Binomialkoeffizient < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Mo 06.01.2014 | | Autor: | gotoxy86 |
| Aufgabe | Weisen Sie folgende Aussagen über Binomialkoeffizienten nach:
[mm] \vektor{n \\ k-1}+\vektor{n-1 \\ k}+\vektor{n-1 \\ k-1}=\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}+\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}+\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}=\ldots=\frac{(n+1)!}{k!(n-k+1)!}=\vektor{n+1 \\ k}
[/mm]
[mm] \ldots=\frac{(n-1)!}{k!(n-k+1)!}\left(nk+(n-k+1)(n-k)+k(n-k+1)\right)=\frac{(n-1)!}{k!(n-k+1)!}\left(nk+n^2-2nk+k^2+n-k+nk-k^2+k\right)=\ldots [/mm] |
Das von [mm] \ldots [/mm] umklammerte versteh ich nicht, wie kommt man darauf? Gibt es da nützliche Tipps für Rechenregeln bzgl. Fakultäten?
Ich versteh auch nicht wie man davon wieder auf die Fakultätenschreibweise kommt.
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Hallo gotoxy86,
das ist in der Reihenfolge ein bisschen durcheinander geraten. So kann man tatsächlich keine zielführende Rechnung mehr erkennen.
Vorab: wie man von der Schreibweise in Binomialkoeffizienten zur Fakultätenschreibweise und zurück kommt, ist einfach in der Formel [mm] \vektor{a\\b}=\bruch{a!}{b!(a-b)!} [/mm] festgelegt. Die wird hier eben angewandt, egal wie nun a und b jeweils heißen bzw. festgelegt werden.
Ich versuche mal, die Rechnung zu ordnen:
> Weisen Sie folgende Aussagen über Binomialkoeffizienten
> nach:
Ach, Moment noch. Wie gesagt stehen hier ja auch Zwischenschritte mit drin. Eigentlich zu zeigen ist dies:
[mm] \vektor{n\\k-1}+\vektor{n-1\\k}+\vektor{n-1\\k-1}=\vektor{n+1\\k}
[/mm]
Wie kommt man nun "von links nach rechts"?
> [mm]\vektor{n \\ k-1}+\vektor{n-1 \\ k}+\vektor{n-1 \\ k-1}=\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}+\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}+\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}=\ldots[/mm]
Hier ist erst einmal die Anwendung der o.g. Formel. Die Bin.koeff. werden in Fakultätsschreibweise notiert. Fertig.
Der nächste Schritt steht allerdings in der Zeile drunter:
> [mm]\ldots=\frac{(n-1)!}{k!(n-k+1)!}\left(\red{nk}+\green{(n-k+1)(n-k)}+\blue{k(n-k+1)}\right)=\ldots[/mm]
Hier werden die drei Brüche gleichnamig gemacht. Der Hauptnenner ist $k!(n-k+1)!$. Dazu müssen die Brüche geeignet erweitert werden (normale Bruchrechnung). Zugleich wird der gemeinsame Faktor $(n-1)!$ aus dem Zähler herausgezogen.
Der rote Term setzt sich aus dem nach dem Ausklammern übrigen n und dem k, mit dem erweitert wird zusammen - stammt also aus dem ersten Bruch. Der grüne stammt aus dem zweiten, der blaue aus dem dritten Bruch. Rechne die mal selbst nach.
Und weiter gehts:
> [mm]\ldots=\frac{(n-1)!}{k!(n-k+1)!}\left(nk+n^2-2nk+k^2+n-k+nk-k^2+k\right)=\ldots[/mm]
Hier also nur ausmultipliziert. Jetzt wird zusammengefasst (die rechte Klammer ergibt [mm] n^2+n=n(n+1), [/mm] das wird mit (n-1)! zusammengefasst) - und da gehts in der ersten Zeile weiter:
> [mm]\ldots=\frac{(n+1)!}{k!(n-k+1)!}=\vektor{n+1 \\ k}[/mm]
Und hier passiert sonst nichts mehr als wieder der Schritt zurück in die Bin.koeff.schreibweise nach Definition.
> Das von [mm]\ldots[/mm] umklammerte versteh ich nicht, wie kommt
> man darauf? Gibt es da nützliche Tipps für Rechenregeln
> bzgl. Fakultäten?
Eigentlich nur einen, den man dann u.U. mehrfach (rekursiv) anwenden muss: n!=n*(n-1)!. Das ist alles, was man wissen muss.
> Ich versteh auch nicht wie man davon wieder auf die
> Fakultätenschreibweise kommt.
Siehe oben.
Und ansonsten ist es einfach die blöde Notationsreihenfolge.
Man erkennt, dass der Musterlösungsschreiber Anfang und Ziel in einer Zeile haben wollte. Dazu musste er Auslassungen vornehmen, die er mit [mm] \ldots [/mm] gekennzeichnet hat. Weil aber der Sprung doch ein bisschen groß war, hat er in der zweiten Zeile angegeben, was er an dieser Stelle ausgelassen hat.
Das ist eine klassische Methode, um den Leser zu verwirren. 
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Mo 06.01.2014 | | Autor: | gotoxy86 |
> Hallo gotoxy86,
>
> das ist in der Reihenfolge ein bisschen durcheinander
> geraten. So kann man tatsächlich keine zielführende
> Rechnung mehr erkennen.
>
> Vorab: wie man von der Schreibweise in
> Binomialkoeffizienten zur Fakultätenschreibweise und
> zurück kommt, ist einfach in der Formel
> [mm]\vektor{a\\b}=\bruch{a!}{b!(a-b)!}[/mm] festgelegt. Die wird
> hier eben angewandt, egal wie nun a und b jeweils heißen
> bzw. festgelegt werden.
>
> Ich versuche mal, die Rechnung zu ordnen:
>
> > Weisen Sie folgende Aussagen über Binomialkoeffizienten
> > nach:
>
> Ach, Moment noch. Wie gesagt stehen hier ja auch
> Zwischenschritte mit drin. Eigentlich zu zeigen ist dies:
>
> [mm]\vektor{n\\k-1}+\vektor{n-1\\k}+\vektor{n-1\\k-1}=\vektor{n+1\\k}[/mm]
>
> Wie kommt man nun "von links nach rechts"?
>
> > [mm]\vektor{n \\ k-1}+\vektor{n-1 \\ k}+\vektor{n-1 \\ k-1}=\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}+\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}+\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}=\ldots[/mm]
>
> Hier ist erst einmal die Anwendung der o.g. Formel. Die
> Bin.koeff. werden in Fakultätsschreibweise notiert.
> Fertig.
> Der nächste Schritt steht allerdings in der Zeile
> drunter:
>
> >
> [mm]\ldots=\frac{(n-1)!}{k!(n-k+1)!}\left(\red{nk}+\green{(n-k+1)(n-k)}+\blue{k(n-k+1)}\right)=\ldots[/mm]
>
> Hier werden die drei Brüche gleichnamig gemacht. Der
> Hauptnenner ist [mm]k!(n-k+1)![/mm]. Dazu müssen die Brüche
> geeignet erweitert werden (normale Bruchrechnung). Zugleich
> wird der gemeinsame Faktor [mm](n-1)![/mm] aus dem Zähler
> herausgezogen.
>
> Der rote Term setzt sich aus dem nach dem Ausklammern
> übrigen n und dem k, mit dem erweitert wird zusammen -
> stammt also aus dem ersten Bruch. Der grüne stammt aus dem
> zweiten, der blaue aus dem dritten Bruch. Rechne die mal
> selbst nach.
>
Warum ist das der Hauptnenner? Ich habe als Hauptnenner:
(k-1)!(n-k+1)!k!(n-1-k)!(k-1)!(n-k)!
Wie komme ich jetzt auf die schlanke Form?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:58 Mo 06.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> [mm]\ldots=\frac{(n-1)!}{k!(n-k+1)!}\left(\red{nk}+\green{(n-k+1)(n-k)}+\blue{k(n-k+1)}\right)=\ldots[/mm]
> >
> > Hier werden die drei Brüche gleichnamig gemacht. Der
> > Hauptnenner ist [mm]k!(n-k+1)![/mm].
> Warum ist das der Hauptnenner? Ich habe als Hauptnenner:
>
> (k-1)!(n-k+1)!k!(n-1-k)!(k-1)!(n-k)!
>
> Wie komme ich jetzt auf die schlanke Form?
Es gilt:
[mm] \frac{a}{b}(c+d)=\frac{ac+ad}{b}=\frac{ac}{b}+\frac{ad}{b}
[/mm]
DieAcht
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Hallo, der Hauptnenner lautet k!(n-k+1)!, betrachte ich mal die drei Nenner einzeln:
1. Nenner lautet:
(k-1)!(n-k+1)!
multipliziert mit k ergibt
k!(n-k+1)!
2. Nenner lautet:
k!(n-k-1)!
multipliziert mit (n-k)(n-k+1) ergibt
k!(n-k+1)!
3. Nenner lautet:
(k-1)!(n-k)!
multipliziert mit k(n-k+1) ergibt
k!(n-k+1)!
somit sind die Brüche zu erweitern:
1. Bruch mit: k
2. Bruch mit: (n-k)(n-k+1)
3. Bruch mit: k(n-k+1)
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:18 Di 07.01.2014 | | Autor: | gotoxy86 |
Danke, ich glaube mit deinen ausführungen ein Stück weiter zu kommen.
> Hallo, der Hauptnenner lautet k!(n-k+1)!, betrachte ich mal
> die drei Nenner einzeln:
>
> 1. Nenner lautet:
> (k-1)!(n-k+1)!
> multipliziert mit k ergibt
> k!(n-k+1)!
Könntest du mir das erläutern, verhält sich die Fakultät also wie ein Exponent?
[mm](k-1)!k=k![/mm]
[mm] x^{k-1}x=x^k
[/mm]
> 2. Nenner lautet:
> k!(n-k-1)!
> multipliziert mit (n-k)(n-k+1) ergibt
> k!(n-k+1)!
Das kreige ich gar nicht auf die Reihe. Geht das ausführlicher? Bitte?
> 3. Nenner lautet:
> (k-1)!(n-k)!
> multipliziert mit k(n-k+1) ergibt
> k!(n-k+1)!
Das stellt mich ebenfalls vor Problemen.
>
> somit sind die Brüche zu erweitern:
>
> 1. Bruch mit: k
>
> 2. Bruch mit: (n-k)(n-k+1)
>
> 3. Bruch mit: k(n-k+1)
>
> Steffi
Gibt es vllt. Regeln für Fakultäten? Was darf man bzw. was darf man nicht machen?
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Hallo, ich glaube, dir sind Fakultäten noch nicht klar, so ist z.B.
1*2*3*4*5=5!
4!*5=5!
1*2+3*4*......*(n-2)*(n-1)*n=n!
1*2+3*4*......*(n-2)*(n-1)=(n-1)!
(n-1)!*n=n!
nun zum 2. Nenner:
du hast (n-k-1), der Nachfolger ist (n-k), der Nachfolger berechnet sich ja durch +1, (n-k-1+1), macht (n-k), der Nachfolger von (n-k) ist (n-k+1) berechnet sich wieder durch +1
also ist (n-k-1)!*(n-k)*(n-k+1)=(n-k+1)!
nun zum 3. Nenner:
du hast (k-1)!*k=k! der Faktor k ist der Nachfolger von (k-1)
du hast weiterhin (n-k)!*(n-k+1)=(n-k+1)! der Faktor (n-k+1) ist der Nachfolger von (n-k)
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:39 Di 07.01.2014 | | Autor: | gotoxy86 |
| Aufgabe | | Mal gucken, ob ichs verstanden habe. |
[mm](k-1)!k=k![/mm]
[mm]k!k=(k+1)![/mm]
[mm](k+1)!k=(k+2)![/mm]
[mm]\bruch{k!}{k}=(k-1)![/mm]
Jetzt etwas schwieriger:
[mm](n+k-1)!nk=((n+1)+(k+1)-1)!=(n+k+1)![/mm]
[mm](n+k-1)!k=(n+(k+1)-1)!=(n+k)![/mm]
[mm](n+k-1)!n=(n+1)+k-1)!=(n+k)![/mm]
[mm](n+k-1)!n^2=(n+2)+k-1)!=(n+k+1)![/mm]
[mm](n+k-1)!2n=(n+k-1)!(n+n)=?[/mm]
Richtig?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:57 Di 07.01.2014 | | Autor: | gotoxy86 |
[mm](k-2)!(k-1)=(k-1)![/mm]
[mm](k-1)!k=k![/mm]
[mm]k!(k+1)=(k+1)![/mm]
[mm](k+1)!(k+2)=(k+2)![/mm]
[mm](k-3)!(k-2)(k-1)=(k-1)![/mm]
[mm](k-2)!(k-1)k=(k-1)![/mm]
[mm](k-1)!k(k+1)=(k+1)![/mm]
[mm]k!(k+1)(k+2)=(k+2)![/mm]
[mm](k+1)!(k+2)(k+3)=(k+3)![/mm]
Ist das jetzt richtig?
aber was ist mit:
[mm] (n+k-1)!(n+k)^2
[/mm]
[mm] (n+k-1)!(n-k)^2
[/mm]
(n+k-1)!(n+k)(n-k)
Kann man da was machen, und wie geht das?
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Hallo!
> [mm](k-2)!(k-1)=(k-1)![/mm]
ja.
>
> [mm](k-1)!k=k![/mm]
ja
>
> [mm]k!(k+1)=(k+1)![/mm]
ja
>
> [mm](k+1)!(k+2)=(k+2)![/mm]
ja
>
>
> [mm](k-3)!(k-2)(k-1)=(k-1)![/mm]
ja
>
> [mm](k-2)!(k-1)k=(k-1)![/mm]
nein
>
> [mm](k-1)!k(k+1)=(k+1)![/mm]
ja
>
> [mm]k!(k+1)(k+2)=(k+2)![/mm]
ja
>
> [mm](k+1)!(k+2)(k+3)=(k+3)![/mm]
ja
> aber was ist mit:
>
> [mm](n+k-1)!(n+k)^2[/mm]
[mm] =\red{1*2*...*(n+k-2)*(n+k-1)*(n+k)}*(n+k)=...*(n+k)
[/mm]
>
> [mm](n+k-1)!(n-k)^2[/mm]
Wie ich das umformen würde, käme auf mein Ziel an.
Zunächst mal würde ich es gar nicht umformen.
> (n+k-1)!(n+k)(n-k)
=(n+k)!*(n-k)
LG Angela
>
> Kann man da was machen, und wie geht das?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Di 07.01.2014 | | Autor: | gotoxy86 |
Ich habs endlich kapiert, danke euch allen.
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