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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:21 Mo 12.11.2012 | | Autor: | sarah88 |
| Aufgabe | Sei R eine Relation zwischen den Mengen A und B. Wir bestimmen die Domäne von R als die Teilmenge der Elemente von A, auf der R definiert ist, d.h.
D(R) := { a [mm] \in [/mm] A | [mm] \exists [/mm] b: (a,b) [mm] \in [/mm] R}
Seien jetzt f: A [mm] \to [/mm] B und g: B [mm] \to [/mm] C zwei Funktionen (nicht unbedingt auf den ganzen Mengen A und B definiert). Beschreiben Sie mithilfe der Domäne die Verknüpfung g [mm] \circ [/mm] f von f und g als eine Teilmenge von
A [mm] \times [/mm] C. |
hallo,
ich weiß nicht so recht wie ich hierbei vorgehen muss. Ich könnte ja sagen, dass die Abbildung f eine Relation R mit R [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \times [/mm] B ist und die Abbildung g eine Relation R' mit R' [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \times [/mm] C ist. Ist das richtig?
Da es dann ja eine Domäne D(R) gibt, mit
D(R) := { a [mm] \in [/mm] A | [mm] \exists [/mm] b: (a,b) [mm] \in [/mm] R}
und eine Domäne D(R') mit,
D(R') := { b [mm] \in [/mm] B | [mm] \exists [/mm] c: (b,c) [mm] \in [/mm] R'}
Die Abbildung f [mm] \circle [/mm] g wäre dann ja eine Relation R'' mit R'' [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \times [/mm] C
Also gibt es ein D(R'') := { a [mm] \in [/mm] A | [mm] \exists [/mm] c: (a,c) [mm] \in [/mm] R''}
Kann man das dann einfach so sagen?
ich weiß nicht so genau wie ich hierbei anfangen muss. das waren bisher nur überlegungen. über einen tipp würde ich mich sehr freuen :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:36 Mo 12.11.2012 | | Autor: | meili |
Hallo sarah,
> Sei R eine Relation zwischen den Mengen A und B. Wir
> bestimmen die Domäne von R als die Teilmenge der Elemente
> von A, auf der R definiert ist, d.h.
>
> D(R) := [mm] $\{ a \in A | \exists b: (a,b) \in R\}$
[/mm]
>
> Seien jetzt f: A [mm]\to[/mm] B und g: B [mm]\to[/mm] C zwei Funktionen
> (nicht unbedingt auf den ganzen Mengen A und B definiert).
> Beschreiben Sie mithilfe der Domäne die Verknüpfung g
> [mm]\circ[/mm] f von f und g als eine Teilmenge von
> A [mm]\times[/mm] C.
> hallo,
>
> ich weiß nicht so recht wie ich hierbei vorgehen muss. Ich
> könnte ja sagen, dass die Abbildung f eine Relation R mit
> R [mm]\subseteq[/mm] A [mm]\times[/mm] B ist und die Abbildung g eine
> Relation R' mit R' [mm]\subseteq[/mm] B [mm]\times[/mm] C ist. Ist das
> richtig?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Da es dann ja eine Domäne D(R) gibt, mit
> D(R) := [mm] $\{ a \in A | \exists b: (a,b) \in R\}$ [/mm]
> und eine Domäne D(R') mit,
> D(R') := [mm] $\{ b \in B | \exists c: (b,c) \in R' \}$
[/mm]
>
> Die Abbildung f [mm] \circ [/mm] g wäre dann ja eine Relation R''
> mit R'' [mm]\subseteq[/mm] A [mm]\times[/mm] C
> Also gibt es ein D(R'') := [mm] $\{ a \in A | \exists c: (a,c) \in R'' \}$ [/mm]
> Kann man das dann einfach so sagen?
Ja.
Genauer könnte man noch sagen D(R'') = [mm] $\{ a \in A | \exists c \in C: (a,c) \in R'' \wedge (\exists b \in B : (a,b) \in R \wedge (b,c) \in R')\}$,
[/mm]
aber das ist auch schon in der Defintion von $f [mm] \circ [/mm] g$ enthalten.
>
> ich weiß nicht so genau wie ich hierbei anfangen muss. das
> waren bisher nur überlegungen. über einen tipp würde ich
> mich sehr freuen :)
Da nichts weiter über f und g gesagt ist, reicht das.
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 Mo 12.11.2012 | | Autor: | sarah88 |
mir ist gerade aufgefallen, dass ich das ja für g [mm] \circ [/mm] f zeigen soll und nicht für f [mm] \circ [/mm] g.
g [mm] \circ [/mm] f ist ja die Relation R'' mit der Domäne
D(R'') := { c [mm] \in [/mm] C | [mm] \exists [/mm] a [mm] \in [/mm] A : (c,a) [mm] \in [/mm] R'' }
aber wie kann ich daraus ableiten, dass g [mm] \circ [/mm] f eine Teilmenge von A [mm] \times [/mm] C ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:38 Di 13.11.2012 | | Autor: | meili |
Hallo,
> mir ist gerade aufgefallen, dass ich das ja für g [mm]\circ[/mm] f
> zeigen soll und nicht für f [mm]\circ[/mm] g.
Es ging immer um g [mm]\circ[/mm] f.
Entgegen sonstigen Konventionen bei Verküpfungen, die von links nach
rechts gelesen oder abgearbeitet werden, bedeutet g [mm]\circ[/mm] f:
zuerst wird f, dann g ausgeführt.
>
> g [mm]\circ[/mm] f ist ja die Relation R'' mit der Domäne
>
> D(R'') := [mm] $\{ c \in C | \exists a \in A : (c,a) \in R'' \}$
[/mm]
Nein, D(R'') [mm] $\subseteq$ [/mm] A.
D(R'') := [mm] $\{ a \in A| \exists c \in C : (a,c) \in R'' \}$
[/mm]
>
> aber wie kann ich daraus ableiten, dass g [mm]\circ[/mm] f eine
> Teilmenge von A [mm]\times[/mm] C ist?
Wenn man g [mm]\circ[/mm] f als Relation betrachtet,
kann man sie als R'' schreiben oder als
Teilmenge von A [mm]\times[/mm] C.
R'' := [mm] $\{ (a,c) \in A \times C| a \in D(R'') \wedge c=g(f(a)) \}$
[/mm]
>
Gruß
meili
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