Berührpunkte von Tangenten an < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Von einem Punkt P(4|-4) sind die Tangenten an den Kreis [mm] x^2+y^2-6x+2y+5=0 [/mm] gezogen Wie lang ist die Sehne die die Berührungspunkte verbindet?
=> [mm] (x-3)^2+(y+1)^2=5 [/mm] |
Mein Problem ist , die beiden Berührungspunkte zu berechnen, die Sehnenberechnung ist mir vollkommen klar!
Könnte mir jemand erklären, wie man auf die beiden Berührungspunkte kommt?
PS: Die obere gleichung hab ich schon in die allgemeine Kreisgleichung umgewandelt: [mm] (x-3)^2+(y+1)^2=5 [/mm] =>M(3|-1) und r= Wurzel aus 5
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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was ich vergessen habe zu erwähnen ist, dass Formeln aus dem Tafelwerk nicht zu verwenden sind(leider =))
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> Von einem Punkt P(4|-4) sind die Tangenten an den Kreis
> [mm]x^2+y^2-6x+2y+5=0[/mm] gezogen Wie lang ist die Sehne die die
> Berührungspunkte verbindet?
> => [mm](x-3)^2+(y+1)^2=5[/mm]
> Mein Problem ist , die beiden Berührungspunkte zu
> berechnen, die Sehnenberechnung ist mir vollkommen klar!
> Könnte mir jemand erklären, wie man auf die beiden
> Berührungspunkte kommt?
>
> PS: Die obere gleichung hab ich schon in die allgemeine
> Kreisgleichung umgewandelt: [mm](x-3)^2+(y+1)^2=5[/mm] =>M(3|-1)
> und r= Wurzel aus 5
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Wenn wir den gesuchten Punkt X=(x, y) nennen, wissen wir ja folgendes:
[mm] |\overrightarrow{XM}|= [/mm] r, d.h. [mm] |\overrightarrow{XM}|^2=5, [/mm] denn er liegt auf dem Kreis.
[mm] \overrightarrow{XM}*\overrightarrow{PX}=0, [/mm] denn die Tangente seht senkrecht auf dem Radius.
Aus diesen Gleichungen müßtest Du die Koordinaten von X errechnen können, wenn ich mich nicht täusche.
Gruß v. Angela
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Wenn also XM= Wurzel aus 5 senkrehct auf der Tangente liegt, müsste doch dann ein rechtwinkliges Dreieck PXM entstehen....
Das bedeutet ich ermittel dann Strecke PM...
Wenn also rechtwinkl. Dreieck PXM bei PM = Wurzel aus 10 und XM wurzel aus 5 müsste PX dann auch Wurzel aus 5 sein....
Bloß wie hilft mir das weiter?!
Und wie kommt man auf XM x PX =0?
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Hallo,
ich möchte dir diese Skizze mit auf den Weg geben, die besagt eigentlich alles, deine Ergebnisse sind bis jetzt korrekt, mit [mm] \wurzel{5} [/mm] und dem Punkt (4; -4) kannst du jetzt beide Berührpunkte ermitteln;
[Dateianhang nicht öffentlich]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Das ist ja grade das Problem.. ich hab nen Knoten im Kopf und weiß nich wie ich jetz weiterrechnen soll... aber trotzdem danke für die Skizze!
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> Das ist ja grade das Problem.. ich hab nen Knoten im Kopf
> und weiß nich wie ich jetz weiterrechnen soll...
Hallo,
wenn wir sagen sollen, wie Du weiterrechnen sollst, müßten wir mal sehen, was Du bisher dastehen hast.
Gleichungen. Mit Zahlen und x und y.
Gruß v. Angela
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Also,
als Vorraussetzung nehm ich mal die Skizze von Steffi:
Q1 bzw. Q2 seien die gesuchten Punkte, P der Punkt außerhalb des Krises , von dem aus die Tangenten gezeichnet werden und M der Mittelpunkt des Kreises [mm] (x-3)^2+(y+1)^2=5
[/mm]
Da Q1 bzw. Q2 den kreis berühren, liegen sie auf dem diesem, also haben sie zu M den Abstand Wurzel 5 (Q1M=Wurzel5 bzw. Q2M=Wurzel5)
Durch die Punktabstandsformel hab ich den Abstand zwischen P(4|-4) und M(3|-1) errechnet, welcher Wurzel 10 berägt. Nun ist die Frage wie ich aus all diesen Werten jetz die Koordinaten von Q1 bzw. Q2 bestimmen kann.
MfG Richard
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:19 So 21.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Richard!
Drei folgende Schritte:
1. bestimme den Abstand [mm] $\overline{PQ}_1$ [/mm] bzw. [mm] $\overline{PQ}_2$ [/mm] mittels Herrn Pythagoras:
[mm] $$\overline{PQ}_{1/2}^2+\left( \ \wurzel{5} \ \right)^2 [/mm] \ = \ [mm] \left( \ \wurzel{10} \ \right)^2$$
[/mm]
2. Kreisgleichung mit $P_$ als mittelpunkt und [mm] $\overline{PQ}$ [/mm] als Radius aufstellen
3. Schnittstellen durch Gleichsetzen bzw. Subtraktion mit Ausgangskreisgleichung bestimmen.
Gruß
Loddar
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Genauso htte ich es auch gemacht... hatte aba falsche Werte raus.... hab ich mich wohl verrechnet -.-
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Auf jeden Fall Vielen Dank euch allen ^^
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:29 So 21.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Richard!
Dann poste doch mal Deine Werte zur Kontrolle.
Gruß
Loddar
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>
> Und wie kommt man auf XM x PX =0?
Slalarprodukt, wg. senkrecht.
Gruß v. Angela
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Mit dem Slalarprodukt kann bzw. darf ich nichts anfangen, weil wir dies noch nicht behandelt haben!
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