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| Aufgabe | | Welche reellen Lösungen bestitzt die Betragsgleichung [mm] \vmat{ x^{2}-x } [/mm] = 24 ? |
Hallo,
Soweit mein Ansatz:
[mm] \vmat{ x^{2}-x } [/mm] = 24
[mm] \vmat{ x^{2}-x }=\begin{cases} x^{2}-x, & \mbox{für } x^{2}-x\ge 0 \\ -(x^{2}-x), & \mbox{für } x^{2}-x< 0 \end{cases}
[/mm]
1. Fall
[mm] x^{2}-x \ge [/mm] 0
[mm] x^{2}-x=24
[/mm]
2. Fall
[mm] x^{2}-x [/mm] < 0
[mm] -(x^{2}-x)=24
[/mm]
Habe ich das bis hierher richtig aufgestellt? Wie gehts nun weiter?
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Hallo,
man kann nicht sagen, es sei falsch. Aber es ist sicherlich noch nicht ausreichend. Du musst für beide Fälle je erst einmal prüfen, für welche x-Werte sie jeweils auftreten.
Dann die beiden quadratischen Gleichungen lösen und mit der jeweiligen Grundmenge des aktuellen Falles abgleichen. Wobei beim zweiten Fall, wenn man es recht besieht, einmal scharf hinsehen genügt, um zu sehen was Sache ist...
Gruß, Diophant
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> Du musst für beide Fälle je erst
> einmal prüfen, für welche x-Werte sie jeweils auftreten.
Also du meinst so?:
1. Fall
[mm] x^{2}-x \ge [/mm] 0
x(x-1) [mm] \ge [/mm] 0
[mm] x_{1} \ge [/mm] 0
[mm] x_{2} \ge [/mm] 1
2. Fall
[mm] x^{2}-x [/mm] < 0
x(x-1) < 0
[mm] x_{1} [/mm] < 0
[mm] x_{2} [/mm] < 1
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Hallo,
nein, das geht so nicht. Es geht nicht um die Ermittlung unterschiedlicher x-Werte, sondern du musst Intervalle für x so bestimmen, dass jeweils beide Ungleichungen gleichzeitig erfüllt sind.
Beachte auch noch den eleganten Lösungsvorschlag von steffi21.
Ich würde an deiner Stelle aber die Sache auch mit den Fallunterscheidungen durchrechnen, da vielleicht vom Aufgabensteller so gewünscht. Und dann mache dir klar, warum hier die Lösung von steffi21 auch funktioniert (und natürlich viel schneller zum Ziel führt).
Gruß, Diophant
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also, ich habe die Aufgabe nun gerechnet und mir dabei eine andere (bereits gerechnete) Aufgabe als Anleitung bzw. Lösungsweg genommen.
Kann man das rechnerisch so machen, ist es richtig wie ich es gemacht habe? Bitte nicht böse sein, dass ich es eingescant habe. Wenn es gewünscht wird, tippe ich es nochmal ab. Es ist nur zum drübergucken gedacht.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:45 Do 03.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Andi,
> also, ich habe die Aufgabe nun gerechnet und mir dabei eine
> andere (bereits gerechnete) Aufgabe als Anleitung bzw.
> Lösungsweg genommen.
>
> Kann man das rechnerisch so machen, ist es richtig wie ich
> es gemacht habe? Bitte nicht böse sein, dass ich es
> eingescant habe. Wenn es gewünscht wird, tippe ich es
> nochmal ab. Es ist nur zum drübergucken gedacht.
mir ist das nun zu spät zum genauen drübergucken, aber eine Sache:
Bei den Fallunterscheidungen:
1. Fall: [mm] $x^2-x [/mm] < 0$
Das ist gleichbedeutend mit $x(x-1) < [mm] 0\,,$ [/mm] so dass das gleichbedeutend ist mit:
a) $x < 0 [mm] \text{ und }x-1 [/mm] > 0$
oder
b) $x > 0 [mm] \text [/mm] { und }x-1 < [mm] 0\,.$
[/mm]
Der Fall a) kann nicht gehen: Wie soll gleichzeitig $x < [mm] 0\,$ [/mm] und dann auch $x > [mm] 1\,$ [/mm] sein? Also ist der Fall $x(x-1) [mm] \le [/mm] 0$ nichts anderes als der Fall $0 < x < [mm] 1\,.$
[/mm]
Und der andere Fall [mm] $x^2-x \ge [/mm] 0$ bedeutet dann:
2a) $x [mm] \ge [/mm] 0$ und $x-1 [mm] \ge [/mm] 0$
oder
2b) $x [mm] \le [/mm] 0$ und $x-1 [mm] \le 0\,.$
[/mm]
Also
2a) $x [mm] \ge [/mm] 1$ (weil jedes $x [mm] \ge [/mm] 1$ auch $x [mm] \ge [/mm] 0$ erfüllt)
oder
2b) $x [mm] \le [/mm] 0$ (weil jedes $x [mm] \le [/mm] 0$ auch $x [mm] \le [/mm] 1$ erfüllt.)
Wenn Du das verstanden hast, bedeutet der erste Fall: $x [mm] \in (0,1)\,,$ [/mm] und der zweite Fall $x [mm] \in \underbrace{(-\infty,0]}_{\text{Fall }2b} \cup \underbrace{[1,\infty)}_{\text{Fall }2a}$
[/mm]
Und damit ist auch klar, dass eine "Scheinlösung" (wie Du sie auf dem Zettel berechnet/bezeichnet hast) im Fall 1 nicht sein kann: Schließlich ist $5,irgendwas [mm] \notin (0,1)\,.$ [/mm] D.h. wenn man nur die $x [mm] \in [/mm] (0,1)$ betrachtet, kann $x=5,irgendwas$ nicht eine Lösung der Gleichung sein - sonst müsste ja $5,irgendwas$ auch [mm] $\in [/mm] (0,1)$ liegen.
Kann sein, dass Dir das klar war, aber da ich das für wichtig erachte, dass man mal verstanden hat, was man bei den Fallunterscheidungen macht (man muss die auch nicht immer strikt trennen - Du hättest auch die Fälle $x [mm] \in [/mm] [0,1]$ oder $x [mm] \in \IR \setminus [/mm] (0,1)$ unterscheiden können - auch $[0,1] [mm] \cup (\IR \setminus (0,1))=\IR$ [/mm] stimmt ja), habe ich es mal versucht, ein wenig genauer zu erläutern.
Wie gesagt: Im Prinzip macht man da sowas wie bei Vereinigungen: Wenn [mm] $\IR=X \cup [/mm] Y$ und man ein $x [mm] \in \IR$ [/mm] hat, dann gibt es die Fälle: $x [mm] \in [/mm] X$ oder $x [mm] \in Y\,.$ [/mm] Das muss kein ausschließendes "oder" sein - es sei denn, [mm] $X\,$ [/mm] und [mm] $Y\,$ [/mm] sind disjunkt.
P.S.
Im ersten Fall hast Du einen Fehler: Dort gilt doch [mm] $|x^2-x|=24 \gdw -(x^2-x)=24 \gdw x^2-x+24=0\,.$ [/mm] Das hat mich auch gerade gewundert, dass in beiden Fällen die p,q-Formel das gleiche Ergebnis liefern würde. Im ersten Fall wirst Du sehen, dass die p,q-Formel auch sagt, dass es gar keine Lösung geben wird - es gibt dann auch keine Scheinlösungen (jedenfalls nicht im Reellen)!
Gruß,
Marcel
> [Dateianhang nicht öffentlich]
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Hallo,
erstmal danke für deine Hilfe! Ich habe da etwas nicht ganz verstanden. Das was ich nicht nachvollziehen kann, habe ich rot markiert.
Warum drehst du hier das Relationszeichen um? Darf man das einfach so? Zu welchem Zweck?
> Bei den Fallunterscheidungen:
> 1. Fall: [mm]x^2-x < 0[/mm]
>
> Das ist gleichbedeutend mit [mm]x(x-1) < 0\,,[/mm] so dass das
> gleichbedeutend ist mit:
> a) x < 0 [mm] \text [/mm] und x-1 > 0
> oder
> b) x > 0 [mm] \text [/mm] und x-1 < [mm] 0\,.
[/mm]
>
> Der Fall a) kann nicht gehen: Wie soll gleichzeitig [mm]x < 0\,[/mm]
> und dann auch [mm]x > 1\,[/mm] sein? Also ist der Fall [mm]x(x-1) \le 0[/mm]
> nichts anderes als der Fall [mm]0 < x < 1\,.[/mm]
>
> Und der andere Fall [mm]x^2-x \ge 0[/mm] bedeutet dann:
> 2a) [mm]x \ge 0[/mm] und [mm]x-1 \ge 0[/mm]
> oder
> 2b) [mm]x \le 0[/mm] und [mm]x-1 \le 0\,.[/mm]
>
> Also
> 2a) [mm]x \ge 1[/mm] (weil jedes [mm]x \ge 1[/mm] auch [mm]x \ge 0[/mm] erfüllt)
> oder
> 2b) [mm]x \le 0[/mm] (weil jedes [mm]x \le 0[/mm] auch [mm]x \le 1[/mm] erfüllt.)
>
Ich würde das so machen:
1. Fall [mm] x^{2}-x [/mm] < 0
[mm] x^{2}-x [/mm] < 0
x(x-1) < 0
x < 0
x-1 < 0
0 > x < 1
2. Fall [mm] x^{2}-x \ge [/mm] 0
[mm] x^{2}-x \ge [/mm] 0
x(x-1) [mm] \ge [/mm] 0
x [mm] \ge [/mm] 0
x-1 [mm] \ge [/mm] 0
0 [mm] \le [/mm] x [mm] \ge [/mm] 1
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:21 Di 08.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> erstmal danke für deine Hilfe! Ich habe da etwas nicht
> ganz verstanden. Das was ich nicht nachvollziehen kann,
> habe ich rot markiert.
>
> Warum drehst du hier das Relationszeichen um? Darf man das
> einfach so? Zu welchem Zweck?
>
>
>
> > Bei den Fallunterscheidungen:
> > 1. Fall: [mm]x^2-x < 0[/mm]
> >
> > Das ist gleichbedeutend mit [mm]x(x-1) < 0\,,[/mm] so dass das
> > gleichbedeutend ist mit:
> > a) x < 0 [mm]\text[/mm] und x-1 > 0
> > oder
> > b) x > 0 [mm]\text[/mm] und x-1 < [mm]0\,.[/mm]
> >
> > Der Fall a) kann nicht gehen: Wie soll gleichzeitig [mm]x < 0\,[/mm]
> > und dann auch [mm]x > 1\,[/mm] sein? Also ist der Fall [mm]x(x-1) \le 0[/mm]
> > nichts anderes als der Fall [mm]0 < x < 1\,.[/mm]
> >
> > Und der andere Fall [mm]x^2-x \ge 0[/mm] bedeutet dann:
> > 2a) [mm]x \ge 0[/mm] und [mm]x-1 \ge 0[/mm]
> > oder
> > 2b) [mm]x \le 0[/mm] und [mm]x-1 \le 0\,.[/mm]
> >
> > Also
> > 2a) [mm]x \ge 1[/mm] (weil jedes [mm]x \ge 1[/mm] auch [mm]x \ge 0[/mm] erfüllt)
> > oder
> > 2b) [mm]x \le 0[/mm] (weil jedes [mm]x \le 0[/mm] auch [mm]x \le 1[/mm]
> erfüllt.)
> >
>
>
> Ich würde das so machen:
>
> 1. Fall [mm]x^{2}-x[/mm] < 0
>
> [mm]x^{2}-x[/mm] < 0
> x(x-1) < 0
> x < 0
> x-1 < 0
> 0 > x < 1
>
> 2. Fall [mm]x^{2}-x \ge[/mm] 0
>
> [mm]x^{2}-x \ge[/mm] 0
> x(x-1) [mm]\ge[/mm] 0
> x [mm]\ge[/mm] 0
> x-1 [mm]\ge[/mm] 0
> 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\ge[/mm] 1
Vorsicht: Ein Produkt [mm] $a*b\,$ [/mm] ist genau dann [mm] $<0\,$ [/mm] (also $a*b < [mm] 0\,$), [/mm] wenn $a < 0 < [mm] b\,$ [/mm] oder $b < 0 < [mm] a\,$ [/mm] gilt. (Letztstehendes in Worten: Weder [mm] $a\,$ [/mm] noch [mm] $b\,$ [/mm] darf Null sein und sie müssen einander entgegengesetztes Vorzeichen haben!)
Und wenn [mm] $a,b\,$ [/mm] beide [mm] $<0\,$ [/mm] sind, dann ist $a*b > [mm] 0\,:$ [/mm] Berechne mal beispielsweise [mm] $-2*(-3)\,.$
[/mm]
Und zudem: $a*b [mm] \ge [/mm] 0$ gilt genau dann, wenn $0 [mm] \le [/mm] a,b$ oder $0 [mm] \ge a,b\,.$ [/mm]
D.h. Dein erster Fall ist falsch (und unvollständig wäre er sowieso), und Dein zweiter Fall ist unvollständig:
Du hast dort den Unterfall
$x [mm] \le [/mm] 0$ und $x-1 [mm] \le 0\,,$
[/mm]
für den auch $x*(x-1) [mm] \ge [/mm] 0$ gilt, nicht behandelt!
(P.S. Sowas wie $0 [mm] \le [/mm] x [mm] \ge [/mm] 1$ schreibt man nicht: Zumal diese Informationen alle in $x [mm] \ge [/mm] 1$ 'gespeichert' sind!)
Gruß,
Marcel
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Ist das jetzt so komplett und richtig?
Ich habe
- den Betrag definiert
- Fall 1 formuliert
- Fall 2 formuliert
- die Lösungsmengen (soweit möglich) beider Fälle errechnet
- sie mit den Intervallen abgeglichen
- die Lösungsmenge notiert
Frage zur Lösungsmenge: Gleiche ich die Lösungen aus Fall 1 nur mit dem Intervall des 1. Falles ab oder nehme ich dazu beide Intervalle, also auch das des 2. Falles (der keine Lösung besitzt)? Bei ersterem wäre [mm] x_{2}=-4,424 [/mm] keine Lösung des Intervalles von Fall 1.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hi!
> Ist das jetzt so komplett und richtig?
Nein.
Warum ignorierst du denn den Tipp mit der Lösung bezüglich der Parabel?
Wenn du die Ungleichung [mm]x^2-x>0[/mm] Lösen sollst, ist es am einfachsten (auch für dich) und elegantesten sich dies bildlich an einer Parabel aufzuskizzieren.
Berechne dir zunächst die Nullstellen von [mm]x^2-x>0[/mm].
Dann schaust du in welchen Intervallen diese Parabel überhalb (da [mm]x^2-x\red{>0}[/mm]) der x-Achse liegt. Dies sind dann die Lösungen die du benötigst.
Falls du es auf die andere Art Lösen wolltest, so müsstest du mehr Fallunterscheidungen machen:
Fall: [mm]x^2-x>0[/mm]
[mm]x\cdot(x-1)>0[/mm]
Nun folgen gezwungenermaßen zwei weitere Fallunterscheidungen, welche deine Ungleichung lösen:
1. Fall: x>0 und (x-1)>0
[mm] \Rightarrow [/mm] x>0 und x>1
2. Fall: x<0 und (x-1)<0
[mm] \Rightarrow [/mm] x<0 und x<1
Nun kannst du dir das auf dem Zahlenstrahl schön aufmalen. Die Vereinigung beider Fälle ist die Gesamtlösung.
In diesem Fall: [mm] -\infty
Wie du siehst bzw. sehen wirst ist die Lösung mit der Parabel wesentlich angenehmer.
Valerie
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:01 Mi 09.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ist das jetzt so komplett und richtig?
hast Du meine Antwort überhaupt gelesen? Was habe ich zu den Fällen gesagt: Es gibt (theoretisch) 2 Unterfälle (deswegen theoretisch, weil sich herausstellt, dass ein Unterfall gar nicht existieren kann).
Aber nun gut... so macht das keinen Sinn. Entweder Du arbeitest das ein, Du denkst nochmal drüber nach und fragst nach, oder Du schreibst 5000 Versionen Deiner Lösungen, ohne das zu beachten und kommst irgendwann mal selbst drauf, was Du nie beachtest. Mehr wie einen Wink mit dem Zaunpfahl kann ich nun auch nicht machen - Du musst schon wenigstens die Antworten lesen und die Hinweise einarbeiten, andernfalls kann ich mir die Zeit auch sparen. Und falls Du meine letzten Hinweise nicht verstanden hast: NACHFRAGEN.
Und warum ich jetzt hier vielleicht ein wenig "unfreundlich" wirke: Du hast halt meine letzte Antwort anscheinend komplett ignoriert. Oder kannst Du mich vom Gegenteil überzeugen?
Gruß,
Marcel
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Tut mir Leid, ich habe eure Antworten nicht ignoriert, ich habe mir nur zu schwer getan es zu verstehen. Ist ja eigentlich gar nicht schwer. Zum Beweis habe ich die Aufgabe (hoffentlich) mustergültig aufgeschrieben. Ich wollte die Aufgabe per Fallunterscheidung lösen. Der Weg mit der Parabel ist auch in meinem Übungsbuch (Papula Mathematik für Ings.). Nun gut, war vielleicht eine blöde Aufgabe um die Fallunterscheidung einzuüben. Aber ich hoffe nun, dass ich es richtig gemacht habe. Und ich weiß nun auch, Valerie, warum der Weg mit der Parabel angenehmer ist ;)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:03 Do 10.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Tut mir Leid, ich habe eure Antworten nicht ignoriert, ich
> habe mir nur zu schwer getan es zu verstehen. Ist ja
> eigentlich gar nicht schwer. Zum Beweis habe ich die
> Aufgabe (hoffentlich) mustergültig aufgeschrieben.
was ich so auf die Schnelle sehe:
Du hast nun auf Deinem Blatt richtig stehen, was es für Fälle gibt:
[mm] $$\text{1.) }\;\;\;a*b [/mm] < 0 [mm] \gdw \big(a [/mm] < 0 < b [mm] \text{ oder }b [/mm] < 0 < [mm] a\big)$$
[/mm]
[mm] $$\text{2.) }\;\;\;a*b \ge [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] (a,b [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \text{ oder } [/mm] a,b [mm] \le 0)\,.$$
[/mm]
(Das, was nach dem [mm] $\gdw$ [/mm] steht, sind halt sozusagen "sinnvolle" Charakterisierungen, mit denen man arbeiten kann.)
Aber wieso steht da auch $a*b > [mm] 0\,$ [/mm] für $a,b [mm] <0\,$? [/mm] Keine Frage, dass das richtig ist (also richtig ist die Folgerung $a,b < 0 [mm] \Rightarrow [/mm] a*b > [mm] 0\,$). [/mm] Aber zum einen wird dieser Fall oben mitbehandelt, zum anderen fehlt da wieder, dass auch $a,b > [mm] 0\,$ [/mm] sein kann.
Vielleicht auch nochmal zur Erinnerung, was dieses [mm] $\gdw$ [/mm] überhaupt bedeutet (meist schreibst Du das auch nicht hin, aber ich denke, dass Du es quasi "im Kopf" benutzt):
Für $r,s [mm] \in \IR$ [/mm] betrachten wir mal die Aussage
[mm] $$\text{A)}\;\;\;r*s [/mm] > 0 [mm] \gdw [/mm] (r,s > 0 [mm] \text{ oder }r,s [/mm] < [mm] 0)\,.$$
[/mm]
a) Bedeutung:
Diese Aussage bedeutet, dass zwei Dinge gelten:
Es gilt
1'.) $r*s > 0 [mm] \Rightarrow [/mm] (r,s > 0 [mm] \text{ oder }r,s [/mm] < [mm] 0)\,.$
[/mm]
und
2'.) ($r,s > 0$ oder $r,s < 0$) [mm] $\Rightarrow [/mm] r*s > [mm] 0\,.$
[/mm]
b) Frage: Darf man sie abschwächen etwa zu $r*s> 0 [mm] \gdw [/mm] r,s > [mm] 0\,$?
[/mm]
Nein. Denn: Es gilt zwar
$r,s > [mm] 0\Rightarrow [/mm] r*s > [mm] 0\$
[/mm]
(diese Aussage ist ja insbesondere in 2'.) enthalten), aber es gilt nicht
$$r*s > 0 [mm] \Rightarrow [/mm] r,s > [mm] 0\,.$$
[/mm]
(Wir haben ja $r,s [mm] \in \IR$ [/mm] zugelassen.)
Würden wir allerdings zudem etwa fordern, dass bspw. $r > [mm] 0\,$ [/mm] und $s [mm] \ge [/mm] 0$ seien sollen:
Dann darf ich
$$r*s> 0 [mm] \gdw [/mm] r,s > [mm] 0\,$$
[/mm]
schreiben: Hier wäre das richtig. Denn: Für $r,s [mm] \in \IR$ [/mm] gilt ja Aussage [mm] $\text{A)}$ [/mm] - dort insbesondere die Folgerung [mm] $\Leftarrow$. [/mm] Und hier kann wegen den Voraussetzungen an [mm] $r,s\,$ [/mm] es gar nicht passieren, dass $r,s < 0$ sein können - also erhalten wir hier auch die Gültigkeit der Folgerung $r*s > 0 [mm] \Rightarrow [/mm] r,s > [mm] 0\,,$ [/mm] unter Beachtung, dass nach Voraussetzung es etwa nicht sein kann, dass $r < [mm] 0\,$ [/mm] wäre.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:11 Fr 11.05.2012 | | Autor: | Mathe-Andi |
Danke für die super Erklärung. Hab in meinem Tafelwerk nochmal das Zeichen nachgeschaut. Dort steht:
[mm] \Rightarrow [/mm] : wenn, dann... (Implikation)
[mm] \gdw [/mm] : genau dann, wenn ... (Äquivalenz)
Die Regeln habe ich mit Rotstift unabhängig von der Aufgabe auf die gleiche Seite aufgeschrieben damit der Bezug da ist, wenn ich im Heft mal was nachschlage. Und die dritte Implikation von a*b > 0, nämlich a,b > 0 habe ich vergessen. Danke!
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Hallo, betrachte die Parabel [mm] f(x)=x^2-x, [/mm] sie ist nach oben geöffnet mit dem Scheitel (0,5; -0,25) und Nullstellen 0 und 1, der Teil der Parabel im 4. Quadranten wird an der x-Achse gespiegelt, du kannst also bei dieser Aufgabe bedenkenlos die Gleichung [mm] 0=x^2-x-24 [/mm] lösen, Steffi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:25 Do 03.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
hier mal die algebraische Umsetzung von Steffis Vorschlag:
> Welche reellen Lösungen bestitzt die Betragsgleichung
> [mm]\vmat{ x^{2}-x }[/mm] = 24 ?
wir betrachten [mm] $f(x)=|x^2-x|-24$ [/mm] - gesucht sind die Nullstellen von [mm] $f\,.$ [/mm] Es gilt
[mm] $$f(x)=|x^2-x|-24=|(x-(1/2))^2\;\;-\;1/4|-24\,.$$
[/mm]
Jetzt kann man im Wesentlichen algebraisch weiterargumentieren - schlimmstenfalls benutzt man Monotonieargumente und den Zwischenwertsatz. Aber es geht auch rein mit Abschätzungen, die man meinetwegen auch am Graphen der Funktion motivieren kann.
Gruß,
Marcel
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