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Forum "Uni-Sonstiges" - Auflösung von (Un-)Gleichungen
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Auflösung von (Un-)Gleichungen: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:56 Fr 11.03.2016
Autor: Rebellismus

Aufgabe
Lösen Sie folgende Gleichungen bzw. Ungleichungen nach x auf, d.h. bestimmen Sie die Menge aller [mm] x\in\IR, [/mm] für die die (Un-)Gleichung gilt. Illustrieren Sie die Situation jeweils durch eine Skizze.

a)

[mm] x-\wurzel{x+1}=1 [/mm]

b)

[mm] |x+1|-\bruch{8}{x}<3 [/mm]

c)

[mm] \wurzel{x-2}-\wurzel{x-9}=1 [/mm]

d)

[mm] \bruch{x^2-1}{x^2+1}<\bruch{1}{x}-1 [/mm]

e)

[mm] |x-2|+\bruch{1}{x}+|x+2|>0 [/mm]

a)

Mich stört die wurzel. also habe ich die Gleichung quadriert:

[mm] x-\wurzel{x+1}=1 [/mm]

[mm] x^2-2x\wurzel{x+1}+x+1=1 [/mm]

die wurzel ist leider immer noch da. ich weiß hier nicht wie ich weiter machen muss, um nach x umzustellen

Hat jhemand einen Tipp für mich?

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Auflösung von (Un-)Gleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:59 Fr 11.03.2016
Autor: chrisno

Forme erst so um, dass die Wurzel alleine auf einer Seite steht.

Bezug
        
Bezug
Auflösung von (Un-)Gleichungen: aufgabe d)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:30 Sa 12.03.2016
Autor: Rebellismus

Aufgabe a) und c) habe ich gelöst. jetzt will ich d) lösen. Bei Ungleichungen kenne ich die foglenden 3 regeln:

1. man darf jede zahl addieren oder subtrahieren

2. Man darf mit jeder POSITIVEN Zahl multiplizieren oder dividieren

3. Bei NEGATIVEN Zahlen muss das "größer- bzw kleiner-Symbol" gedreht werden

Gibt es noch mehr regel die man bei Ungleichung beachten muss?

d)

[mm] \bruch{x^2-1}{x^2+1}<\bruch{1}{x}-1 [/mm]

[mm] x^2-1<\bruch{x^2+1}{x}-x^2-1 [/mm]

[mm] 2x^2<\bruch{x^2+1}{x} [/mm]

[mm] 2x^3-x^2+1<0 [/mm]

Muss ich hier jetzt Polynomdivision machen?

Bezug
                
Bezug
Auflösung von (Un-)Gleichungen: letzter Schritt falsch (edit.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:16 Sa 12.03.2016
Autor: Loddar

Hallo Rebellismus!


> [mm]\bruch{x^2-1}{x^2+1}<\bruch{1}{x}-1[/mm]

> [mm]x^2-1<\bruch{x^2+1}{x}-x^2-1[/mm]

Du muss im ersten Schritt mit [mm] $(x^2+1)$ [/mm] multiplizieren.


> [mm] $x^2-1<\bruch{x^2+1}{x}-x^2-1$ [/mm]

> [mm] $2x^2<\bruch{x^2+1}{x}$ [/mm]

> [mm] $2x^3-x^2+1<0 [/mm] $

[notok] Hier wurde wieder die Unterscheidung bzgl. $x_$ vergessen.


Gruß
Loddar

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Bezug
Auflösung von (Un-)Gleichungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:45 Sa 12.03.2016
Autor: tobit09

Hallo Loddar,


> > [mm]\bruch{x^2-1}{x^2+1}<\bruch{1}{x}-1[/mm]
>  >
>  > [mm]x^2-1<\bruch{x^2+1}{x}-x^2-1[/mm]

>  
> [notok] Du muss im ersten Schritt mit [mm](x^2+1)[/mm]
> multiplzieren.

Genau das wurde doch getan, oder habe ich gerade Tomaten auf den Augen?


Viele Grüße
Tobias

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Bezug
Auflösung von (Un-)Gleichungen: *dum-di-dum*
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:54 Sa 12.03.2016
Autor: Loddar

Hallo Tobias!


> Genau das wurde doch getan, oder habe ich gerade Tomaten auf den Augen?

Nein, natürlich nicht.

Aber offensichtlich ich.  [pfeif] [bonk]


Gruß
Loddar

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Bezug
Auflösung von (Un-)Gleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:36 Sa 12.03.2016
Autor: Rebellismus

Hallo,


[mm] \bruch{x^2-1}{x^2+1}<\bruch{1}{x}-1 [/mm]

[mm] x^2-1<\bruch{x^2+1}{x}-x^2-1 [/mm]

[mm] x^2-1<\bruch{x^2+1}{x}-x^2-1 [/mm]

[mm] 2x^2<\bruch{x^2+1}{x} [/mm]

Fall 1: x>0

[mm] 2x^3-x^2-1<0 [/mm]


Fall 2: x<0

[mm] 2x^3-x^2-1>0 [/mm]


Muss ich hier bei beiden Fällen die polynomdivision druchführen?

Bezug
                                
Bezug
Auflösung von (Un-)Gleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:47 Sa 12.03.2016
Autor: chrisno


> Hallo,
>  
>
> [mm]\bruch{x^2-1}{x^2+1}<\bruch{1}{x}-1[/mm]

[mm] $x^2-1$ [/mm] löst einen Reflex aus, binomische Formel

>  
> [mm]x^2-1<\bruch{x^2+1}{x}-x^2-1[/mm]
>  
> [mm]x^2-1<\bruch{x^2+1}{x}-x^2-1[/mm]
>  
> [mm]2x^2<\bruch{x^2+1}{x}[/mm]
>  
> Fall 1: x>0
>  
> [mm]2x^3-x^2-1<0[/mm]
>  
>
> Fall 2: x<0
>  
> [mm]2x^3-x^2-1>0[/mm]
>  
>
> Muss ich hier bei beiden Fällen die polynomdivision
> druchführen?

Nachdem Du die erste Nullstelle erraten hast, hilft das weiter.

Bezug
                                        
Bezug
Auflösung von (Un-)Gleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:05 Sa 12.03.2016
Autor: Rebellismus

okey diesmal müsste ich es richtig gelöst haben:


[mm] \bruch{x^2-1}{x^2+1}<\bruch{1}{x}-1 [/mm]

[mm] \bruch{(x-1)(x+1)}{x^2+1}<\bruch{1}{x}-1 [/mm]

[mm] x-1<\bruch{1}{x}-1 [/mm]

Fall 1: [mm] x\ge0 [/mm]

[mm] x^2-x<1-x [/mm]

[mm] x_1<1 [/mm]

[mm] x_2<-1 [/mm]

[mm] x_2=-1 [/mm] ist ein Widerspruch. Deshalb gilt für die Lösungsmenge:

[mm] L_1=[0,1) [/mm]

Fall 2: x<0

[mm] x^2-x>1-x [/mm]

[mm] x_1>1 [/mm]

[mm] x_2>-1 [/mm]

[mm] L_2=(-1,0) [/mm]

Die Lösung der Ungleichung wäre dann:

[mm] L=L_1\cap{L_2}=(-1,1) [/mm]

Stimmt die Lösung?

Bezug
                                                
Bezug
Auflösung von (Un-)Gleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:45 Sa 12.03.2016
Autor: chrisno

oh nein. Bleib lieber bei Deiner vorigen Version.
> ...
> [mm]\bruch{x^2-1}{x^2+1}<\bruch{1}{x}-1[/mm]
>  
> [mm]\bruch{(x-1)(x+1)}{x^2+1}<\bruch{1}{x}-1[/mm]

[ok]

>  
> [mm]x-1<\bruch{1}{x}-1[/mm]

grober Unfug. da steht noch ein Quadrat, da kannst Du nicht so kürzen. Das Gegenstück steht auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens versteckt.


Bezug
                                                        
Bezug
Auflösung von (Un-)Gleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:04 Sa 12.03.2016
Autor: Rebellismus

ich komme nicht darauf. Wie kürze ich nun den linken bruch?

Bezug
                                                                
Bezug
Auflösung von (Un-)Gleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:13 Sa 12.03.2016
Autor: chrisno

erst mal gar nicht. Du musst auf die rechte Seite der Gleichung schauen.

Ich wiederhole mich:
Mach dort weiter, wo Du schon warst. Die eine Nullstelle errät sich sofort, danach kannst Du mit der Faktorisierung weiter machen.

Bezug
                                                                        
Bezug
Auflösung von (Un-)Gleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:45 Sa 12.03.2016
Autor: Rebellismus

Hallo,


[mm] \bruch{x^2-1}{x^2+1}<\bruch{1}{x}-1 [/mm]

[mm] x^2-1<\bruch{x^2+1}{x}-x^2-1 [/mm]

[mm] x^2-1<\bruch{x^2+1}{x}-x^2-1 [/mm]

[mm] 2x^2<\bruch{x^2+1}{x} [/mm]

Fall 1: [mm] x\ge{0} [/mm]

[mm] 2x^3-x^2-1<0 [/mm]

Polynomdivision mit der Nullstelle [mm] x_1<1 [/mm]  (oder muss man hier schreiben [mm] x_1=1 [/mm] ?)

[mm] (2x^3-x^2-1):(x-1)=2x^2+x [/mm]

[mm] 2x^2+x<0 [/mm]

x(2x+1)<0

[mm] x_2<0 [/mm]

[mm] x_3<-\bruch{1}{2} [/mm]


[mm] x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] ist ein Widerspruch. Deshalb gilt die Lösungsmenge:

[mm] L_1=[0,1) [/mm]


Fall 2: x<0

[mm] 2x^3-x^2-1>0 [/mm]

Polynomdivision mit der Nullstelle [mm] x_1>1 [/mm] ergibt:

[mm] 2x^2+x>0 [/mm]

x(2x+1)>0

[mm] x_2>0 [/mm]

[mm] x_3>-\bruch{1}{2} [/mm]

[mm] L_2=(-\bruch{1}{2},0) [/mm]

[mm] L=L_1\cap{L_2}=(-\bruch{1}{2},1) [/mm]

Bitte sag mir, das es diesmal richtig ist

Bezug
                                                                                
Bezug
Auflösung von (Un-)Gleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:51 So 13.03.2016
Autor: angela.h.b.


> Hallo,
>  
>
> [mm]\bruch{x^2-1}{x^2+1}<\bruch{1}{x}-1[/mm]
>  
> [mm]x^2-1<\bruch{x^2+1}{x}-x^2-1[/mm]
>  
> [mm]x^2-1<\bruch{x^2+1}{x}-x^2-1[/mm]
>  
> [mm]2x^2<\bruch{x^2+1}{x}[/mm]

Hallo,

>  
> Fall 1: [mm]x\ge{0}[/mm]
>  
> [mm]2x^3-x^2-1<0[/mm]
>  
> Polynomdivision mit der Nullstelle [mm]x_1<1[/mm]  (oder muss man
> hier schreiben [mm]x_1=1[/mm] ?)

Ja, genau: die Nullstelle ist bei x=1.

>  
> [mm](2x^3-x^2-1):(x-1)=2x^2+x[/mm]

Bei der Polynomdivision ist etwas schiefgelaufen:

es ist $ [mm] (2x^3-x^2-1):(x-1)=2x^2+x\red{+1} [/mm] $.

Also ist  [mm] (2x^3-x^2-1)=(x-1)*(2x^2+x+1), [/mm] und nun mußt Du überlegen, für welche x gilt, daß

[mm] (x-1)*(2x^2+x+1)<0. [/mm]

Fall A. x-1<0 und [mm] 2x^2+x+1>0 [/mm]
Fall B. x-1>0 und [mm] 2x^2+x+1<0 [/mm]

Diese beiden Fälle sind zu untersuchen.


> Fall 2: x<0
>  
> [mm]2x^3-x^2-1>0[/mm]
>  
> Polynomdivision mit der Nullstelle [mm]x_1>1[/mm] ergibt:

[mm] (2x^3-x^2-1)=(x-1)*(2x^2+x+1)>0 [/mm]

Fall A: x-1>0 und [mm] 2x^2+x+1>0 [/mm]
Fall B: x-1<0 und [mm] 2x^2+x+1<0 [/mm]
müssen untersucht werden.

---

Alternative,
irgendwer hatte Dir den Tip schon gegeben:

[mm] \bruch{x^2-1}{x^2+1}<\bruch{1}{x}-1 [/mm]
<==>
[mm] \bruch{(x-1)(x+1)}{x^2+1}<-\bruch{x-1}{x} [/mm]

Jetzt Division durch x-1:

1. Fall x-1>0
[mm] \bruch{(x+1)}{x^2+1}<-\bruch{1}{x} [/mm]
nun weiter

2. Fall x-1<0
[mm] \bruch{(x+1)}{x^2+1}>-\bruch{1}{x} [/mm]
nun weiter

LG Angela



Bezug
                                                                                        
Bezug
Auflösung von (Un-)Gleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:36 So 13.03.2016
Autor: Rebellismus

Hallo,


> [mm](x-1)*(2x^2+x+1)<0.[/mm]
>  
> Fall A. x-1<0 und [mm]2x^2+x+1>0[/mm]
>  Fall B. x-1>0 und [mm]2x^2+x+1<0[/mm]
>  
> Diese beiden Fälle sind zu untersuchen.


Fall A:

x-1<0  [mm] \gdw [/mm]  x<1


[mm] 2x^2+x+1>0 [/mm]

Ich würde hier jetzt die Nullstellen bestimmen. Wäre der Ansatz richtig?

[mm] x^2+\bruch{1}{2}x+\bruch{1}{2}=0 [/mm]

[mm] (x+\bruch{1}{4})^2=-\bruch{7}{16} [/mm]

Ich kann hier nicht die Wurzel ziehen. Es gibt hier keine Lösung.

Was mache ich nun?


Bezug
                                                                                                
Bezug
Auflösung von (Un-)Gleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:24 So 13.03.2016
Autor: chrisno

Du darfst weiter denken. Es gibt keine Lösung heißt, es gibt keine Nullstelle. Was folgt daraus für die Werte von $ [mm] x^2+\bruch{1}{2}x+\bruch{1}{2} [/mm] $? Es geht um die Frage größer oder kleiner als Null.

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Auflösung von (Un-)Gleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:11 So 13.03.2016
Autor: Rebellismus


> [mm](x-1)*(2x^2+x+1)<0.[/mm]
>  
> Fall 1A. x-1<0 und [mm]2x^2+x+1>0[/mm]
> Fall 1B. x-1>0 und [mm]2x^2+x+1<0[/mm]
>  
> Diese beiden Fälle sind zu untersuchen.

Fall 1A:

x<1

Für [mm] 2x^2+x+1>0 [/mm] gibt es keine Lösung. Die Lösungsmenge ist die leere menge

Für Fall 1A gilt dann die Lösungsmenge [mm] L_{1A}=(-\infty,1) [/mm]

Für Fall 1B gilt dann analog: [mm] L_{1B}=(1,\infty) [/mm]

Für Fall 1 gilt dann:

[mm] L_1=L_{1A}\cap{L_{1B}}=(-\infty,\infty) [/mm]

Stimmt die Lösung?

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Auflösung von (Un-)Gleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:32 So 13.03.2016
Autor: angela.h.b.


> > [mm](x-1)*(2x^2+x+1)<0.[/mm]
>  >  
> > Fall 1A. x-1<0 und [mm]2x^2+x+1>0[/mm]
>  > Fall 1B. x-1>0 und [mm]2x^2+x+1<0[/mm]

>  >  
> > Diese beiden Fälle sind zu untersuchen.
>  
> Fall 1A:
>  
> x<1
>  
> Für [mm]2x^2+x+1>0[/mm] gibt es keine Lösung.

Hallo,

wie kommst Du denn darauf?
Wenn ich dahergehe und mal aus Spaß x=0.1 einsetze, bekomme ich 1.12 heraus. Das ist doch größer als 0, und damit habe ich schonmal eine Lösung der Ungleichung [mm] 2x^2+x+1>0 [/mm] gefunden.

Du unterliegst einem Denkfehler:
daraus, daß [mm] 2x^2+x+1=0 [/mm] keine Lösung hat,
schließt Du, daß [mm] 2x^2+x+1>0 [/mm] keine Lösung hat,
aber das ist ein bissele - naja, merkste selbst, nicht wahr?

Du könntest nach der Feststellung, daß [mm] 2x^2+x+1=0 [/mm] keine Lösung hat, die Stetigkeit von [mm] f(x)=2x^2+x+1 [/mm] nutzen und schließen, daß dann alle Funktionswerte entweder über 0 oder unter 0 liegen. Einsetzen einer Testzahl liefert: über 0.

Oder Du betrachtest
[mm] 2x^2+x+1>0 [/mm]
<==>
[mm] x^2+\bruch{1}{2}x+\bruch{1}{2}>0 [/mm]
<==>
[mm] (x+\bruch{1}{4})^2>-\bruch{7}{16}, [/mm]
und das ist sicher für alle [mm] x\in\IR [/mm] der Fall!

LG Angela




Die Lösungsmenge

> ist die leere menge
>  
> Für Fall 1A gilt dann die Lösungsmenge
> [mm]L_{1A}=(-\infty,1)[/mm]
>  
> Für Fall 1B gilt dann analog: [mm]L_{1B}=(1,\infty)[/mm]
>  
> Für Fall 1 gilt dann:
>  
> [mm]L_1=L_{1A}\cap{L_{1B}}=(-\infty,\infty)[/mm]
>  
> Stimmt die Lösung?


Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Auflösung von (Un-)Gleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:41 So 13.03.2016
Autor: Rebellismus

Hallo,


> Oder Du betrachtest
>  [mm]2x^2+x+1>0[/mm]
> <==>
>  [mm]x^2+\bruch{1}{2}x+\bruch{1}{2}>0[/mm]
>  <==>
>  [mm](x+\bruch{1}{4})^2>-\bruch{7}{16},[/mm]
>  und das ist sicher für alle [mm]x\in\IR[/mm] der Fall!

aber wir betrachten nur [mm] x\ge{0}. [/mm]

also für x-1<0 gilt

x<1

und für [mm] 2x^2+x+1>0 [/mm] gilt

[mm] x\ge{0} [/mm]

So komme ich dann zur der Lösungsmenge [mm] L_{1A}=[0,1) [/mm]

stimmt die Lösung?

Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Auflösung von (Un-)Gleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:24 So 13.03.2016
Autor: Steffi21

Hallo, du bist immer noch bei Aufgabe d), die Lösungsmenge lautet 0<x<1, die 0 gehört nicht zur Lösungsmenge, da die Division durch Null nicht definiert ist, die 1 gehört nicht zur Lösungsmenge, du hast für x=1, die Gleichung 0=0, Steffi

Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
Auflösung von (Un-)Gleichungen: bessere Übersicht
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:39 So 13.03.2016
Autor: Rebellismus

ich habe zur besseren Übersicht meine Rechnung nochmal in Word aufgeschrieben. (siehe das word dokument)

Kann jemand die Lösungsmenge für Fall 1 bestimmen (linke Seite)?
Am besten in das Word dokument schreiben und es hochladen

Ich würde mich dann an der Lösung für fall 1 orientieren und die Lösungsmenge für Fall 2 bestimmen (rechte seite)

[a]Meine Rechnung in Word



Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: docx) [nicht öffentlich]
Bezug
                                                                                                                                                
Bezug
Auflösung von (Un-)Gleichungen: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 19:05 So 13.03.2016
Autor: angela.h.b.


> ich habe zur besseren Übersicht meine Rechnung nochmal in
> Word aufgeschrieben. (siehe das word dokument)
>  
> Kann jemand die Lösungsmenge für Fall 1 bestimmen (linke
> Seite)?
>  Am besten in das Word dokument schreiben und es hochladen

Hallo,

ich weiß nicht so recht, welchen Mehrgewinn das bringen soll.

Den Fall 1A hatte ich doch vorgerechnet (?),
und das einzige, was Du noch zu tun hast,
ist, zu überlegen, welche  gleichzeitig die Bedingungen x>0, x<1 und [mm] x\in \IR [/mm] erfüllen.

EDIT:
möglicherweise hast Du in dem Dokument mehr gerechnet, als ich sehen kann. Mir wird keine Rechnung angezeigt.

Ich sehe jetzt keinen Grund, warum Du selbst nicht nach demselben Muster nun 1B untersuchen solltest,
und danach den Fall 2.

LG Angela

>  
> Ich würde mich dann an der Lösung für fall 1 orientieren
> und die Lösungsmenge für Fall 2 bestimmen (rechte seite)
>  
> [a]Meine Rechnung in Word
>  
>  


Bezug
                                                                                                                                                        
Bezug
Auflösung von (Un-)Gleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:20 So 13.03.2016
Autor: Rebellismus


> > ich habe zur besseren Übersicht meine Rechnung nochmal in
> > Word aufgeschrieben. (siehe das word dokument)
>  >  
> > Kann jemand die Lösungsmenge für Fall 1 bestimmen (linke
> > Seite)?
>  >  Am besten in das Word dokument schreiben und es
> hochladen
>  
> Hallo,
>  
> ich weiß nicht so recht, welchen Mehrgewinn das bringen
> soll.
>  
> Den Fall 1A hatte ich doch vorgerechnet (?),
>  und das einzige, was Du noch zu tun hast,
> ist, zu überlegen, welche  gleichzeitig die Bedingungen
> x>0, x<1 und [mm]x\in \IR[/mm] erfüllen.

die Lösungsmenge hierzu habe ich bestimmt:

[mm] L_{1A}=(0,1) [/mm]

>  
> EDIT:
> möglicherweise hast Du in dem Dokument mehr gerechnet, als
> ich sehen kann. Mir wird keine Rechnung angezeigt.

Hier ein Screenshot

[Dateianhang nicht öffentlich]

> Ich sehe jetzt keinen Grund, warum Du selbst nicht nach
> demselben Muster nun 1B untersuchen solltest,
>  und danach den Fall 2.

Das problem hier ist. ich habe hier nur eine bedingung, nämlich:

x>1

Wäre dann die Lösungsmenge:

[mm] L_{1B}=(1,\infty) [/mm]

?




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Auflösung von (Un-)Gleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:31 So 13.03.2016
Autor: angela.h.b.

Hallo,

oh, ich habe Dir wirklich Unrecht getan, Du hast ja alles aufgeschrieben.
Entschuldigung!

Im Fall 1B ist die Lösungsmenge leer, denn es gibt ja kein x, welches beide Bedingungen erfüllt.

Für Fall 2A sieht's auch schlecht aus, denn es gibt kein x, für welches gleichzeitig x<0 und x>1 gilt.

Überleg Dir jetzt noch 2B, dann bist Du fertig.

LG Angela

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Auflösung von (Un-)Gleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:33 Mo 14.03.2016
Autor: Rebellismus

Ich habe die aufgabe nun so gelöst. Ich sollte die Lösungsmenge auch zeichnen. Habe ich die Lösungsmenge richtig gezeichnet? ich war mir nicht sicher wie ich es zeichnen soll

[Dateianhang nicht öffentlich]

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Auflösung von (Un-)Gleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:52 Mo 14.03.2016
Autor: M.Rex

Hallo

Das ganze ist soweit korrekt, du solltest aber das Intervall noch mit Klammern kennzeichnen. Die Striche an sich sagen erstmal noch nichts aus.

Marius


 

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Auflösung von (Un-)Gleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:01 So 13.03.2016
Autor: Steffi21

Hallo, noch einmal zu Fall 1B:

du gehst in den 1. Fall mit x>0 rein, dann

1B mit x-1>0 und [mm] 2x^2+x+1<0, [/mm] betrachte die quadratische Funktion [mm] f(x)=2x^2+x+1, [/mm] eine nach oben geöffnete gestreckte Parabel, die keine Nullstelle hat, sie liegt also vollständig oberhalb der x-Achse, somit gibt es kein x, für das [mm] 2x^2+x+1<0 [/mm] gilt, ergo aus dem Fall 1B bekommst du keine Elemente für die Lösungsmenge

Steffi

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Auflösung von (Un-)Gleichungen: Regeln okay
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:20 Sa 12.03.2016
Autor: Loddar

Hallo!


> Bei Ungleichungen kenne ich die foglenden 3 regeln:

>

> 1. man darf jede zahl addieren oder subtrahieren

>

> 2. Man darf mit jeder POSITIVEN Zahl multiplizieren oder
> dividieren

>

> 3. Bei NEGATIVEN Zahlen muss das "größer- bzw
> kleiner-Symbol" gedreht werden

[daumenhoch]


Gruß
Loddar

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Auflösung von (Un-)Gleichungen: Aufgabe b)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:02 Sa 12.03.2016
Autor: Rebellismus

b)

[mm] |x+1|-\bruch{8}{x}<3 [/mm]

Fall 1: [mm] x+1\ge{0} \gdw x\ge{-1} [/mm]

[mm] x+1-\bruch{8}{x}<3 [/mm]

[mm] x^2+x-8<3x [/mm]

[mm] x^2-2x-8<0 [/mm]

[mm] (x-1)^2<9 [/mm]

[mm] x_{1,2}<\pm\wurzel{9}+1 [/mm]

[mm] x_1<4 [/mm]

[mm] x_2<-2 [/mm]

bei [mm] x_2<-2 [/mm] bekommt man einen Widerspruch weil x nicht kleiner als-2 und größer gleich -1 sein kann. Deshalb gilt folgende Lösungsmenge für Fall 1:

[mm] L_1=[-1,4) [/mm]

Fall 2: x+1<0 [mm] \gdw [/mm] x<-1

[mm] -x-1-\bruch{8}{x}<3 [/mm]

[mm] -x^2-x-8<3x [/mm]

[mm] x^2+4x+8<0 [/mm]

[mm] (x+2)^2<-4 [/mm]

Hier gibt es keine Lösung. Deshalb gilt für die Lösungsmenge für Fall 2:

[mm] L_2=\{\} [/mm] (das ist die leere menge)

Die Lösungsmenge der Ungleichung ist die Vereinigungsmenge der Lösungsmengen von Fall 1 und 2. Das heißt:

[mm] L=L_1\cap{L_2}=[-1,4) [/mm]

stimmt die Lösung?


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Auflösung von (Un-)Gleichungen: zusätzl. Fallunterscheidung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:14 Sa 12.03.2016
Autor: Loddar

Hallo Rebellismus!


Du unterschlägst jeweils bei der Umformung [mm] $\left| \ *x$ die Untersuchung / Unterscheidung für $x \ > \0$ bzw. $x \ < \ 0$ . Denn davon hängt auch ab, ob sich das Ungleichheitszeichen umdreht oder nicht. Gruß Loddar [/mm]

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Auflösung von (Un-)Gleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:50 Sa 12.03.2016
Autor: Rebellismus

Hallo,

[mm] |x+1|-\bruch{8}{x}<3 [/mm]

Fall 1: [mm] x+1\ge{0} \gdw x\ge{-1} [/mm]

[mm] x+1-\bruch{8}{x}<3 [/mm]

Fall 1.1: x>0

[mm] x^2+x-8<3x [/mm]

[mm] x^2-2x-8<0 [/mm]

[mm] (x-1)^2<9 [/mm]

[mm] x_{1,2}<\pm\wurzel{9}+1 [/mm]

[mm] x_1<4 [/mm]

[mm] x_2<-2 [/mm]

bei [mm] x_2<-2 [/mm] bekommt man einen Widerspruch weil x nicht kleiner als-2 und größer gleich -1 sein kann. Deshalb gilt folgende Lösungsmenge für Fall 1:

[mm] L_{1.1}=[-1,4) [/mm]

Fall 1.2: x<0

[mm] x^2+x-8>3x [/mm]

[mm] (x-1)^2>9 [/mm]

[mm] x_1>4 [/mm]

[mm] x_2>-2 [/mm]

[mm] L_{1.2}=(-2,\infty) [/mm]

Stimmt die Lösung soweit?

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Auflösung von (Un-)Gleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:37 Sa 12.03.2016
Autor: chrisno


>  ...
> Fall 1: [mm]x+1\ge{0} \gdw x\ge{-1}[/mm]
>  .....
> Fall 1.1: x>0
> ....
> $ [mm] x_{1,2}<\pm\wurzel{9}+1 [/mm] $

das schau Dir mal genauer an

> [mm]x_2<-2[/mm]

bevor Du hier weiter diskutierst, damit wäre, die obige Einschränkung weggelassen, x = -10 auch eine Lösung. Das zeigt, dass vorher etwas falsch gelaufen ist.

>  
> bei [mm]x_2<-2[/mm] bekommt man einen Widerspruch weil x nicht
> kleiner als-2 und größer gleich -1 sein kann. Deshalb
> gilt folgende Lösungsmenge für Fall 1:
>  
> [mm]L_{1.1}=[-1,4)[/mm]

Auch wenn vorher alles richtig gewesen wäre, hast Du übersehen, dass Du beim Fall 1.1 bist.

>  
> Fall 1.2: x<0
> ...
> [mm](x-1)^2>9[/mm]

danach musst Du neu nachdenken.

> [mm]x_2>-2[/mm]

also wäre x = -1 eine Lösung? setz mal ein.  


> Stimmt die Lösung soweit?

nein


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Auflösung von (Un-)Gleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:50 Mo 14.03.2016
Autor: Rebellismus

Ich lade meine rechnung als screenshot hoch. Meine Lösungsmenge für Fall 1 (linke Seite) ist nicht richtig. Aber ich weiß nicht was ich falsch gemacht habe.

Wo ist der Fehler?

[Dateianhang nicht öffentlich]

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Auflösung von (Un-)Gleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:56 Mo 14.03.2016
Autor: M.Rex

Hallo.

Du hast die Startbedingung, also [mm] x+1\ge0 [/mm] nicht beachtet, für diese gesamte Seite gilt [mm] x\ge-1 [/mm]

Damit sind Fall 1.2.A und Fall 1.2.B nicht mehr erlaubt.

Marius

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Auflösung von (Un-)Gleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:49 Di 15.03.2016
Autor: Rebellismus

Ich habe aufgabe b) nun gelöst, aber ist die Lösung auch richtig?

[Dateianhang nicht öffentlich]



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Auflösung von (Un-)Gleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:34 Di 15.03.2016
Autor: Steffi21

Hallo, korrekt gelöst, die Ungleichung hat die Lösung 0<x<4, Steffi

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Auflösung von (Un-)Gleichungen: Zusammenfassung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:21 Di 15.03.2016
Autor: Rebellismus

Ich will kurz die Lösungen für a)-d) zusammenfassen

a) [mm] x_1=3 [/mm] und [mm] x_2=0 [/mm]

b) 0<x<4

c) x=18

d) 0<x<1

Ich habe die Lösungsmenge so skizziert. Sind die Skizzen so ok oder zeichnet man das anders?

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Auflösung von (Un-)Gleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:35 Di 15.03.2016
Autor: fred97


> Ich will kurz die Lösungen für a)-d) zusammenfassen
>  
> a) [mm]x_1=3[/mm] und [mm]x_2=0[/mm]
>  
> b) 0<x<4
>  
> c) x=18
>  
> d) 0<x<1
>  
> Ich habe die Lösungsmenge so skizziert. Sind die Skizzen
> so ok oder zeichnet man das anders?

alles o.k.

fred

>  
> [Dateianhang nicht öffentlich]


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