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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:18 Sa 18.08.2012 | | Autor: | Kevin22 |
| Aufgabe | Hallo ich hab gerade probleme bei einer Aufgabe:
Gegeben sei die Matrix:
[mm] A_\lambda= \begin{pmatrix}
1 & 2 & 0\\
2 & -1 & 1\\
\lambda & 1 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
Das [mm] \lambda, [/mm] 1 , 1
steht in der unteren Zeile, habs irgendwie nicht richtig darstellen können.
Hab's editiert. Loddar
a) Für welche [mm] \lambda [/mm] ist [mm] A_\lambda [/mm] invertierbar.
b) Geben die alle Lösungen von [mm] A_\lambda [/mm] x= [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] in Abhängigkeit von [mm] \lambda [/mm] an.
c) Geben sie für jedes [mm] \lambda [/mm] ungleich 3 die Lösung von
[mm] A_\lambda [/mm] x= [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6-2\lambda \end{pmatrix} [/mm] |
Ansatz:
Bei der a) habe ich als determinante [mm] 2\lambda [/mm] - 6 raus.
Hab rausgekriegt das die Matrix für [mm] \lambda [/mm] ungleich 3 invertierbar ist.
Bei der b) habe ich meine Probleme:
Ansatz:
x1 +2x2 = 0
[mm] 2x^1 [/mm] -x2 +x3 = 0
[mm] \lambda1 [/mm] +x2 +x3 = 0
Hab jetzt die erste gleichung nach x1 aufgelöst:
x1 = -2x2
Aber wie gehe ich weiter vor?
Ich habe die frage in keinem forum gestellt.
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Wenn [mm] A_{\lambda} [/mm] invertierbar ist, kannst du die Gleichung [mm] A_{\lambda}*x [/mm] =0 doch einfach auflösen.
Wenn [mm] A_{\lambda} [/mm] nicht invertierbar ist, also bei [mm] \lambda [/mm] = 3, musst du ein Gleichungssystem aufstellen und die unendlich vielen Lösungen finden.
Dasselbe gilt für c). dort gibt es aber nur eine Lösung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 Sa 18.08.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Bei der b) habe ich meine Probleme:
Ansatz:
x1 +2x2 = 0
-x2 +x3 = 0
+x2 +x3 = 0
Hab jetzt die erste gleichung nach x1 aufgelöst:
x1 = -2x2
Ist diese rechnung richtig ? Oder was soll ich jetzt genau machen ?
Wie gehe ich bei diesem LGS weiter vor?
Ich stecke irgendwie fest.
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Hallo Kevin22,
> Bei der b) habe ich meine Probleme:
>
> Ansatz:
>
> x1 +2x2 = 0
> -x2 +x3 = 0
>
> +x2 +x3 = 0
Wohin ist das Lambda verschwunden?
Zu lösen ist doch [mm]\pmat{1&2&0\\
2&-2&1\\
\lambda&1&1}\cdot{}\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3}=\vektor{0\\
0\\
0}[/mm]
Das kannst du entweder über Gauß schnell und elegant lösen oder du löst das LGS mit den 3 Gleichungen, die sich aus der obigen Matrix-Vektor-Gleichung ergeben:
(1) [mm]x_1+2x_2=0[/mm]
(2) [mm]2x_1-x_2+x_3=0[/mm]
(3) [mm]\lambda\cdot{}x_1+x_2+x_3=0[/mm]
>
> Hab jetzt die erste gleichung nach x1 aufgelöst:
> x1 = -2x2 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ist diese rechnung richtig ? Oder was soll ich jetzt genau
> machen ?
> Wie gehe ich bei diesem LGS weiter vor?
Erstmal solltest du das richtige LGS hernehmen.
Die Lösung für [mm]x_1[/mm] aus Gleichung (1) kannst du in (2) einsetzen und nach [mm]x_3[/mm] auflösen, dann beides in (3) einsetzen.
Du kannst das LGS aber auch mit dem Additionsverfahren erschlagen ...
> Ich stecke irgendwie fest.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Sa 18.08.2012 | | Autor: | Kevin22 |
> Hallo Kevin22,
>
>
> > Bei der b) habe ich meine Probleme:
> >
> > Ansatz:
> >
> > x1 +2x2 = 0
> > -x2 +x3 = 0
> >
> > +x2 +x3 = 0
>
> Wohin ist das Lambda verschwunden?
>
> Zu lösen ist doch [mm]\pmat{1&2&0\\
2&-2&1\\
\lambda&1&1}\cdot{}\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3}=\vektor{0\\
0\\
0}[/mm]
>
> Das kannst du entweder über Gauß schnell und elegant
> lösen oder du löst das LGS mit den 3 Gleichungen, die
> sich aus der obigen Matrix-Vektor-Gleichung ergeben:
>
> (1) [mm]x_1+2x_2=0[/mm]
> (2) [mm]2x_1-x_2+x_3=0[/mm]
> (3) [mm]\lambda\cdot{}x_1+x_2+x_3=0[/mm]
>
> >
> > Hab jetzt die erste gleichung nach x1 aufgelöst:
> > x1 = -2x2
> >
> > Ist diese rechnung richtig ? Oder was soll ich jetzt genau
> > machen ?
> > Wie gehe ich bei diesem LGS weiter vor?
>
> Erstmal solltest du das richtige LGS hernehmen.
>
> Die Lösung für [mm]x_1[/mm] aus Gleichung (1) kannst du in (2)
> einsetzen und nach [mm]x_3[/mm] auflösen, dann beides in (3)
> einsetzen.
>
> Du kannst das LGS aber auch mit dem Additionsverfahren
> erschlagen ...
>
> > Ich stecke irgendwie fest.
>
> Gruß
>
> schachuzipus
-2x2 in 2 Gleichung eingesetzt:
-5x2 + x3 = 0
x3 = 5x2
3 Gleichung:
lambda *-2x2 +x2 +5x2 = 0
-2x2lambda +4x2 = 0
Aber was mache ich jetzt weiter?
Damit fertig kann ich ja nicht sein.
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Hallo, du hast
(1) [mm] x_1+2*x_2=0
[/mm]
(2) [mm] 2*x_1-x_2+x_3=0
[/mm]
(3) [mm] \lambda*x_1+x_2+x_3=0
[/mm]
aus (1) folgt [mm] x_1=-2*x_2 [/mm] einsetzen in
(2) [mm] 2*(-2)*x_2-x_2+x_3=0 [/mm] es folgt [mm] x_3=5*x_2 [/mm] einsetzen in (3)
(3) [mm] \lambda*(-2)*x_2+x_2+5*x_2=0 [/mm]
(3)' [mm] (-2*\lambda+6)*x_2=0
[/mm]
damit die Gleichung (3)' eine wahre Aussage ergibt ist [mm] \lambda=3
[/mm]
somit wird Gleichung
(3) [mm] 3*x_1+x_2+x_3=0 [/mm] setze [mm] x_1=-2*x_2 [/mm] und [mm] x_3=5*x_2 [/mm] ein
[mm] -6*x_2+x_2+5*x_2=0
[/mm]
du kannst also [mm] x_2=p [/mm] setzen, ein frei wählbarer Parameter, dann ist [mm] x_1=-2*p [/mm] und [mm] x_3=5*p
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Sa 18.08.2012 | | Autor: | Kevin22 |
> Hallo, du hast
>
> (1) [mm]x_1+2*x_2=0[/mm]
> (2) [mm]2*x_1-x_2+x_3=0[/mm]
> (3) [mm]\lambda*x_1+x_2+x_3=0[/mm]
>
> aus (1) folgt [mm]x_1=-2*x_2[/mm] einsetzen in
>
> (2) [mm]2*(-2)*x_2-x_2+x_3=0[/mm] es folgt [mm]x_3=5*x_2[/mm] einsetzen in
> (3)
>
> (3) [mm]\lambda*(-2)*x_2+x_2+5*x_2=0[/mm]
>
> (3)' [mm](-2*\lambda+6)*x_2=0[/mm]
>
> damit die Gleichung (3)' eine wahre Aussage ergibt ist
> [mm]\lambda=3[/mm]
>
> somit wird Gleichung
>
> (3) [mm]3*x_1+x_2+x_3=0[/mm] setze [mm]x_1=-2*x_2[/mm] und [mm]x_3=5*x_2[/mm] ein
>
> [mm]-6*x_2+x_2+5*x_2=0[/mm]
>
> du kannst also [mm]x_2=p[/mm] setzen, ein frei wählbarer Parameter,
> dann ist [mm]x_1=-2*p[/mm] und [mm]x_3=5*p[/mm]
>
> Steffi
>
Ja ok aber was mache ich jetzt weiter?
Jetzt habe ich ja alle werte berechnet .
Bin ich jetzt mit der b) fertig?
>
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Hallo nochmal,
> Ja ok aber was mache ich jetzt weiter?
Schreibe die Lösungsgesamtheit auf
> Jetzt habe ich ja alle werte berechnet .
Aha?
> Bin ich jetzt mit der b) fertig?
Wenn du die Lösungsgesamtheit hast, dann ja
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:49 Sa 18.08.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Was meinst du mit losungsgesamtheit
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Hallo,
die Lösungsmenge der Gleichung in b)
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:08 So 19.08.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Die Lösungsmenge sieht wohl so aus oder?
[mm] \begin{pmatrix} -2p \\ p \\ 5p \end{pmatrix}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:24 So 19.08.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Die Lösungsmenge sieht wohl so aus oder?
>
> [mm]\begin{pmatrix} -2p \\
p \\
5p \end{pmatrix}[/mm]
Yep.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 05:34 So 19.08.2012 | | Autor: | Kevin22 |
>
> > Die Lösungsmenge sieht wohl so aus oder?
> >
> > [mm]\begin{pmatrix} -2p \\
p \\
5p \end{pmatrix}[/mm]
>
> Yep.
>
> Marius
Wie muss ich jetzt genau bei der c Vorgehen?
>
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Hallo, zunächst stellest du die drei Gleichungen auf:
(1) [mm] x_1+2*x_2=0
[/mm]
(2) [mm] 2*x_1-x_2+x_3=0
[/mm]
(3) [mm] \lambda*x_1+x_2+x_3=6-2*\lambda
[/mm]
aus den Gleichungen (1) und (2) folgt [mm] x_1=-2*x_2 [/mm] und [mm] x_3=5*x_2 [/mm] (siehe gestern), einsetzen in (3) und nach [mm] x_2 [/mm] umstellen, ein Hinweis noch, du kannst den Faktor -1 ausklammern, mache dir auch klar, warum in der Aufgabenstellung [mm] \lambda\not=3 [/mm] steht,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:55 So 19.08.2012 | | Autor: | Kevin22 |
> Hallo, zunächst stellest du die drei Gleichungen auf:
>
> (1) [mm]x_1+2*x_2=0[/mm]
> (2) [mm]2*x_1-x_2+x_3=0[/mm]
> (3) [mm]\lambda*x_1+x_2+x_3=6-2*\lambda[/mm]
>
> aus den Gleichungen (1) und (2) folgt [mm]x_1=-2*x_2[/mm] und
> [mm]x_3=5*x_2[/mm] (siehe gestern), einsetzen in (3) und nach [mm]x_2[/mm]
> umstellen, ein Hinweis noch, du kannst den Faktor -1
> ausklammern, mache dir auch klar, warum in der
> Aufgabenstellung [mm]\lambda\not=3[/mm] steht,
>
> Steffi
Die dritte Gleichung sieht jetzt bei mir so aus nach -1 ausgeklammert:
-1* ( 2lambdax2 - 6x2 +6 -2lambda ) = 0
lambda ungleich3 bedeutet ja das dann für lambda die Gleichung nich 0 werden kann.
Aber was mache ich jetzt ,soll ich jetzt einfach wieder parameter für x2 und x3 einsetzen oder darf man das nur wenn die Gleichung 0 wird.
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Hallo, bei mir sieht die Gleichung (3) aber anders aus:
[mm] -2*\lambda*x_2+5x_2=6-2*\lambda
[/mm]
[mm] (-2*\lambda+6)*x_2=6-2*\lambda
[/mm]
[mm] x_2=\bruch{6-2*\lambda}{-2*\lambda+6}
[/mm]
[mm] x_2=\bruch{-2*\lambda+6}{-2*\lambda+6}#
[/mm]
ich meinte vorhin nicht Ausklammern, vertauschen der Summanden, sorry
[mm] x_2=1 [/mm] für [mm] \lambda\not=3
[/mm]
bestimme jetzt [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_3, [/mm]
für dich zur Veranschaulichung, wenn du [mm] x_1, x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] hast, setze mal beliebige [mm] \lambda\not=3 [/mm] ein, z.B. für [mm] \lambda [/mm] 5 oder 7 oder 0 oder ......., was stellst du fest?
Steffi
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 So 19.08.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Mein x1 habe ich berechnet und ich wollt fragen ob es soweit richtig ist , nicht das ich falsch weiter rechne:
Ich habe x2 in die erste Gleichung eingesetzt:
x1 = [mm] \bruch{-12+4lambda}{-2lambda + 6}
[/mm]
Jetzt kann ich das doch in x3 = 5x2 einsetzen oder und x3 berechnen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:43 So 19.08.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Ich hab mal auch x3 berechnet , bekomme das raus:
x3 = 30 - 10lambda/-2lambda +6
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Hallo, hast du verstanden [mm] x_2=1 [/mm] für [mm] \lambda\not=3, [/mm] weitehin hast du doch noch
[mm] x_1=-2*x_2 [/mm] folgt aus (1) [mm] x_1=-2*1=
[/mm]
[mm] x_3=5*x_2 [/mm] folgt aus (2) [mm] x_3=5*1=
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 So 19.08.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Warum ist x2 = 1 ?
Das verstehe ich nicht Steffi.
Woher kommst du darauf?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:00 So 19.08.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Warum ist x2 = 1 ?
>
> Das verstehe ich nicht Steffi.
> Woher kommst du darauf?
Das ist nicht dein Ernst, oder:
Steffi schrieb:
$ [mm] x_2=\bruch{-2\cdot{}\lambda+6}{-2\cdot{}\lambda+6}# [/mm] $
Wenn [mm] $\lambda\ne3$, [/mm] kann man das doch wunderbar kürzen, das ist elementarste Bruchtechnung, vielleicht solltest du diese Basics aus der Unterstufe in der Formelsammlung oder wo auch immer wiederholen.
Überlege auch mal, warum [mm] $\lambda\ne3$ [/mm] gefordert ist.
Bevor du jetzt weiter an Unistoff arbeitest, wiederhole unbedingt mal die Schul-Basics unter folgenden Links:
http://www.strobl-f.de/uebmath.html
http://www.poenitz-net.de/Mathematik/Mathematik.htm
Nimm dir dazu mindestens eine Woche Zeit, du scheinst es nötig zu haben. Wenn du darin dann fit(ter) bist, kannst du mal wieder über Uni-Stoff nachdenken.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 So 19.08.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Ach Mrex das war wirklich blöd von mir .
Jetzt sehe ich es auch .
Ok dann wäre das ergebnis das hier:
[mm] \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}
[/mm]
Bin ich jetzt fertig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:22 So 19.08.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Ach Mrex das war wirklich blöd von mir .
>
> Jetzt sehe ich es auch .
>
> Ok dann wäre das ergebnis das hier:
>
> [mm]\begin{pmatrix} -2 \\
1 \\
5 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Bin ich jetzt fertig?
Mache nun noch die Probe, ob
[mm] A_{\lambda}\cdot\begin{pmatrix}-2\\1\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\6-2\lambda \end{pmatrix} [/mm] $
Das übt die Matrizenmultiplikation 
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:26 So 19.08.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Ok danke leute wieder mal für eure Geduld und Hilfe.
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