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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Aufgabenblatt 2, Aufgabe 4
Aufgabenblatt 2, Aufgabe 4 < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Aufgabenblatt 2, Aufgabe 4: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:23 Mo 07.09.2020
Autor: ireallydunnoanything

Aufgabe
Es seien X, Y , Z und T Mengen.

i) Beweisen oder widerlegen Sie die Identit¨at (X ∩ Y ) × Z = (X × Z) ∩ (Y × Z).

ii)  Beweisen Sie, dass aus X × Z ⊂ Y × T und X × Z [mm] \not= [/mm] ∅ folgt, dass X ⊂ Y und Z ⊂ T. (Warum ist die Zusatzbedingung X × Z [mm] \not= [/mm] ∅ n¨otig?)

iii)  Finden Sie eine Formel für (X \ Y ) × Z





zu Aufgabe 4)

Ich finde hier keinen Ansatz und bräuchte Hilfe.

Für eine schnelle Antwort wäre ich sehr dankbar.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Aufgabenblatt 2, Aufgabe 4: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:26 Mo 07.09.2020
Autor: meili

Hallo ireallydunnoanything,

> Es seien X, Y , Z und T Mengen.
>  
> i) Beweisen oder widerlegen Sie die Identit¨at (X ∩ Y )
> × Z = (X × Z) ∩ (Y × Z).

Wenn einem nichts anderes einfällt, kann man immer mal probieren wie
weit man mit den Definitionen kommt.
Man braucht die Definition des kartesischen Produktes und
die Definition des Schnitts von Mengen.
Wenn man mit deren Hilfe (X ∩ Y )  × Z [mm] $\subset$ [/mm] (X × Z) ∩ (Y × Z) und
(X ∩ Y )  × Z [mm] $\supset$ [/mm] (X × Z) ∩ (Y × Z) gezeigt hat, ist die Identität gezeigt.

>  
> ii)  Beweisen Sie, dass aus X × Z ⊂ Y × T und X × Z
> [mm]\not=[/mm] ∅ folgt, dass X ⊂ Y und Z ⊂ T. (Warum ist die
> Zusatzbedingung X × Z [mm]\not=[/mm] ∅ nötig?)

Beweisidee: Widerspruchsbeweis

>  
> iii)  Finden Sie eine Formel für (X \ Y ) × Z

Wie wäre es mit  (X \ Y ) × Z = (X × Z) \ ( Y × Z)?

>  
>
>
>
> zu Aufgabe 4)
>  
> Ich finde hier keinen Ansatz und bräuchte Hilfe.
>  
> Für eine schnelle Antwort wäre ich sehr dankbar.
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Gruß
meili

Bezug
        
Bezug
Aufgabenblatt 2, Aufgabe 4: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:34 Di 08.09.2020
Autor: tobit09

Hallo ireallydunnoanything!


Ergänzend zu meilis Antwort:

Wann immer du eine Teilmengenbeziehung der Form [mm] $M\subseteq [/mm] N$ für gewisse Mengen $M$ und $N$ nachweisen möchtest, bietet sich folgendes Vorgehen an:

Betrachte ein beliebig vorgegebenes Element [mm] $m\in [/mm] M$ (d.h. schreibe: "Sei [mm] $m\in [/mm] M$ beliebig vorgegeben.") und weise nach, dass für dieses Element $m$ zwangsläufig [mm] $m\in [/mm] N$ gelten muss.

Da [mm] $m\in [/mm] M$ beliebig vorgegeben war, hast du damit dann gezeigt: Für ALLE [mm] $m\in [/mm] M$ gilt [mm] $m\in [/mm] N$. Nach Defnition von [mm] $M\subseteq [/mm] N$ hast du damit nachgewiesen, dass $M$ eine Teilmenge von $N$ ist.


> ii)  Beweisen Sie, dass aus X × Z ⊂ Y × T und X × Z
> [mm]\not=[/mm] ∅ folgt, dass X ⊂ Y und Z ⊂ T. (Warum ist die
> Zusatzbedingung X × Z [mm]\not=[/mm] ∅ n¨otig?)

Hier würde ich von einem Widerspruchsbeweis abraten.

Zu zeigen ist, dass unter der Annahme [mm] $X\times Z\subseteq Y\times [/mm] T$ und [mm] $X\times Z\not=\emptyset$ [/mm] gilt: [mm] $X\subseteq [/mm] Y$ und [mm] $Z\subseteq [/mm] T$.

Nehmen wir also im Folgenden die Gültigkeit von [mm] $X\times Z\subseteq Y\times [/mm] T$ und [mm] $X\times Z\not=\emptyset$ [/mm] an.
Zeigen müssen wir nun: [mm] $X\subseteq [/mm] Y$ und [mm] $Z\subseteq [/mm] T$.

Fangen wir mit dem Nachweis von [mm] $X\subseteq [/mm] Y$ an.

Nach der eingangs von mir geschilderten Beweisstrategie für Teilmengenbeziehungen nehmen wir uns dazu ein beliebig vorgegebenes Element [mm] $x\in [/mm] X$ her und wollen [mm] $x\in [/mm] Y$ zeigen.

Jetzt sollten wir irgendwie mal [mm] $X\times Z\subseteq Y\times [/mm] T$ ins Spiel bringen, also die Tatsache, dass für alle [mm] $a\in X\times [/mm] Z$ gilt: [mm] $a\in Y\times [/mm] T$.
Das können wir uns nützlich machen, wenn wir ein Element [mm] $a\in X\times [/mm] Z$ haben, denn dann können wir auf [mm] $a\in Y\times [/mm] T$ schließen. (*)

Wir kennen schon ein Element von $X$, nämlich $x$.
Aber noch haben wir kein Element von $Z$.

Hier kommt uns [mm] $X\times Z\not= \emptyset$ [/mm] zu Hilfe: Es existiert also ein Element [mm] $b\in X\times [/mm] Z$.
Nach Definition des kartesischen Produkts [mm] $X\times [/mm] Z$ existieren somit [mm] $x_0\in [/mm] X$ und [mm] $z_0\in [/mm] Z$ mit [mm] $b=(x_0,z_0)$. [/mm]

Mit [mm] $z_0$ [/mm] haben wir nun ein Element von $Z$.
Betrachte nun das Paar $a$ definiert [mm] $a=(x,z_0)$. [/mm]

Wegen [mm] $(x,z_0)\in X\times [/mm] Z$ (nach Definition des kartesischen Produkts [mm] $X\times [/mm] Z$) und (*) können wir nun auf [mm] $(x,z_0)\in Y\times [/mm] T$ schließen.

Insbesondere erhalten wir (nach Definition des kartesischen Produkts [mm] $Y\times [/mm] T$) wie gewünscht [mm] $x\in [/mm] Y$.

Damit ist [mm] $X\subseteq [/mm] Y$ gezeigt.


Deine Aufgabe ist nun, meinen Beweis kritisch zu prüfen und z.B. "Warum?"-Fragen zu stellen sowie den noch fehlenden Nachweis von [mm] $Z\subseteq [/mm] T$ zu erbringen.

Viel Erfolg! :-)


Viele Grüße
Tobias


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