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Forum "Determinanten" - Aufspannende Vektoren
Aufspannende Vektoren < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Aufspannende Vektoren: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:15 Do 12.05.2016
Autor: Rebellismus

Aufgabe
a)

Welche Bedingung müssen [mm] u,v\in\IR^3 [/mm] erfüllen, damit sie eine Ebene aufspannen? Geben Sie die Menge aller [mm] w\in\IR^3 [/mm] an, die in der von u,v aufgespannten Ebene liegen.

Zur Information (das ergibt sich aus den Rechenregeln für Determinanten): w liegt genau dann in der durch u,v aufgespannten Ebene, wenn det(u,v,w)=0 ist

b)

Für welche [mm] r\in\IR [/mm] liegt w=(-7,r,-35) in der durch u=(1,2,1), v=(1,-2,3) aufgespannten Ebne?

Berechnen Sie in diesem Fall die zugehörigen "Faktoren".


a)

Wenn die Vektoren [mm] u,v\in\IR^3 [/mm] linear abhängig sind, dann sind sie parallel und liegen in einer Ebene.

Aber u und v können ja nicht parallel (also nicht linear abhängig) sein und trotzdem in einer Ebene liegen. Was ist hier dann die gesuchte Bedingung?

        
Bezug
Aufspannende Vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:41 Do 12.05.2016
Autor: fred97


> a)
>  
> Welche Bedingung müssen [mm]u,v\in\IR^3[/mm] erfüllen, damit sie
> eine Ebene aufspannen? Geben Sie die Menge aller [mm]w\in\IR^3[/mm]
> an, die in der von u,v aufgespannten Ebene liegen.
>  
> Zur Information (das ergibt sich aus den Rechenregeln für
> Determinanten): w liegt genau dann in der durch u,v
> aufgespannten Ebene, wenn det(u,v,w)=0 ist
>  
> b)
>  
> Für welche [mm]r\in\IR[/mm] liegt w=(-7,r,-35) in der durch
> u=(1,2,1), v=(1,-2,3) aufgespannten Ebne?
>  
> Berechnen Sie in diesem Fall die zugehörigen "Faktoren".
>  
> a)
>  
> Wenn die Vektoren [mm]u,v\in\IR^3[/mm] linear abhängig sind, dann
> sind sie parallel und liegen in einer Ebene.
>  
> Aber u und v können ja nicht parallel (also nicht linear
> abhängig) sein und trotzdem in einer Ebene liegen. Was ist
> hier dann die gesuchte Bedingung?

Die Frage war: wann spannen u und v eine Ebene auf ?

Antwort: wenn u und v linear unabhängig sind.

FRED


Bezug
                
Bezug
Aufspannende Vektoren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:01 Do 12.05.2016
Autor: Rebellismus

Die Frage hat sich erledigt. Habe deine Antwort nicht richtig gelesen.


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Aufspannende Vektoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:15 Do 12.05.2016
Autor: Rebellismus

Wie gebe ich die Menge aller [mm] w\in\IR^3 [/mm] an, die in der von u,v aufgespannten Ebene liegen?

Ich muss dafür den Vektor w gleich der von u,v aufgespannten Ebene gleichsetzen.

Soll ich das allgemein machen? Dann gilt:

[mm]w=p+s*u+t*v[/mm]

wobei [mm] p\in\IR^3 [/mm] der Stützvektor der Ebene und [mm] s,t\inIR [/mm] Faktoren der Richtungsvektoren sind.

[Dateianhang nicht öffentlich]

ist die Lösung richtig?

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                        
Bezug
Aufspannende Vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:18 Do 12.05.2016
Autor: M.Rex

Hallo

Mach das ganze mit Vektorpfeilden deutlich, also:
[mm] \vec{w}=\vec{p}+r\cdot\vec{u}+s\cdot\vec{v} [/mm]
Dieser Weg ist für diese Aufgabenstellung auch sicher der geeignetste.

Es gibt aber auch noch andere Formen, Ebenen im [mm] \IR^{3} [/mm] darzustellen, dazu schau mal unter Kapitel 7.3 unter []poenitz-net.

Generell ist die Seite []poenitz-net.de hervorragend geeignet.

Marius

Bezug
                                
Bezug
Aufspannende Vektoren: aufgabe b)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:26 Do 12.05.2016
Autor: Rebellismus

Hallo,

Es gilt:

[mm] \vec{w}=\vec{p}+r\cdot\vec{u}+s\cdot\vec{v} [/mm]

ist [mm] \vec{p} [/mm] hier der Nullvektor? Wenn ja, woher soll man das wissen?

Bezug
                                        
Bezug
Aufspannende Vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:08 Fr 13.05.2016
Autor: meili

Hallo,

> Hallo,
>  
> Es gilt:
>  
> [mm]\vec{w}=\vec{p}+r\cdot\vec{u}+s\cdot\vec{v}[/mm]
>  
> ist [mm]\vec{p}[/mm] hier der Nullvektor? Wenn ja, woher soll man
> das wissen?

Ja, [mm]\vec{p}[/mm] ist hier der Nullvektor, und kann deshalb auch weggelassen
werden.
Man kann es aus der Vektorraum-Definiton (Existenz eines neutralen
Elements bzgl. der Vektoraddition) ablesen.

Nachtrag:
Wenn du von [mm]\vec{w}=\vec{p}+r\cdot\vec{u}+s\cdot\vec{v}[/mm] als Parameterform einer
Ebenengleichung ausgegangen bist, kommt man auf  "[mm]\vec{p}[/mm] ist hier der
Nullvektor", da  [mm]\vec{w}[/mm] "nur" in der von  [mm]\vec{u}[/mm] und [mm]\vec{v}[/mm] aufgespannten Ebene liegen
soll, und nicht konkretisiert wurde, wo diese Ebene genau liegt.
Ausserdem muss man zwischen einem Vektor, der in einer aufgespannten
Ebene liegt und einem Vektor, der Ortsvektor zu einem Punkt einer Ebene ist
unterscheiden.
Ich bin von einer Gleichung [mm]\vec{w}[/mm] ist Linearkombination von
[mm] \vec{u}[/mm]  und [mm] \vec{v}[/mm] ausgegangen.

>  

Gruß
meili

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