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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:56 Mi 03.03.2021 | | Autor: | b.reis |
| Aufgabe | Beweisen Sie unter Verwendung des Kommutativ-, Distributiv-, Identitäts- und Komplementär- gesetzes (und nur mit diesen alleine) die Gültigkeit folgender Aussagen (Es reicht also nicht die Eigenschaften für {0, 1} zu zeigen!). Hinweis: Sie können bereits bewiesene Aussagen verwenden, um darauf folgende Aussagen zu beweisen.
a ∨ a = a |
Hallo zur Erinnerung die Gesetze
- Kommutativgesetz: a ∨ b = b ∨ a und a ∧ b = b ∧ a
- Assoziativgesetz: (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c) und (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c)
- Distributivgesetz: a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) und a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
- Identitätsgesetz: a ∨ 0 = a und a ∧ 1 = a
- Null– und Eins–Gesetz: a ∧ 0 = 0 und a ∨ 1 = 1
- Komplementärgesetz: a ∨ a = 1 und a ∧ a = 0
- Verschmelzungsgesetz: (a ∨ b) ∧ a = a und (a ∧ b) ∨ a = a
Meine Lösung ist
a ∨ a = ( a ∨ a) ∧ 1 = (a ∨ a) ∧ (a ∨ [mm] \neg [/mm] a) = a ∨ (a ∧ [mm] \neg [/mm] a ) = a ∨ 0 = a
Die Lösung ist richtig, ich verstehe nur den Anfang nicht oder besser gesagt, der Anfang stimmt nur bei der Verwendung der Annahme a = (a ∨ a).
also a = (a ∨ a) = ( a ∨ a) ∧ 1
Da ich a = beweisen soll kann ich es doch nicht einfach einsetzen um ( a ∨ a) ∧ 1 = a ∧ 1 = (a ∨ a) ∧ (a ∨ [mm] \neg [/mm] a)... zu zeigen ?
Oder soll ich genau das tun wie bei der Induktion wo die Induktionsannahme eingesetzt wird in den n+1 Term ?
Is mein erster Beweis der allein funktioniert hat deswegen die Frage.
Vielen Dank
Benni
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HIho,
> - Komplementärgesetz: a ∨ a = 1 und a ∧ a = 0
Na da hast du wohl zwei Mal ein [mm] \neg [/mm] vergessen…
> a ∨ a = ( a ∨ a) ∧ 1 = (a ∨ a) ∧ (a ∨ [mm]\neg[/mm] a)
> = a ∨ (a ∧ [mm]\neg[/mm] a ) = a ∨ 0 = a
>
> Die Lösung ist richtig, ich verstehe nur den Anfang nicht
> oder besser gesagt, der Anfang stimmt nur bei der
> Verwendung der Annahme a = (a ∨ a).
Wieso?
Der Anfang stimmt nach dem Identitätsgesetz.
Du kannst es aber auch einfach mal von rechts nach links lesen.
Welches Gleichheitszeichen verwirrt dich jetzt?
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:32 Mi 03.03.2021 | | Autor: | b.reis |
Hallo,
Ich hatte den Beweis von rechts nach links geführt und es machte alles Sinn, als ich dann 5 Minuten später drauf sah machte es kein Sinn mehr....
Du hast recht es stimmt nach dem Idätitätsgesetz. Ich dachte ich könnte
a = (a ∨ a). verwenden und in ( a ∨ a) ∧ 1 | den Term (a ∨ a) mit a ersetzen was aber zu zeigen war und deswegen nicht verwendet werden darf.
Aber das habe ich nicht gemacht sondern nach dem Identitätsgesetz umgestellt. Vielleicht war mir der letzte Schritt auch nicht ganz klar. Ich wusste nur, dass ich fertig bin.
Grüße
Benni
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> Beweisen Sie unter Verwendung des Kommutativ-,
> Distributiv-, Identitäts- und Komplementär- gesetzes (und
> nur mit diesen alleine) die Gültigkeit folgender Aussagen
> (Es reicht also nicht die Eigenschaften für {0, 1} zu
> zeigen!). Hinweis: Sie können bereits bewiesene Aussagen
> verwenden, um darauf folgende Aussagen zu beweisen.
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> a ∨ a = a
> Hallo zur Erinnerung die Gesetze
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> - Kommutativgesetz: a ∨ b = b ∨ a und a ∧ b = b ∧ a
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> - Assoziativgesetz: (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c) und
> (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c)
>
> - Distributivgesetz: a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧
> c) und a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
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> - Identitätsgesetz: a ∨ 0 = a und a ∧ 1 = a
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> - Null– und Eins–Gesetz: a ∧ 0 = 0 und a ∨ 1 = 1
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> - Komplementärgesetz: a ∨ [mm] \neg [/mm] a = 1 und a ∧ [mm] \neg [/mm] a = 0
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> - Verschmelzungsgesetz: (a ∨ b) ∧ a = a und (a ∧ b)
> ∨ a = a
>
> Meine Lösung ist
>
> a ∨ a = ( a ∨ a) ∧ 1 = (a ∨ a) ∧ (a ∨ [mm]\neg[/mm] a) = a ∨ (a ∧ [mm]\neg[/mm] a ) = a ∨ 0 = a
Nach welchem Gesetz kommst du auf (a ∨ a) ∧ (a ∨ [mm]\neg[/mm] a) = a ∨ (a ∧ [mm]\neg[/mm] a ) ?
Es ist doch nach dem Distributivgesetz (a ∨ a) ∧ (a ∨ [mm]\neg[/mm] a) = (a ∨ (a ∧ [mm]\neg[/mm] a )) ∨ (a ∨ (a ∧ [mm]\neg[/mm] a )), wenn du die Doppelung einfach weglassen könntest, könntest du ja sofort a ∨ a = = a schreiben und wärest fertig.
Einfache Lösung: a ∨ a = (a ∧ 1) ∨ a nach Identitätsgesetz = a nach Verschmelzungsgesetzt mit b=1.
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