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| Aufgabe | Bilde die 1. und 2. Ableitung.
c) $f(x) = [mm] \log_3{x} +3^n$
[/mm]
e) $f(x) = [mm] \ln(1+kt)$
[/mm]
f) $h(t) = [mm] \bruch{1}{2} \ln(\bruch{t}{b}-1)$ [/mm] |
Hallo Leute!
Also wie die erste Ableitung von c) geht, weiß ich bereits und zwar wäre dies:
c) $f'(x) = [mm] \bruch{1}{ln3*x} [/mm] + [mm] \ln3*e^{\ln3*x}$
[/mm]
Die zweite Ableitung soll so sein:
c) $f''(x) = [mm] \bruch{\ln3}{(ln3*x)^2} [/mm] + [mm] 2*\ln3*e^{\ln3*x}$
[/mm]
ICH komme allerdings auf:
c) $f''(x) = [mm] \bruch{-\ln3}{(ln3*x)^2} [/mm] + [mm] (\ln3)^2*e^{\ln3*x}$
[/mm]
Und zwar verwende ich zunächst die Kettenregel für [mm] $e^{\ln3*x}$, [/mm] dann kommt doch [mm] $\ln3*e^{\ln3*x}$ [/mm] heraus, und dann noch die Faktorregel für den Term [mm] $\ln3*e^{\ln3*x}$ [/mm] und so kommt man dann doch auf [mm] $(\ln3)^2*e^{\ln3*x}$ [/mm] oder nicht? Beim Bruch habe ich zunächst die Faktorregel für den Nenner benutzt und beim gesamten Bruch die Quotientenregel angewandt. Den GESAMTEN Term habe ich dann über die Summenregel bekommen.
Sooo und nun die 1. Ableitung für e und f:
e) $f'(x) = [mm] \bruch{1}{1+kt}$
[/mm]
f) $f'(x) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \bruch{1}{\bruch{t}{b}-1}$
[/mm]
Richtig?
Danke euch!
LG
Steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:06 Do 17.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo steffi
> Bilde die 1. und 2. Ableitung.
> c) [mm]f(x) = \log_3{x} +3^n[/mm]
> e) [mm]f(x) = \ln(1+kt)[/mm]
> f) [mm]h(t) = \bruch{1}{2} \ln(\bruch{t}{b}-1)[/mm]
>
> Hallo Leute!
>
> Also wie die erste Ableitung von c) geht, weiß ich bereits
> und zwar wäre dies:
> c) [mm]f'(x) = \bruch{1}{ln3*x} + \ln3*e^{\ln3*x}[/mm]
> Die zweite
> Ableitung soll so sein:
> c) [mm]f''(x) = \bruch{\ln3}{(ln3*x)^2} + 2*\ln3*e^{\ln3*x}[/mm]
>
> ICH komme allerdings auf:
> c) [mm]f''(x) = \bruch{-\ln3}{(ln3*x)^2} + (\ln3)^2*e^{\ln3*x}[/mm]
die zweite Ableitung ist richtig bei dir, ich wrde noch ln3 vorne kürzen.
> Und zwar verwende ich zunächst die Kettenregel für
> [mm]e^{\ln3*x}[/mm], dann kommt doch [mm]\ln3*e^{\ln3*x}[/mm] heraus, und
> dann noch die Faktorregel für den Term [mm]\ln3*e^{\ln3*x}[/mm] und
> so kommt man dann doch auf [mm](\ln3)^2*e^{\ln3*x}[/mm] oder nicht?
> Beim Bruch habe ich zunächst die Faktorregel für den
> Nenner benutzt und beim gesamten Bruch die Quotientenregel
> angewandt. Den GESAMTEN Term habe ich dann über die
> Summenregel bekommen.
>
> Sooo und nun die 1. Ableitung für e und f:
> e) [mm]f'(x) = \bruch{1}{1+kt}[/mm]
hier hast du, wenn da f(x) steht nichts was von x abhängt, also ist die Ableitung 0. wenn es f(t) ist hast du die kettenregel vergessen, es fehlt die ableitung von (1+kt)
> f) [mm]f'(x) = \bruch{1}{2} * \bruch{1}{\bruch{t}{b}-1}[/mm]
auch hier die Kettenregel vergessen.
> Richtig?
nur teilweise
Aber all das hat nix mit L'Hopital zu tun, was soll die überschrift??
Gruss leduart
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Wenn man ln3 bei der 2. Ableitung von c) kürzt, dann sehe das so aus, richtig?
$ f''(x) = [mm] \bruch{-1}{x(ln3\cdot{}x)} [/mm] + [mm] (\ln3)^2\cdot{}e^{\ln3\cdot{}x} [/mm] $
Ja, bei e) kommt dann die Ableitung 0 raus!
Verwendet man bei [mm] $\bruch{t}{b}$ [/mm] nicht die Quotientenregel? also quasi [mm] $\bruch{t'*b - t*b'}{b^2}$?
[/mm]
Die erste Ableitung von f):
[mm] $f'(x)=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{{\bruch{t'*b - t*b'}{b^2}}}
[/mm]
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Hallo Steffii2012,
> Wenn man ln3 bei der 2. Ableitung von c) kürzt, dann sehe
> das so aus, richtig?
> [mm]f''(x) = \bruch{-1}{x(ln3\cdot{}x)} + (\ln3)^2\cdot{}e^{\ln3\cdot{}x}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ja, bei e) kommt dann die Ableitung 0 raus!
>
> Verwendet man bei [mm]\bruch{t}{b}[/mm] nicht die Quotientenregel?
> also quasi [mm]\bruch{t'*b - t*b'}{b^2}[/mm]?
Nein, b ist hier eine Konstante.
>
> Die erste Ableitung von f):
> [mm]$f'(x)=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{{\bruch{t'*b - t*b'}{b^2}}}[/mm]
Gruss
MathePower
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
@leduart
Ja, das ganze hier hat tatsächlich nichts mit den Regeln von de l'Hospital zu tun. Ich war noch beim letzten Thema. Also habe ich den Titel entsprechend editiert. :)
@MathePower
Man kann $\bruch{t}{b}$ doch auch so schreiben $t*b^{-1}$, abgeleitet wäre das also $-1*t*b^{-2}$.
Die 1. Ableitung von f):
$f'(x)=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{-1*t*b^{-2}$
Nun korrekt?
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Hallo Steffi2012,
> @leduart
> Ja, das ganze hier hat tatsächlich nichts mit den Regeln
> von de l'Hospital zu tun. Ich war noch beim letzten Thema.
> Also habe ich den Titel entsprechend editiert. :)
>
> @MathePower
> Man kann [mm]\bruch{t}{b}[/mm] doch auch so schreiben [mm]t*b^{-1}[/mm],
> abgeleitet wäre das also [mm]-1*t*b^{-2}[/mm].
> Die 1. Ableitung von f):
> [mm]f'(x)=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{-1*t*b^{-2}[/mm]
Noch einmal: b ist eine Konstante, unabhängig von t.
Die Ableitung einer Konstanten ergibt 0.
>
> Nun korrekt?
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:26 Do 17.02.2011 | | Autor: | Steffi2012 |
Doppelpost, sorry!
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Okay, danke, dir MathePower. 
Wenn b = 0 ist, ist die Ableitung für $/bruch{t}{b}$ doch 1, oder sehe ich das jetzt falsch?
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Hallo Steffi2012,
> Okay, danke, dir MathePower.
>
> Wenn b = 0 ist, ist die Ableitung für [mm]/bruch{t}{b}[/mm] doch 1,
> oder sehe ich das jetzt falsch?
b ist nicht 0, sondern deren Ableitung ist 0.
Gruss
MathePower
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Ja, sorry, ich meinte natürlich die Ableitung von b.
Also die Ableitung von [mm] $\bruch{1}{b}*t$ [/mm] ist 1, oder liege ich hier falsch? Denn die Ableitung von [mm] $\bruch{1}{b}$ [/mm] ist ja null, und die Ableitung von t müsste 1 sein.
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Hallo Steffi2012,
> Ja, sorry, ich meinte natürlich die Ableitung von b.
> Also die Ableitung von [mm]\bruch{1}{b}*t[/mm] ist 1, oder liege
> ich hier falsch? Denn die Ableitung von [mm]\bruch{1}{b}[/mm] ist ja
> null, und die Ableitung von t müsste 1 sein.
Konstanten werden beim Ableiten mitgeschleppt.
Lies Dir die Ableitungsregeln durch.
Hier insbesondere die Faktorregel.
Gruss
MathePower
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Danke für den Hinweis! Aber jetzt habe ich es endlich... habe mich sehr dumm angestellt. *lol*
Die Ableitung von [mm] $\bruch{t}{b}$ [/mm] ist also [mm] $\bruch{1}{b}$.
[/mm]
Also die Ableitung von f) ist also:
$f'(x) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{b}}$
[/mm]
Ist die erste Ableitung jetzt nun richtig?
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Hallo Steffi2012,
> Danke für den Hinweis! Aber jetzt habe ich es endlich...
> habe mich sehr dumm angestellt. *lol*
>
> Die Ableitung von [mm]\bruch{t}{b}[/mm] ist also [mm]\bruch{1}{b}[/mm].
> Also die Ableitung von f) ist also:
> [mm]f'(x) = \bruch{1}{2} * \bruch{1}{\bruch{1}{b}}[/mm]
>
> Ist die erste Ableitung jetzt nun richtig?
Leider nicht.
Die Ableitung von [mm]\ln\left( \ g\left(x\right) \right)[/mm] ist doch:
[mm]\left( \ \ln\left( \ g\left(x\right) \ \right) \ \right)'=\bruch{g'\left(x\right)}{g\left(x\right)}[/mm]
Gruss
MathePower
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Hmmm, das habe ich nicht gewusst. Kannte nur diese Schreibweise:
$(lnx)' = [mm] \bruch{1}{x}$
[/mm]
Hmm... guuut, also:
[mm] $f'(x)=\bruch{1}{2}*\bruch{\bruch{1}{b}}{\bruch{t}{b}-1}$
[/mm]
Aber jetzt??
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Hallo Steffi2012,
> Hmmm, das habe ich nicht gewusst. Kannte nur diese
Das ist nur die Anwendung der Kettenregel.
> Schreibweise:
>
> [mm](lnx)' = \bruch{1}{x}[/mm]
>
> Hmm... guuut, also:
>
> [mm]f'(x)=\bruch{1}{2}*\bruch{\bruch{1}{b}}{\bruch{t}{b}-1}[/mm]
>
> Aber jetzt??
>
Ja.
Gruss
MathePower
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Danke. Für die 2. Ableitung muss ich die Quotienten- sowie die Faktorregel anwenden, oder?
Noch ein Hinweis: Ich habe immer $f(x)$ geschrieben, allerdings hätte ich $h(t)$ schreiben müssen. War also ein Fehler von mir.
Naja, ist das korrekt?
[mm] $h''(t)=\bruch{1}{2}*\bruch{-b^{-2}*(\bruch{t}{b}-1)-\bruch{1}{b^2}}{(\bruch{t}{b}-1)^2}
[/mm]
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Hallo Steffi2012,
> Danke. Für die 2. Ableitung muss ich die Quotienten- sowie
> die Faktorregel anwenden, oder?
Eigenttlich nur die Potenzregel mit Faktorregel.
> Noch ein Hinweis: Ich habe immer [mm]f(x)[/mm] geschrieben,
> allerdings hätte ich [mm]h(t)[/mm] schreiben müssen. War also ein
> Fehler von mir.
>
> Naja, ist das korrekt?
>
> [mm]$h''(t)=\bruch{1}{2}*\bruch{-b^{-2}*(\bruch{t}{b}-1)-\bruch{1}{b^2}}{(\bruch{t}{b}-1)^2}[/mm]
>
Das ist nicht korrekt.
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:39 Fr 18.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo Steffi
immer bevor man weiter differenziert möglichst vereinfachen:
$ [mm] f'(x)=\bruch{1}{2}\cdot{}\bruch{\bruch{1}{b}}{\bruch{t}{b}-1} [/mm] $
mit b erweitern gibt
[mm] \bruch{1}{2}*\bruch{1}{t-b}=\bruch{1}{2}*(t-b)^{-1}
[/mm]
Gruss leduart
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