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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:25 Do 06.06.2013 | | Autor: | arraneo |
Hey hey, Hier gibt's eine Aufgabe für eine Bewerbungsprüfung:
Wie viele Paare (x,y) mit x,y [mm] \in [/mm] N gibt es, damit:
[mm] x^2+6x+y^2=4 [/mm] gilt?
Ich weiß ehrlich gesagt gar nicht womit ich hier anfangen soll, da ich noch nie solche Aufgaben gemacht habe.
Kann mir bitte jemanden dabei irgendwie helfen? Sprich zuerst einen kleinen Tipp geben, von wegen, was soll ich mir zuerst überlegen und dann schauen wir mal weiter.
Vielen Dank ,
arraneo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:54 Do 06.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hey hey, Hier gibt's eine Aufgabe für eine
> Bewerbungsprüfung:
>
> Wie viele Paare (x,y) mit x,y [mm]\in[/mm] N gibt es, damit:
>
> [mm]x^2+6x+y^2=4[/mm] gilt?
>
> Ich weiß ehrlich gesagt gar nicht womit ich hier anfangen
> soll, da ich noch nie solche Aufgaben gemacht habe.
>
> Kann mir bitte jemanden dabei irgendwie helfen? Sprich
> zuerst einen kleinen Tipp geben, von wegen, was soll ich
> mir zuerst überlegen und dann schauen wir mal weiter.
Mit N meinst Du wohl die Menge der natürlichen Zahlen, also [mm] \IN.
[/mm]
Du solltest noch verraten, ob bei Euch die 0 zu [mm] \IN [/mm] gehört oder nicht.
Wenn nicht, so ist also x [mm] \ge [/mm] 1 und y [mm] \ge [/mm] 1.
Damit ist $ [mm] x^2+6x+y^2 \ge [/mm] 1+6+1=8 $ . In diesem Fall gibt es also kein Paar (x,y) mit $ [mm] x^2+6x+y^2=4 [/mm] $
So, nun überlege Du Dir, wie die Sache aussieht, wenn [mm] \IN=\{0,1,2,...\} [/mm] ist.
FRED
>
> Vielen Dank ,
>
> arraneo
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:08 Do 06.06.2013 | | Autor: | arraneo |
Hallo Fred,
Vielen Dank erstmal für die super schnelle Antwort!!
Es tut mir richtig leid, denn ich hatte mich verschrieben, x sollte also eigentlich eine ganze Zahl sein, daher ist 0 auch mal dabei..
Ich habe es verstanden was du da gemacht hast, aber wenn x ne ganze Zahl ist, dann haben wir gar keine Ungleichung..
Hast du noch eine Idee dazu vielleicht?
Es gibt hier eine ganze Menge mit solchen Aufgaben und ich denke mir, wenn ich mal eine verstanden habe, dann kann ich ruhig auch weiter machen. Es muss also irgendwo einen Trick geben für solche Aufgaben, oder?
danke! arraneo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:08 Do 06.06.2013 | | Autor: | meili |
Hallo arraneo,
Du könntest die Gleichung [mm] $x^2 [/mm] + 6x + [mm] y^2 [/mm] = 4$ nach x auflösen.
(quadratische Gleichung)
Das Ergebnis für x ist dann abhängig von y.
Wegen Wurzel und x nur ganze Zahl sind die Möglichkeiten für y überschaubar.
(Soll y auch aus [mm] $\IZ$ [/mm] sein?)
Zur Überprüfung kannst Du dann die Ergebnispaare (x,y) noch in die
Ausgangsgleichung einsetzen.
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:49 Do 06.06.2013 | | Autor: | arraneo |
Hey danke für die Antwort, finde sie aber irgendwie nicht so hilfreich.. Das liegt aber nicht an dir, ich bin an dieser Stelle gerade irgendwie doof und kapiere das nicht..
das war also:
[mm] x^2+6x+y^2=4 [/mm]
[mm] \gdw x^2+6x=4-y^2
[/mm]
Und von hier aus weiß ich gar nicht, wie es weiter laufen soll , denn diese Gleichung ist nicht der Form: [mm] ax^2+bx+c=0 [/mm] um mal die Lösungen mit der entsprechenden Formel herauszuziehen.
Ich bin also immer noch Ahnungslos hier. Hilfe?!
danke im voraus. arraneo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:01 Do 06.06.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Hey danke für die Antwort, finde sie aber irgendwie nicht
> so hilfreich.. Das liegt aber nicht an dir, ich bin an
> dieser Stelle gerade irgendwie doof und kapiere das nicht..
>
> das war also:
>
> [mm]x^2+6x+y^2=4[/mm]
>
> [mm]\gdw x^2+6x=4-y^2[/mm]
[mm]\gdw x^2+6x-4+y^2=0[/mm]
Dann ist $a=1$, $b=6$ und [mm] $c=-4+y^2$.
[/mm]
>
> Und von hier aus weiß ich gar nicht, wie es weiter laufen
> soll , denn diese Gleichung ist nicht der Form: [mm]ax^2+bx+c=0[/mm]
> um mal die Lösungen mit der entsprechenden Formel
> herauszuziehen.
>
> Ich bin also immer noch Ahnungslos hier. Hilfe?!
>
> danke im voraus. arraneo
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:09 Do 06.06.2013 | | Autor: | arraneo |
Hey, ja stimmt.. dooooof. .
dann haben wir mal:
[mm] x^2+6x+y^2=4
[/mm]
[mm] \gdw x^2+6x+y^2-4=0 [/mm]
[mm] x_{1,2}=\frac{-6\pm\wurzel{36-4(y^2-4}}{2}=\frac{-6\pm2\wurzel{9-y^2+4)}}{2}=\frac{-6\pm2\wurzel{13-y^2}}{2}
[/mm]
Dann bräuchten wir aber, dass [mm] \wurzel{13-y^2}\ge0 \Rightarrow y^2\le13
[/mm]
[mm] \Rightarrow |y|\le\wurzel{13}\to4 \Rightarrow [/mm] -4<y<4.
[mm] \wurzel{13-y^2}\in\IZ [/mm] , da [mm] x\in\IZ [/mm] sein muss und außerdem ist [mm] y\in\IZ [/mm] auch.
Daraus folgt y={2,3} und somit folgt für y=2 :
[mm] x_{1,2}=\frac{-6\pm2\wurzel{13-2^2}}{2}=\frac{-6\pm2*3}{2} \Rightarrow x_1=\frac{-6+6}{2}=0 [/mm] und [mm] x_2=\frac{-6-6}{2}=-6
[/mm]
für y=3:
[mm] x_{1,2}=\frac{-6\pm2\wurzel{13-3^2}}{2}=x_{1,2}=\frac{-6\pm2\wurzel{13-9}}{2}=x_{1,2}=\frac{-6\pm2*2}{2}=\frac{-6\pm4}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_1=\frac{-6+4}{2}=-1 [/mm] und [mm] x_2=\frac{-6-4}{2}=-5
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] y={2,3} und x={-6,-5,-1,0} [mm] \Rightarrow [/mm] es gibt 8 solche Paare!.
Ist das richtig?
Und jetzt wäre die Frage, gibt es gar keine andere Art und Weise um solche Aufgaben zu lösen, die weniger Zeit kosten? ^^
danke vielmals.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:23 Do 06.06.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hey, ja stimmt.. dooooof. .
>
> dann haben wir mal:
>
> [mm]x^2+6x+y^2=4[/mm]
>
> [mm]\gdw x^2+6x+y^2-4=0[/mm]
>
> [mm]x_{1,2}=\frac{-6\pm\wurzel{36-4(y^2-4}}{2}=\frac{-6\pm2\wurzel{9-y^2+4)}}{2}=\frac{-6\pm2\wurzel{13-y^2}}{2}[/mm]
Das ist soweit korrekt.
>
> Dann bräuchten wir aber, dass [mm]\wurzel{13-y^2}\ge0 \Rightarrow y^2\le13[/mm]
So ist es.
>
> [mm]\Rightarrow |y|\le\wurzel{13}\to4 \Rightarrow[/mm] -4<y<4.
Für [mm] y\in\IZ [/mm] ist das korrekt
>
> [mm]\wurzel{13-y^2}\in\IZ[/mm] , da [mm]x\in\IZ[/mm] sein muss und außerdem
> ist [mm]y\in\IZ[/mm] auch.
>
> Daraus folgt y={2,3} und somit folgt für y=2 :
>
> [mm]x_{1,2}=\frac{-6\pm2\wurzel{13-2^2}}{2}=\frac{-6\pm2*3}{2} \Rightarrow x_1=\frac{-6+6}{2}=0[/mm]
> und [mm]x_2=\frac{-6-6}{2}=-6[/mm]
>
> für y=3:
>
> [mm]x_{1,2}=\frac{-6\pm2\wurzel{13-3^2}}{2}=x_{1,2}=\frac{-6\pm2\wurzel{13-9}}{2}=x_{1,2}=\frac{-6\pm2*2}{2}=\frac{-6\pm4}{2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x_1=\frac{-6+4}{2}=-1[/mm] und
> [mm]x_2%3D%5Cfrac%7B-6-4%7D%7B2%7D%3D-5[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] y={2,3} und x={-6,-5,-1,0} [mm]\Rightarrow[/mm] es gibt
> 8 solche Paare!.
>
> Ist das richtig?
Fast, y=-2 und y=-3 führen auch noch zu denselben Lösungen.
Also hast du:
[mm] \mathbb{L}=\{(0|2);(6|2);(0|-2);(6|-2);(-1|3);(-5|3);(-1|-3);(-5|-3)\}
[/mm]
>
> Und jetzt wäre die Frage, gibt es gar keine andere Art und
> Weise um solche Aufgaben zu lösen, die weniger Zeit
> kosten? ^^
Wieso? Das ist doch schnell gemacht, ein paar quadratische Gleichungen zu lösen.
>
> danke vielmals.
>
>
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:31 Do 06.06.2013 | | Autor: | arraneo |
Hallo Marius,
Fast sagt mir nur dass ich irgendwo Fehler gemacht habe, was also nicht richtig ist :)
Kannst du mir daher erklären, wie du auf -2, -3 und 6 gekommen bist?
also erstmal warum -2 , -3 und nicht 2,3 für y? Dann aber an der selben Stelle warum nicht alle 4?!
Und dann, egal ob das mit plus oder minus da steht, komme ich trotzdem nicht auf x= 6.. sondern x=-6
danke ^^
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:48 Do 06.06.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo Marius,
>
> Fast sagt mir nur dass ich irgendwo Fehler gemacht habe,
> was also nicht richtig ist :)
>
> Kannst du mir daher erklären, wie du auf -2, -3 und 6
> gekommen bist?
>
> also erstmal warum -2 , -3 und nicht 2,3 für y?
Auch durch y=-2 und y=-3 wird die Wurzel aus der ABC-Formel, also [mm] \sqrt{13-y^{2}} [/mm] ganzzahlig.
Denn
[mm] \sqrt{13-(-2)^{2}}=\sqrt{13-4}=\sqrt{9}=\pm3
[/mm]
[mm] \sqrt{13-(-3)^{2}}=\sqrt{13-9}=\sqrt{4}=\pm2
[/mm]
Aber auch
[mm] \sqrt{13-2^{2}}=\sqrt{13-4}=\sqrt{9}=\pm3
[/mm]
[mm] \sqrt{13-3^{2}}=\sqrt{13-9}=\sqrt{4}=\pm2
[/mm]
Daher hast du die vier Möglichkeiten [mm] y=\pm2 [/mm] und [mm] y=\pm3
[/mm]
Mit [mm] y=\pm2 [/mm] ergibt sich:
[mm] x^{2}+6x+(\pm2)^{2}=4
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow x^{2}+6x+4=4
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow x\cdot(x+6)=0
[/mm]
Und das führt zu x=0 oder x=-6, sorry deine -6 ist also korrekt.
Mit [mm] y=\pm3 [/mm] bekommst du:
[mm] x^{2}+6x+(\pm3)^{2}=4
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow x^{2}+6x+9=4
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow (x+3)^{2}=4
[/mm]
Also, durch Wurzelziehen die Gleichungen
[mm] $x+3=2\Leftrightarrow [/mm] x=-1$
bzw
[mm] $x+3=-2\Leftrightarrow [/mm] x=-5$
> Dann aber
> an der selben Stelle warum nicht alle 4?!
>
> Und dann, egal ob das mit plus oder minus da steht, komme
> ich trotzdem nicht auf x= 6.. sondern x=-6
Da habe ich auch ein Vorzeichen verschludert:
Du bekommst also:
$ [mm] \mathbb{L}=\{(0|2);(-6|2);(0|-2);(-6|-2);(-1|3);(-5|3);(-1|-3);(-5|-3)\} [/mm] $
>
> danke ^^
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:02 Do 06.06.2013 | | Autor: | arraneo |
danke danke !! :)
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