zum Beispiel so:

        [Dateianhang nicht öffentlich]

Siehe aber auch noch diese Mitteilung !

Man kann auch unmittelbar am obigen Diagramm sehen,
dass man es eigentlich noch vereinfachen kann. Da auf
einen in der untersten Raute dargestellten Doppelwurf
eigentlich nur noch das Schlussergebnis B möglich ist
(abgesehen von den Fällen, in welchen man für alle
Ewigkeit in den Schleifen hängen bleibt), könnte man
diesen unteren Teil abkürzen und gleich zum Ereignis B
übergehen. Logisch zwar nicht absolut korrekt, da das
unendliche Verharren in einer Schleife nicht logisch aus-
geschlossen ist, sondern "nur" ein Ereignis vom Wahr-
scheinlichkeitsmaß Null ist ...

LG    Al
  


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                                                                                                
Bezug
#4 Unfaire Münze: p = 1/4 : zu leicht ...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:45 Do 28.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Ich fände die Zahl [mm]\ 0.25_{DEZ}\ =\ 0.01_{BIN}[/mm] günstig,
> weil da gar keine Periode ist.
>  
> Das müsste dann meiner Vorstellung nach am Einfachsten
> sein, oder?
>  Wie würde das Schema denn dann aussehen?


Weil  [mm] $\frac{1}{4}\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{2}*\frac{1}{2}$ [/mm] , ginge das Ganze natürlich auch noch
einfacher als nach der "allgemeinen Methode", indem
man das Ereignis A einfach so festlegt:

A = "zweimal nacheinander "ZK" in zwei (gültigen) Doppelwürfen"

Auch dafür kann man ein Flussdiagramm zeichnen, was ich
mir jetzt aber erspare. Dieses Flussdiagramm hat keine
Schleife (außer jenen für das Erreichen gültiger Doppel-
würfe der Sorte "KZ" oder "ZK").

Die Knobelaufgabe, von der wir in diesem Thread ausgegangen
sind, wäre für den Fall  [mm] p=\frac{1}{4} [/mm]  natürlich viel leichter,
nach meinem Geschmack dann wirklich allzu leicht ...

LG   Al-Chw.  


Bezug
                                                                                                        
Bezug
#4 Unfaire Münze: endlich verstanden
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:19 Fr 29.07.2011
Autor: rabilein1


> Die Knobelaufgabe, von der wir in diesem Thread ausgegangen
> sind, wäre für den Fall  [mm]p=\frac{1}{4}[/mm]  natürlich viel
> leichter, nach meinem Geschmack dann wirklich allzu leicht ...

Ich hatte mir die Ursprungs-Aufgabe von kamaleonti bestimmt 125 Mal durchgelesen, ohne zu verstehen, was er überhaupt meinte.

Aber nun mit den ganz einfachen Zahlen und vor allem mit deinen Diagrammen ist mir das endlich klar geworden.

Es lag gar nicht mal an diesem [mm] 1/\pi, [/mm] sondern an der Frage-Konstruktion.



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