Basis vom Quotientenvektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:33 Sa 04.01.2014 | | Autor: | ellah |
| Aufgabe | | Sei F3 der Körper mit 3 Elementen und sei V := F3⁴. Sei U -echte Teilmenge von- V der von den Vektoren u = (1, 2, 1, 2), v = (1, 1, 1, 1) und w = (1, 0, 1, 0) erzeugte Untervektorraum. Bestimmen Sie eine Basis des Quotientenvektorraums V/U. |
Ich bräuchte überhaupt erstmal einen Ansatz und würde es dann gerne selber lösen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei F3 der Körper mit 3 Elementen und sei V := F3⁴. Sei
> U -echte Teilmenge von- V der von den Vektoren u = (1,
> 2, 1, 2), v = (1, 1, 1, 1) und w = (1, 0, 1, 0) erzeugte
> Untervektorraum. Bestimmen Sie eine Basis des
> Quotientenvektorraums V/U.
> Ich bräuchte überhaupt erstmal einen Ansatz und würde
> es dann gerne selber lösen.
>
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Was meinst Du mit "Ansatz"?
Man könnte Dir sicher besser helfen, wenn Du uns mal verraten würdest, wo Dein Problem mit der Aufgabe liegt.
Hast Du verstanden, welcher VR V ist?
Kennst Du die Dimension von U?
Kannst Du eine Basis von U sagen?
Kannst Du sie zu einer Basis von V ergänzen?
Hast Du prinzipiell verstanden, was sich hinter V / U verbirgt?
Wie sehen die Elemente aus?
Kannst Du ein Erzeugendensystem von V / U sagen?
Kannst Du es auf lineare Unabhängigkeit prüfen?
All diesen Dingen auf den Grund zu gehen, wäre der Ansatz, den man hier benötigt.
LG Angela
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 So 05.01.2014 | | Autor: | ellah |
> Man könnte Dir sicher besser helfen, wenn Du uns mal
> verraten würdest, wo Dein Problem mit der Aufgabe liegt.
Hallo,
danke erstmal für die Antwort. Also das Problem ist eigentlich, dass ich so ziemlich gar nichts über das Thema weiß.
> Hast Du verstanden, welcher VR V ist?
Naja V ist der VR über dem Körper F3 und U der UVR von V.
> Kennst Du die Dimension von U?
Die Dimension von U ist die Anzahl der Basisvektoren, oder? Also würde ich eigentlich sagen drei. Aber mir wurde schon gesagt, dass nur zwei der drei Vektoren, die in der Aufgabe angegeben sind, Basisvektoren von U sind. Das verstehe ich allerdings nicht. Andererseits hat doch ein dreidimensionaler Vektorraums immer genau drei (linear unabhängige) Vektoren, oder?
> Kannst Du eine Basis von U sagen?
Aus den Basisvektoren untereinander muss sich U bilden lassen, oder? Das bedeutet dann ja auch, dass die drei Vektoren, die U erzeugen irgendwie in der basis von U vorkommen.
> Kannst Du sie zu einer Basis von V ergänzen?
Nein, wie macht man das?
> Hast Du prinzipiell verstanden, was sich hinter V / U
> verbirgt?
V/U ist der Quotientenvektorraum an sich, also die Menge aller Äquivalenzklassen. Allerdings weiß ich auch nicht, wie ich das bestimmen soll.
> Wie sehen die Elemente aus?
Kann ich das an F3⁴ ablesen? Also drei Elemente mit jeweils vier Werten?
> Kannst Du ein Erzeugendensystem von V / U sagen?
Ist {{1,0,0},{0,1,0},{0,0,1}} ein Erzeugendensystem von von V/U?
> Kannst Du es auf lineare Unabhängigkeit prüfen?
Dafür stellt man ein lineares Gleichungssystem mit einer Variable auf und schaut ob diese Variable für alle drei die gleiche ist. Stimmt das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 So 05.01.2014 | | Autor: | meili |
Hallo ellah,
> > Man könnte Dir sicher besser helfen, wenn Du uns mal
> > verraten würdest, wo Dein Problem mit der Aufgabe liegt.
>
> Hallo,
> danke erstmal für die Antwort. Also das Problem ist
> eigentlich, dass ich so ziemlich gar nichts über das Thema
> weiß.
Könntest du die Aufgabe lösen, wenn V ein Vektorraum über [mm] $\IR$ [/mm] und
nicht über [mm] $\IF_3$ [/mm] wäre?
>
> > Hast Du verstanden, welcher VR V ist?
>
> Naja V ist der VR über dem Körper F3 und U der UVR von
> V.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> > Kennst Du die Dimension von U?
>
> Die Dimension von U ist die Anzahl der Basisvektoren, oder?
> Also würde ich eigentlich sagen drei. Aber mir wurde schon
> gesagt, dass nur zwei der drei Vektoren, die in der Aufgabe
> angegeben sind, Basisvektoren von U sind. Das verstehe ich
> allerdings nicht. Andererseits hat doch ein
> dreidimensionaler Vektorraums immer genau drei (linear
> unabhängige) Vektoren, oder?
Sind die drei angegebenen Vektoren linear unabhängig?
Nur wenn sie linear unabhängig sind, sind es Basisvektoren.
Also suche aus den drei Vektoren eine maximale Menge an linear
unabhängigen Vektoren heraus, dann hast du eine Basis von U.
>
> > Kannst Du eine Basis von U sagen?
>
> Aus den Basisvektoren untereinander muss sich U bilden
> lassen, oder? Das bedeutet dann ja auch, dass die drei
> Vektoren, die U erzeugen irgendwie in der basis von U
> vorkommen.
>
> > Kannst Du sie zu einer Basis von V ergänzen?
>
> Nein, wie macht man das?
>
> > Hast Du prinzipiell verstanden, was sich hinter V / U
> > verbirgt?
>
> V/U ist der Quotientenvektorraum an sich, also die Menge
> aller Äquivalenzklassen. Allerdings weiß ich auch nicht,
> wie ich das bestimmen soll.
Zu Quotientenvektoraum siehe ![[]](/images/popup.gif) Faktorraum.
>
> > Wie sehen die Elemente aus?
> Kann ich das an F3⁴ ablesen? Also drei Elemente mit
> jeweils vier Werten?
>
> > Kannst Du ein Erzeugendensystem von V / U sagen?
>
> Ist {{1,0,0},{0,1,0},{0,0,1}} ein Erzeugendensystem von von
> V/U?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> > Kannst Du es auf lineare Unabhängigkeit prüfen?
>
> Dafür stellt man ein lineares Gleichungssystem mit einer
> Variable auf und schaut ob diese Variable für alle drei
> die gleiche ist. Stimmt das?
Ein lineares Gleichungssystem ja, aber mit mehr Variablen.
Zum Beispiel für die gegebenen drei Vektoren:
[mm] $a*\vektor{1 \\ 2 \\ 1 \\ 2} [/mm] + [mm] b*\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] c*\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0\\ 0 \\ 0}$ [/mm]
dabei sind $ a, b, c [mm] \in \IF_3$.
[/mm]
Die drei Vektoren sind linear unabhänig, wenn als Lösung des linearen
Gleichungssystem a = b = c = 0 heraus kommt.
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 So 05.01.2014 | | Autor: | ellah |
> Hallo meili,
> Könntest du die Aufgabe lösen, wenn V ein Vektorraum
> über [mm]\IR[/mm] und
> nicht über [mm]\IF_3[/mm] wäre?
Ich müsste hier die Basis U zur Basis von V ergänzen. Die bilden dann die Basis von V/U.
Zur Basis von U
(1,0,1,0), (1,1,1,1)
(1,2,1,2), (1,0,1,0) und
(1,2,1,2), (1,1,1,1) sind, denke ich, alle linear unabhängig. Das dürfen sie auch sein, denn U kann mehrere Basen habe und es gibt nicht die eine richtige, oder? Aber auf jeden Fall wäre so klar, dass dim = 2 ist.
Die Basis von V erhalte ich indem ich die zwei Basisvektoren von U mit einem dritten "ergänze". Das habe ich leider noch nie gemacht und weiß nicht was ich da genau tun soll.
> Ein lineares Gleichungssystem ja, aber mit mehr Variablen.
> Zum Beispiel für die gegebenen drei Vektoren:
>
> [mm]a*\vektor{1 \\ 2 \\ 1 \\ 2} + b*\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1} + c*\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0} = \vektor{0 \\ 0\\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> dabei sind [mm]a, b, c \in \IF_3[/mm].
> Die drei Vektoren sind
> linear unabhänig, wenn als Lösung des linearen
> Gleichungssystem a = b = c = 0 heraus kommt.
Und das mache ich, indem ich das alles in eine Matrix schreibe und den Gauß-Algo. anwende?
Grüße ellah
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> > Hallo meili,
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> > Könntest du die Aufgabe lösen, wenn V ein Vektorraum
> > über [mm]\IR[/mm] und
> > nicht über [mm]\IF_3[/mm] wäre?
>
> Ich müsste hier die Basis U zur Basis von V ergänzen. Die
> bilden dann die Basis von V/U.
Hallo,
so ähnlich: die ergänzenden Vektoren mußt Du "+U" nehmen, und dann hast Du die gesuchte Basis des V / U.
>
> Zur Basis von U
> (1,0,1,0), (1,1,1,1)
> (1,2,1,2), (1,0,1,0) und
> (1,2,1,2), (1,1,1,1) sind, denke ich, alle linear
> unabhängig. Das dürfen sie auch sein, denn U kann mehrere
> Basen habe und es gibt nicht die eine richtige, oder?
Das stimmt.
> Aber
> auf jeden Fall wäre so klar, dass dim = 2 ist.
Du hast Dich davon überzeugt, daß U nicht die Dimension 3 hat?
>
> Die Basis von V erhalte ich indem ich die zwei
> Basisvektoren von U mit einem dritten "ergänze".
Das wird nicht reichen...
V ist doch vierdimensional, also mußt Du mit zwei weiteren Vektoren ergänzen - sofern U wirklich die Dimension 2 hat. (Hat er.)
> Das habe
> ich leider noch nie gemacht und weiß nicht was ich da
> genau tun soll.
Das kannst Du auf verschiedene Weise tun.
Du kannst z.B. einfach durchprobieren, mit welchen beiden Standardbasisvektoren Du 4 linear unabhängige Vektoren bekommst.
>
>
>
> > Ein lineares Gleichungssystem ja, aber mit mehr Variablen.
> > Zum Beispiel für die gegebenen drei Vektoren:
> >
> > [mm]a*\vektor{1 \\ 2 \\ 1 \\ 2} + b*\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1} + c*\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0} = \vektor{0 \\ 0\\ 0 \\ 0}[/mm]
> >
> > dabei sind [mm]a, b, c \in \IF_3[/mm].
> > Die drei Vektoren sind
> > linear unabhänig, wenn als Lösung des linearen
> > Gleichungssystem a = b = c = 0 heraus kommt.
>
> Und das mache ich, indem ich das alles in eine Matrix
> schreibe und den Gauß-Algo. anwende?
Ja.
LG Angela
>
> Grüße ellah
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:04 Do 09.01.2014 | | Autor: | ellah |
Hallo Angela!
> Du hast Dich davon überzeugt, daß U nicht die Dimension 3
> hat?
Ja genau.
> >
> > Die Basis von V erhalte ich indem ich die zwei
> > Basisvektoren von U mit einem dritten "ergänze".
>
> Das wird nicht reichen...
>
> V ist doch vierdimensional, also mußt Du mit zwei weiteren
> Vektoren ergänzen - sofern U wirklich die Dimension 2 hat.
> (Hat er.)
> Das kannst Du auf verschiedene Weise tun.
>
> Du kannst z.B. einfach durchprobieren, mit welchen beiden
> Standardbasisvektoren Du 4 linear unabhängige Vektoren
> bekommst.
Wären das für [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1} [/mm] diese beiden: [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}? [/mm] Ich weiß leider nicht wie ich mit nur zwei Vektoren zum Beispiel in diesem Fall den Wert an der dritten Stelle "verändern" soll. Also einen Vektor V bilden und dabei nur den dritten Wert verändern zu können, ohne auch den ersten zu verändern. Ich hoffe man versteht was ich meine.
Grüße ellah
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> > Du kannst z.B. einfach durchprobieren, mit welchen beiden
> > Standardbasisvektoren Du 4 linear unabhängige Vektoren
> > bekommst.
>
> Wären das für [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> diese beiden: [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}?[/mm]
Hallo,
das kannst Du selbst herausfinden, indem Du die vier Vektoren aulf lineare Unabhängigkeit überprüfst.
> Ich weiß leider nicht wie ich mit nur zwei Vektoren zum
> Beispiel in diesem Fall den Wert an der dritten Stelle
> "verändern" soll. Also einen Vektor V bilden und dabei nur
> den dritten Wert verändern zu können, ohne auch den
> ersten zu verändern. Ich hoffe man versteht was ich
> meine.
Ich weiß nicht, ob ich es verstehe...
Hol doch den Einheitsvektor [mm] \vektor{0\\0\\1\\0} [/mm] mit ins Boot.
LG Angela
>
> Grüße ellah
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Hallo Angela,
Du hast gesagt: "zu den ergänzenden Vektoren mußt Du "+U" nehmen, und dann hast Du die gesuchte Basis des V / U."
Ich habe diese Aufgabe nachgerechnet und als Basis von V = {(1,0,1,0), (0,1,0,1), (0,0,1,0), (0,0,0,1)} raus.
(0,0,1,0) und (0,0,0,1) sind die beiden ergänzten Vektoren. Demnach ist die Basis des V/U = {(1,1,2,1), (1,1,1,2)} ?
Ist das richtig?
Danke für die Antwort.
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> Du hast gesagt: "zu den ergänzenden Vektoren mußt Du "+U"
> nehmen, und dann hast Du die gesuchte Basis des V / U."
>
> Ich habe diese Aufgabe nachgerechnet und als Basis von V =
> {(1,0,1,0), (0,1,0,1), (0,0,1,0), (0,0,0,1)} raus.
Hallo,
ja, das ist eine mögliche Basis.
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> (0,0,1,0) und (0,0,0,1) sind die beiden ergänzten
> Vektoren.
Ja, die beiden ergänzen die Basis von U zu einer Basis von V.
> Demnach ist die Basis des V/U = {(1,1,2,1),
> (1,1,1,2)} ?
>
> Ist das richtig?
Nein. Die Basiselemente des V/U müssen doch Elemente von V/U sein, und nicht solche aus V.
Wie sind die Elemente von V/U gemacht? So: v+U mit [mm] v\in [/mm] V.
Eine Basis des V/U ist ( (1,1,2,1)+U, (1,1,1,2)+U).
Du solltest übrigens nachweisen können, daß dies tatsächlich eine Basis von V/U ist.
LG Angela
>
> Danke für die Antwort.
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Hallo Angela,
> > (0,0,1,0) und (0,0,0,1) sind die beiden ergänzten Vektoren.
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> Ja, die beiden ergänzen die Basis von U zu einer Basis von V.
Wenn ich eine korrekte Notation für die Basis von V/U angeben möchte, muss ich B=((0,0,1,0)+U,(0,0,0,1)+U) schreiben?
Geometrisch betrachtet ist U in diesem Fall eine Ebene. Dann sind in dem Faktorraum also alle parallelen Ebenen zu U enthalten?
> Du solltest übrigens nachweisen können, daß dies
> tatsächlich eine Basis von V/U ist.
Wie kann ich das nachweisen?
Danke für die Antwort.
Freundliche Grüße
Klaus
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> Hallo Angela,
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> > > (0,0,1,0) und (0,0,0,1) sind die beiden ergänzten
> Vektoren.
> >
> > Ja, die beiden ergänzen die Basis von U zu einer Basis von
> V.
>
>
> Wenn ich eine korrekte Notation für die Basis von V/U
> angeben möchte, muss ich B=((0,0,1,0)+U,(0,0,0,1)+U)
> schreiben?
Hallo,
ja, genau.
> Geometrisch betrachtet ist U in diesem Fall eine Ebene.
> Dann sind in dem Faktorraum also alle parallelen Ebenen zu
> U enthalten?
Ja, wenn man eine geometrische Deutung möchte, ist das richtig.
>
> > Du solltest übrigens nachweisen können, daß dies
> > tatsächlich eine Basis von V/U ist.
>
> Wie kann ich das nachweisen?
Wie immer:
Erzeugendensystem und linear unabhängig,
es sei denn, Du nutzt Aussagen über die Dimension des Quotientenraumes.
LG Angela
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:33 Mo 13.01.2014 | | Autor: | ellah |
> Erzeugendensystem und linear unabhängig,
> es sei denn, Du nutzt Aussagen über die Dimension des
> Quotientenraumes.
Kann ich einfach sagen, dass das ein Erzeugendensystem ist wegen dim = 4 ?
Und wie sieht für die lineare Unabhängigkeit meine Matrix aus? Schreibe ich da für U die Basis von U, also insgesamt 6 Spalten?
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> > Erzeugendensystem und linear unabhängig,
> > es sei denn, Du nutzt Aussagen über die Dimension des
> > Quotientenraumes.
>
> Kann ich einfach sagen, dass das ein Erzeugendensystem ist
> wegen dim = 4 ?
>
Hallo,
was meinst Du mit "das",
und wovon soll es ein Erzeugendensystem sein?
Ich hab' jetzt gerade nicht so große Lust, auf Spurensuche im Thread zu gehen...
> Und wie sieht für die lineare Unabhängigkeit meine Matrix
> aus?
???
Hast Du Dich im Thread verirrt?
Hier ging's doch nicht um Matrizen.(?)
> Schreibe ich da für U die Basis von U, also insgesamt
> 6 Spalten?
???
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 Mo 13.01.2014 | | Autor: | ellah |
> Hallo,
>
> was meinst Du mit "das",
>
> und wovon soll es ein Erzeugendensystem sein?
>
> Ich hab' jetzt gerade nicht so große Lust, auf Spurensuche
> im Thread zu gehen...
>>> Du solltest übrigens nachweisen können, daß dies
>>> tatsächlich eine Basis von V/U ist.
>> Wie kann ich das nachweisen?
> Wie immer:
>
> Erzeugendensystem und linear unabhängig,
> es sei denn, Du nutzt Aussagen über die Dimension des Quotientenraumes.
Ich will nachweisen, dass ( (1,1,2,1)+U, (1,1,1,2)+U) eine Basis von V/U ist. Also zeigen, dass es sich um ein Erzeugendensystem handelt. Und hier wurde gesagt, dass "es ausreicht die lineare Unabhängigkeit zu testen, wenn die Dimension bekannt ist"
>
> > Und wie sieht für die lineare Unabhängigkeit meine Matrix
> > aus?
>
>
> ???
> Hast Du Dich im Thread verirrt?
> Hier ging's doch nicht um Matrizen.(?)
>
>
> > Schreibe ich da für U die Basis von U, also insgesamt
> > 6 Spalten?
>
> ???
>
> LG Angela
>
Als zweites wollte die lin. Unabhängigkeit nachweisen.
>>> Die drei Vektoren sind
>>> linear unabhänig, wenn als Lösung des linearen
>>> Gleichungssystem a = b = c = 0 heraus kommt.
>>
>> Und das mache ich, indem ich das alles in eine Matrix
>> schreibe und den Gauß-Algo. anwende?
>
> Ja.
>
> LG Angela
Aber das mit den Matritzen scheint wohl nicht mehr zu stimmen. Warum?
Grüße ellah
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Hallo,
> Ich will nachweisen, dass ( (1,1,2,1)+U, (1,1,1,2)+U) eine
> Basis von V/U ist. Also zeigen, dass es sich um ein
> Erzeugendensystem handelt. Und
> hier
> wurde gesagt, dass "es ausreicht die lineare
> Unabhängigkeit zu testen, wenn die Dimension bekannt ist"
Und was weißt Du über die Dimension von V/U?
Oder anders: weißt Du etwas über die Dimension von V/U?
> Als zweites wollte die lin. Unabhängigkeit nachweisen.
Was mußt Du dafür zeigen? Wie lautet die Bedingung?
LG Angela
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Hallo Angela,
ich habe auch Fragen zu diese Aufgabe.
Ich habe die Vektoren u, v und w nach lineare Unabhängigkeit geprüft und habe festgestellt, dass nur zwei davon lin. unabhängig sind, nähmlich: (1, 2, 1, 2) und (0, -1, 0, -1). Das ist also eine Basis von U.
Jetzt muss ich zwei Vektoren finden, die Basis von U nach Basis von V ergänzen. Und diese Vektoren mit "+U" sind eine Basis von V/U. Stimmt das?
Das sind Vektoren (0, 0, 1, 0) und (0, 0, 0, 1), die mit (1, 2, 1, 2) und (0, -1, 0, -1) lin. unabhängig sind.
Das muss aber bedeuten, dass ((0, 0, 1, 0)+U, (0, 0, 0, 1)+U) eine Basis von V/U ist. Stimmt das, oder habe ich etwas falsch gemacht?
Danke für Ihre Antwort!
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Hallo,
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Du hast es richtig gemacht,
solltest allerdings auch nachweisen können, daß es sich wirklich um eine Basis handelt.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:33 Mo 13.01.2014 | | Autor: | freak7 |
ehla sagte, die 3 basisvektoren von U, nämlich:
(1,2,1,2),(1,1,1,1) und(1,0,1,0) seien alle linear unabhängig,
aber die dimension sei 2, und später wird von den "2" basisvektoren gesprochen.
Wenn die 3 vektoren linearunabhängig sind, dann sind es doch eben die 3 basisvektoren und die dimension von U ist 3.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:32 Mo 13.01.2014 | | Autor: | baybox |
Das hat ehla nicht gesagt. Die 3 Vektoren sind jeweils nur zu zweit l.u., nicht aber zu dritt.
Zum Überprüfen: Erstelle und löse folgendes LGS:
1 2 1 2
1 1 1 1
1 0 1 0
Dir wird auffallen, dass eine Nullzeile auftaucht, woraus man schließen kann, dass das System, bestehend aus den obigen 3 Vektoren, l.a. ist.
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