Bestimme x Element R < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie alle x [mm] \in \IR, [/mm] für die alle folgenden Termedefiniert sind, und bestimmen Sie alle x [mm] \in \IR, [/mm] die folgende Gleichung lösen:
1 + [mm] \bruch{1}{1 + \bruch{1}{x}} [/mm] = [mm] \wurzel{1 + x} [/mm] |
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand die Zwischenschritte von:
1 + [mm] \bruch{1}{1 + \bruch{1}{x}}
[/mm]
zu:
[mm] \bruch{2x + 1}{x + 1}
[/mm]
erläutern könnte.
Für mein Verständnis wird erst erweitert um anschließend wieder kürzen zu können, nur verstehe ich leider die Rechenregeln dahinter noch nicht..
Ich würde mich sehr freuen!
Vielen Dank und viele Grüße,
Martin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:50 Mi 18.01.2017 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Martin!
Es gilt
[mm] $1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1+\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1+\frac{1}{x}+1}{1+\frac{1}{x}}$
[/mm]
[mm] $=\frac{2+\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}$
[/mm]
[mm] $=\frac{(2+\frac{1}{x})*x}{(1+\frac{1}{x})*x}$
[/mm]
[mm] $=\frac{2x+1}{x+1}$.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:04 Mi 18.01.2017 | | Autor: | chrisno |
> ....
> 1 + [mm]\bruch{1}{1 + \bruch{1}{x}}[/mm]
>
> zu:
>
> [mm]\bruch{2x + 1}{x + 1}[/mm]
>
> erläutern könnte.
> ....
Ich beseitige zuerst den Doppelbruch, indem ich mit x erweitere:
[mm]\bruch{1}{1 + \bruch{1}{x}} = \bruch{x}{x(1 + \bruch {1}{x})} = \bruch{x}{x+1}[/mm]
Dann wird die 1 erweitert $1 = [mm] \bruch{1}{1} [/mm] = [mm] \bruch{x+1}{x+1}$
[/mm]
Nun sind die beiden Brüche gleichnamig und werden addiert.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:31 Mi 18.01.2017 | | Autor: | martin_ks |
Klasse, vielen Dank für die schnellen Antworten!
Es geht also darum den Bruch 1/x unter dem Bruchstrich zu entfernen um dann vernünftig weiter rechnen zu können.
Man muss es wohl einfach nur erkennen, dass man um x erweitern muss...
Ich rechne mal weiter :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:01 Mi 18.01.2017 | | Autor: | martin_ks |
So, mit der Erinnerung an die Regel, dass bei Addition von Brüchen der Nenner gleich sein muss, ist nun auch der letzte Groschen gefallen.
Über diesen Schritt, bei dem die beiden Erweiterungen zusammengeführt werden, musste ich gerade noch einmal nachdenken...
Vielen Dank nochmal!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:04 Mi 18.01.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo Martin!
Eine weitere Möglichkeit, die ich noch heute Nacht schreiben wollte kurz nach deinem Post, aber es mir doch zu spät wurde:
Erst einmal ist der Term für x=0 und x=-1 nicht definiert.
Es ist 1 + [mm] \frac{1}{1+\frac{1}{x}} [/mm]
= 1 + [mm] \frac{1}{\frac{x}{x}+\frac{1}{x}} [/mm] (1 = [mm] \frac{x}{x} [/mm] möglich wegen x [mm] \not= [/mm] 0)
= 1 + [mm] \frac{1}{\frac{x+1}{x}} [/mm]
= 1 + [mm] \frac{x}{x+1} [/mm] = [mm] \frac{x+1}{x+1} [/mm] + [mm] \frac{x}{x+1} [/mm] = [mm] \frac{x+1 + x}{x+1} [/mm] = [mm] \frac{2x+1}{x+1}
[/mm]
Ich entferne also erst einmal den Nenner, indem ich geschickt erweitere und dann mit dem Kehrbruch multipliziere.
Gruß X3nion
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Hallo X3nion,
vielen Dank für deine Mühe, wobei dies eine weitere Frage aufgeworfen hat.
Wo genau multiplizierst du mit dem Kehrwert?
Die Rechnung kann ich jetzt nachvollziehen, aber den Kehrwert finde ich nicht.
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Die Definitionen von x sind klar. Man darf nicht durch NULL teilen.
Gibt es da eine Regel oder einen Trick um die Definitionen festzulegen oder muss man es einfach erkennen bzw. testen/rechen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:33 Mi 18.01.2017 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Die Definitionen von x sind klar. Man darf nicht durch NULL
> teilen.
>
> Gibt es da eine Regel oder einen Trick um die Definitionen
> festzulegen oder muss man es einfach erkennen bzw.
> testen/rechen?
In den reellen Zahlen gilt:
1. Ein Nenner eines Bruches darf nicht Null werden
2. Unter einer Wurzel darf keine negative Zahl stehen
3. Im Logarithmus darf weder Null noch eine negative Zahl stehen.
Also musst du, wenn einer dieser Fälle möglich ist, dieses per Nebenrechnung ausrechnen.
Beispiele:
[mm] f(x)=\frac{1}{x^{2}-1}
[/mm]
Hier muss [mm] x^{2}-1\ne0 [/mm] gelten, also berechne entweder direkt die Lösungen aus [mm] x^{2}-1\ne0 [/mm] oder schließe die Lösungen der Gleichung [mm] x^{2}-1=0 [/mm] aus der Definitionsmenge aus.
[mm] g(x)=\sqrt{3x-2}
[/mm]
Hier muss gelten [mm] 3x-2\ge0, [/mm] auch hier berechne aus dieser Gleichung den Def.-bereich. Alternativ schließe die Lösung der Ungleichung 3x-2<0 aus dem Def.-bereich aus.
[mm] h(x)=\log_{a}(2x+1)
[/mm]
Hier muss gelten 2x+1>0, auch hier berechne aus dieser Gleichung den Def.-bereich. Alternativ schließe die Lösung der Ungleichung [mm] 2x+1\le0 [/mm] aus dem Def.-bereich aus.
Im Bereich der komplexen Zahlen sieht das sicherlich dann wieder anders aus.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:39 Mi 18.01.2017 | | Autor: | martin_ks |
Hi Marius,
wow, vielen Dank. Vor allem die Info, dass es nur diese drei Fälle gibt, hilft und beruhigt sehr.
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 12:04 Mi 18.01.2017 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Es gibt doch nur drei nicht definierte Fälle in der
> Mathematik.
> 1. Ein Nenner eines Bruches darf nicht Null werden
> 2. Unter einer Wurzel darf keine negative Zahl stehen
> 3. Im Logarithmus darf weder Null noch eine negative Zahl
> stehen.
Das kann man so nicht stehen lassen, sondern muss es auf die Reellen Zahlen eingrenzen und dort dann auch noch auf die elementaren Funktionen.
Gruß, Diophant
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 12:48 Mi 18.01.2017 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Diophant,
Ich habe die Antwort dahingehend modifiziert, danke für den Hinweis.
Marius
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig | | Datum: | 13:45 Mi 18.01.2017 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Ich habe die Antwort dahingehend modifiziert, danke für
> den Hinweis.
Gerne. Nur der Satz Es gibt doch nur drei nicht definierte Fälle in der Mathematik steht eben immer noch da, und das stimmt halt einfach so nicht und ist - nebenbei bemerkt - ziemlich sinnfrei...
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 15:03 Mi 18.01.2017 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo,
>
> > Ich habe die Antwort dahingehend modifiziert, danke für
> > den Hinweis.
>
> Gerne. Nur der Satz Es gibt doch nur drei nicht definierte
> Fälle in der Mathematik steht eben immer noch da, und das
> stimmt halt einfach so nicht und ist - nebenbei bemerkt -
> ziemlich sinnfrei...
>
> Gruß, Diophant
Jetzt steht auch der Saz nicht mehr da.
Marius
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Hallo, Du hast den Bruch
[mm] \bruch{1}{\bruch{x+1}{x}}=1*\bruch{x}{x+1}=\bruch{x}{x+1}
[/mm]
Steffi
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Verstehe, jetzt erinnere ich mich auch an so einige Grundregeln beim Bruchrechnen.
Demnach gilt:
[mm] \bruch{\bruch{A}{B}}{\bruch{C}{D}} [/mm] = [mm] \bruch{A}{B} \* \bruch{D}{C} [/mm] !?
Habe ich das richtig verstanden?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:58 Mi 18.01.2017 | | Autor: | M.Rex |
> Verstehe, jetzt erinnere ich mich auch an so einige
> Grundregeln beim Bruchrechnen.
>
> Demnach gilt:
>
> [mm]\bruch{\bruch{A}{B}}{\bruch{C}{D}}[/mm] = [mm]\bruch{A}{B} \* \bruch{D}{C}[/mm]
> !?
>
> Habe ich das richtig verstanden?
Ja. Beachte aber, dass es Einschränkungen gibt, denn B=0, C=0 und D=0 würden jeweils einen vorkommenden Nenner verbotenerweise zu Null werden lassen.
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:08 Mi 18.01.2017 | | Autor: | martin_ks |
Werde ich beachten. Vielen Dank!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:00 Mi 18.01.2017 | | Autor: | martin_ks |
Vielen Dank an alle hilfsbereiten Mathehelfer!
Ich bin gedanklich jetzt schon einige Schritte weiter gekommen!
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