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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:41 Do 22.01.2015 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | Betrachte das Verfahren
[mm] y_{n+1}-y_n=h(3/4f_{n+1}+1/4f_n).
[/mm]
Ist das Verfahren A-stabil? |
Hallo,
Für die Modellgleichung ergibt sich
[mm] y_n(1-3/4 \mu)-y_{n-1}(1+1/4 \mu)=0
[/mm]
Also [mm] q(\mu)=\bruch{1+1/4\mu}{1-3/4\mu}
[/mm]
Damit [mm] |q(\mu)| \le [/mm] 1 --> (1+1/4 [mm] \alpha)^2+(1/4\beta)^2 \le (1-3/4\alpha)^2+(3/4\beta)^2 [/mm] --> [mm] (\alpha -1)^2+\beta^2 \ge [/mm] 1. Da ist ja ein Kreis um (1,0) mit Radius 1. Also ist das Verfahren nicht A-stabil, da [mm] \alpha [/mm] nicht kleiner als 0 ist.
Ist das so ok?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:00 Fr 23.01.2015 | | Autor: | Trikolon |
Wäre echt froh, wenn mal jemand drüber schauen könnte. Vor allem, ob es richtig ist, dass aus der Rechnung folgt, dass das Verfahren nicht A-stabil ist. Da bin ich mir nicht ganz sicher...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:12 Fr 23.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Wäre echt froh, wenn mal jemand drüber schauen könnte.
> Vor allem, ob es richtig ist, dass aus der Rechnung folgt,
> dass das Verfahren nicht A-stabil ist. Da bin ich mir nicht
> ganz sicher...
Ich verstehe nichts von A_Stabilität. Du schreibst:
"$ [mm] (\alpha -1)^2+\beta^2 \ge [/mm] $ 1. Da ist ja ein Kreis um (1,0) mit Radius 1. Also ist das Verfahren nicht A-stabil, da $ [mm] \alpha [/mm] $ nicht kleiner als 0 ist. "
Welches [mm] \alpha [/mm] meinst Du denn ??
Die Ungleichung
$ [mm] (\alpha -1)^2+\beta^2 \ge [/mm] $ 1
beschreibt das Äußere eines Kreises um (1,0) mit Radius 1.
Wenn ein Paar [mm] (\alpha, \beta) [/mm] obige Ungleichung erfüllt, so kann [mm] \alpha [/mm] durch aus < 0 sein.
Beispiel : [mm] \alpha [/mm] =-1
Jedes Paar (-1, [mm] \beta) [/mm] erfüllt die Ungleichung
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:33 Fr 23.01.2015 | | Autor: | Trikolon |
Ja, aber ich habe das so verstanden, dass [mm] \alpha [/mm] stets kleiner 0 sein muss..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:47 Sa 24.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo!
> Ja, aber ich habe das so verstanden, dass [mm]\alpha[/mm] stets kleiner 0 sein muss..
Ja, du sollst ein [mm] \alpha<0 [/mm] finden, so dass deine Bedingung nicht gilt.
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:11 Sa 24.01.2015 | | Autor: | Trikolon |
Das verstehe ich jetzt nicht ganze. [mm] \alpha [/mm] < 0 ist doch meine Bedingung. Was mir noch aufgefallen ist. Dieses Verfahren hat dasselbe Stabilitätsgebiet wie das implizite euler Verfahren. Da steht bei uns im Skript es sei a stabil...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:01 Sa 24.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
Ja, das war nicht ganz richtig formuliert von mir. Wenn du zeigen sollst, dass
das Verfahren nicht A-stabil ist, dann hättest du das machen müssen. Hier
Ist das Verfahren aber A-stabil, so dass du die Bedingung zeigen sollst.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:44 Sa 24.01.2015 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Betrachte das Verfahren
> [mm]y_{n+1}-y_n=h(3/4f_{n+1}+1/4f_n).[/mm]
> Ist das Verfahren A-stabil?
> Hallo,
> Für die Modellgleichung ergibt sich
> [mm]y_n(1-3/4 \mu)-y_{n-1}(1+1/4 \mu)=0[/mm]
>
> Also [mm]q(\mu)=\bruch{1+1/4\mu}{1-3/4\mu}[/mm]
>
> Damit [mm]|q(\mu)| \le[/mm] 1 --> (1+1/4 [mm]\alpha)^2+(1/4\beta)^2 \le (1-3/4\alpha)^2+(3/4\beta)^2[/mm]
Bis hier ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Vielleicht hättest du [mm] $\mu [/mm] = [mm] \alpha [/mm] + [mm] i\beta$ [/mm] dazu schreiben sollen.
> --> [mm](\alpha -1)^2+\beta^2 \ge[/mm] 1. Da ist ja ein Kreis um
Wie du zu diesem Schuß kommst, verstehe ich nicht.
Mit [mm] $\left(1 +\bruch{1}{4}\alpha\right)^2 [/mm] + [mm] \left( \bruch{1}{4}\beta\right) [/mm] ^2 [mm] \le \left(1-\bruch{3}{4}\alpha\right)^2 [/mm] + [mm] \left(\bruch{3}{4}\beta\right)^2$ [/mm] ausmultiplizert,
auf eine Seite gebracht, zusammengefasst und mit 2 multipliziert,
komme ich auf:
[mm] $4\alpha-\alpha^2-\beta^2 \le [/mm] 0$
Diese Ungleichung ist für alle [mm] $\alpha [/mm] < 0 $ und beliebige [mm] $\beta$ [/mm] erfüllt.
(In Abhängigkeit von [mm] $\beta$ [/mm] auch für manche [mm] $\alpha \ge [/mm] 0$.)
Daraus folgt Verfahren ist A-stabil.
> (1,0) mit Radius 1. Also ist das Verfahren nicht A-stabil,
> da [mm]\alpha[/mm] nicht kleiner als 0 ist.
>
> Ist das so ok?
Gruß
meili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:47 Sa 24.01.2015 | | Autor: | Trikolon |
Danke, meili, jetzt hab ichs kapiert 
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