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Dass die Ableitung der Funktion [mm] f(x)=x^n f'(x)=nx^{n-1} [/mm] ist, lässt sich leicht beweisen, sofern [mm] n\in\IN. [/mm] Aber warum können auch so die Ableitungen von Funktionen wie [mm] f(x)=\wurzel{x} [/mm] oder [mm] f(x)=x^{-2} [/mm] bestimmt werden. Außerdem frage ich mich, wie man die Ableitungen von trigonometrischen, sowie von Arkus- Funktionen bildet.
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Hallo,
du kannst nach besagter Regel auch die von dir genannten Funktionen ableiten:
[mm] f(x)=\wurzel{x}=x^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{2}*x^{(\bruch{1}{2}-1)}=\bruch{1}{2}*x^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{x^{\bruch{1}{2}}}=\bruch{1}{2*\wurzel{x}}
[/mm]
ebenso bei deinem zweiten Beispiel,
steffi
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Hallo Steffi!!!!
..Bedingung, dass die Potenzregel gilt!
Man könnte sich jedoch jeden Grund "genieren" ihr Korrektheit auch für rationale oder sogar irrationale Exponenten in Frage zu stellen!
Mit lieben Grüßen
Goldener Schnitt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:25 Do 15.02.2007 | | Autor: | Salamence |
Ich weiß, dass es möglich ist, so die Ableitungen solcher Funktionen zu bestimmen. Was ich wissen will ist, warum das auch bei Funktionen mit "unnatürlichen" Exponenten geht. Bei natürlichen Exponenten lässt es sich ja mit der h-Methode beweisen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:50 Do 15.02.2007 | | Autor: | Steffi21 |
sorry,
hatte deine Frage nicht exakt gelesen, wenn du die Gültigkeit der Quotientenregel bewiesen hast, kannst du diese z. B. auf Funktionen mit ganzzahligen negativen Exponenten anwenden,
z. B. [mm] x^{-3}=\bruch{x^{5}}{x^{8}},
[/mm]
Steffi
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> Dass die Ableitung der Funktion [mm]f(x)=x^n f'(x)=nx^{n-1}[/mm]
> ist, lässt sich leicht beweisen, sofern [mm]n\in\IN.[/mm] Aber warum
> können auch so die Ableitungen von Funktionen wie
> [mm]f(x)=\wurzel{x}[/mm] oder [mm]f(x)=x^{-2}[/mm] bestimmt werden. Außerdem
> frage ich mich, wie man die Ableitungen von
> trigonometrischen, sowie von Arkus- Funktionen bildet.
Hallo,
[mm] f(x):=\wurzel{x} [/mm] kannst Du auch mit Deiner "h-Methode" unter Kontrolle kriegen.
Die Ableitungsregel für [mm] f(x):=x^r [/mm] mit r [mm] \in \IR [/mm] kannst Du zeigen, indem Du es umschreibst zu [mm] f(x):=x^r=e^{r*ln(x)} [/mm] und dann die Kettenregel anwendest.
(Zuvor muß man wissen, wie man [mm] e^x [/mm] und ln(x) differenziert.)
Sinus und Cosinus gehen mit der h-Methode unter Anwendung der Additionstheoreme für die trigonometrischen Funktionen.
Bzgl. der Umkehrfunktion [mm] f^u [/mm] zu einer Funktion f kann man zeigen, daß gilt:
[mm] f^u(x)=\bruch{1}{f'(f^u(x))}.
[/mm]
Auf diesem Weg bekommt man z.B. die Ableitung des Arccussinus.
Gruß v. Angela
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