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| Aufgabe | Differenzieren Sie folgende Funktionen
[mm] y=ln\bruch{\wurzel{1+x}}{\wurzel{1-x}} [/mm] |
Da fehlt mir jeglicher Ansatz? Kettenregel, Quotientenregel, den Bruch auflösen?
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Hallo Daniel,
> Differenzieren Sie folgende Funktionen
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> [mm]y=ln\bruch{\wurzel{1+x}}{\wurzel{1-x}}[/mm]
> Da fehlt mir jeglicher Ansatz? Kettenregel,
> Quotientenregel, den Bruch auflösen?
Prinzipiell kannst du natürlich die Kettenregel hernehmen, es ist ja eine schön mehrfach verkettete Funktion.
Du kannst dir das Leben aber auch erleichtern, indem du den Ausdruck mithilfe der beiden Logarithmengesetze
1) [mm] $\ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)$ [/mm] und
2) [mm] $\ln\left(a^b\right)=b\cdot{}\ln(a)$
[/mm]
zunächst weitgehend umformst und vereinfachst, so dass das Ableiten am Ende ein Klacks wird ...
Geh's mal an ...
Gruß
schachuzipus
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Hhhmm, also wenn ich den Ausdruck zerlege, erhalte ich:
[mm] ln(\wurzel{1+x})-ln(\wurzel{1-x})
[/mm]
das kann ich wieder umformen in
[mm] \bruch{1}{2}ln(1+x)-\bruch{1}{2}ln(1-x) [/mm]
Sollte ich hier [mm] \bruch{1}{2}ln [/mm] ausklammern?
Ohne Ausklammern kann ich ja jetzt ableiten, ist dann also
[mm] \bruch{1}{2+2x}-\bruch{1}{2-2x} [/mm] ???
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Hallo nochmal,
> Hhhmm, also wenn ich den Ausdruck zerlege, erhalte ich:
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> [mm]ln(\wurzel{1+x})-ln(\wurzel{1-x})[/mm]
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> das kann ich wieder umformen in
>
> [mm]\bruch{1}{2}ln(1+x)-\bruch{1}{2}ln(1-x)[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Sollte ich hier [mm]\bruch{1}{2}ln[/mm] ausklammern?
Wie soll das denn gehen? [mm] $\ln$ [/mm] ist doch ein Funktionsname, du kannst duch in [mm] $\cos(x)+\cos(2x)$ [/mm] auch nicht [mm] $\cos$ [/mm] ausklammern, was soll das bedeuten?
Du kannst aber [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] ausklammern
>
> Ohne Ausklammern kann ich ja jetzt ableiten, ist dann also
>
> [mm]\bruch{1}{2+2x}-\bruch{1}{2-2x}[/mm] ???
Fast, da ist ein falsches Vorzeichen, das dahher rührt, dass du die innere Ableitung von [mm] $\ln(1-x)$ [/mm] unterschlagen hast ...
Aber es stimmt fast, siehst du den Fehler?
LG
schachuzipus
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Sorry, bin wohl nach nem ganzen Tag voller Aufgaben matheblind.
Also der Ausdruck lautet [mm] \bruch{1}{2}(ln(1+x)-ln(1-x)), [/mm] richtig?
Abgeleitet = [mm] \bruch{1}{2}(\bruch{1}{1+x}-\bruch{1}{1-x})
[/mm]
Ich beweg mich auf der Stelle.
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Hallo,
du hast wiederum nicht die innere Ableitung berücksichtig bei $ln(1-x)$. Dies wird differenziert zu [mm] \frac{1}{1-x}*\red{(1-x)'}=\frac{1}{1-x}*(-1)=-\frac{1}{1-x} [/mm] und zusammen mit dem Minus aus der Funktion wird daraus ein Plus.
Der Rest ist korrekt.
Gruß Patrick
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[mm] \bruch{1}{2+2x}-\bruch{1}{2-2x}
[/mm]
Das Minus müsste falsch sein. Kann es sein das es
[mm] \bruch{1}{2+2x}+\bruch{1}{2-2x} [/mm] heissen muss?
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Kann ich das noch zusammenfassen? Die vorgegebene Lösung lautet:
[mm] \bruch{1}{1-x^{2}}
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Kann ich das noch zusammenfassen?
Ja, kannst du.
Klammere mal [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] aus, dann hast du:
[mm] $\frac{1}{2}\cdot{}\left(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}\right)$
[/mm]
Nun mache mal in der Klammer gleichnamig ... (denke an die 3.binom. Formel ...)
> Die vorgegebene Lösung
> lautet:
>
> [mm]\bruch{1}{1-x^{2}}[/mm]
Kommst du drauf?
LG
schachuzipus
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Momentan steh ich auf dem Schlauch, weiss nicht wie ich den Ausdruck gleichnamig bekomme.
Wenn ich mir die Lösung ansehe und den Tip mit der 3. binom. Formel, dann weiss ich, das ich die Nenner irgendwie zusammenbasteln muss, weil ja
[mm] (1+x)(1-x)=1-x^2 [/mm] ist.
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Hallo, du hattest
[mm] \bruch{1}{2}*[\bruch{1}{1+x}+\bruch{1}{1-x}]
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}*[\bruch{1*(1-x)}{(1+x)*(1-x)}+\bruch{1*(1+x)}{(1-x)*(1+x)}]
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}*[\bruch{1-x+1+x}{1-x^{2}}]
[/mm]
so noch zwei kleine Schritte
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:42 Mo 24.08.2009 | | Autor: | Hoffmann79 |
Hallo Steffi,
ich glaube jetzt ist selbst mir alles klar, man man man.
Nur noch zusammenfassen, dann kürzen und übrig bleibt das Endergebnis.
Danke euch allen.
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