Dreieck unter Funktion < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:09 So 16.10.2011 | | Autor: | sunyata |
| Aufgabe | Im Intervall -3/0 ist dem Graph von f ein rechtwinkliges Dreieck so eingeschrieben, dass eine Kathete auf der X-Achse, ein Eckpunkt (o) fest im Ursprung und ein Eckpunkt (Q) variabel auf dem Graph von f liegt. Für welchen Punkt Q erhalten wir das Dreieck mit dem größten Flächeninhalt?
Berechne den maximalen Flächeninhalt!
Die Funktion ist: f(x) = x³-9x
Ich habe besonders mit dem Intervall Probleme, ich weiss nicht wie man den als Bedingung einbaut. |
Ich habe besonders mit dem Intervall Probleme, ich weiss nicht wie man den als Bedingung einbaut, das ist meine dringendste Frage. Lösung der Aufabe wäre toll...Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo sunyata, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Im Intervall -3/0 ist dem Graph von f ein rechtwinkliges
> Dreieck so eingeschrieben, dass eine Kathete auf der
> X-Achse, ein Eckpunkt (o) fest im Ursprung und ein Eckpunkt
> (Q) variabel auf dem Graph von f liegt. Für welchen Punkt
> Q erhalten wir das Dreieck mit dem größten
> Flächeninhalt?
> Berechne den maximalen Flächeninhalt!
>
> Die Funktion ist: f(x) = x³-9x
>
> Ich habe besonders mit dem Intervall Probleme, ich weiss
> nicht wie man den als Bedingung einbaut, das ist meine
> dringendste Frage.
Das kommt erst etwas später. Du sollst eine Funktion für die Fläche des Dreiecks finden, die allein von der Position des zweiten Eckpunkts auf der x-Achse abhängt.
Diese Funktion nenne ich mal A(x). Und deren Maximum sollst Du im gegebenen Intervall finden - deswegen kommt das erst im nächsten Schritt.
Übrigens heißt es das Intervall.
> Lösung der Aufabe wäre toll...Danke!
Nein, so geht das hier nicht. Du rechnest vor, und wir geben Dir Korrekturen und Hilfestellungen. Lies mal die Forenregeln.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Mo 17.10.2011 | | Autor: | sunyata |
Ok, dann fang ich mal an zu rechnen:
1. Extremalbedingung ist: Flächeninhalt Dreieck
A = 1/2 a x b
2. Nebenbedingung
a=x ;b=y
y=x³-9x
3. Zielfunktion
f(x)= 1/2x(x³-9x)
f(x)= 1/2xhoch4 -4,5x²
4. Maximum bestimmen
f`(x)=2x³ - 9x
f``(x) = 6x² - 9
x(2x²-9) = 0
x = 0;
2x²-9 = 0
x² = 4,5
x=-2,12 x = 2,12
soweit drei Extrema berechnet, das einzig möglich gültige wäre x = -2,12 ; eingesetzt in F``` ergibt aber:
f```(2,12) = 18 > 0 also ein Minimum und kein Maximum......
????
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:37 Mo 17.10.2011 | | Autor: | abakus |
> Ok, dann fang ich mal an zu rechnen:
>
> 1. Extremalbedingung ist: Flächeninhalt Dreieck
>
> A = 1/2 a x b
>
> 2. Nebenbedingung
>
> a=x ;b=y
>
> y=x³-9x
>
> 3. Zielfunktion
> f(x)= 1/2x(x³-9x)
> f(x)= 1/2xhoch4 -4,5x²
>
> 4. Maximum bestimmen
>
> f'(x)=2x³ - 9x
> f''(x) = 6x² - 9
>
> x(2x²-9) = 0
> x = 0;
>
> 2x²-9 = 0
> x² = 4,5
>
> x=-2,12 x = 2,12
>
> soweit drei Extrema berechnet, das einzig möglich gültige
> wäre x = -2,12 ; eingesetzt in F''' ergibt aber:
>
> f'''(2,12) = 18 > 0 also ein Minimum und kein Maximum......
>
> ????
>
>
Soweit ich das überblicke, hast du richtig gerechnet.
Deine Zielfunktion liefert aber im Intervall (-3;0) nur negative Werte und drückt damit nicht direkt den Flächeninhalt A aus.
Für die Fläche brauchst du den BETRAG der Zielfunktion (und bei mehreren negativen Werten hat der kleinste Wert nun mal den größten Betrag).
Somit liefert das Minimum der Zielfunktion das Maximum des Flächeninhalts.
Gruß Abakus
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Hallo,
deine Funktion für die Fläche des Dreiecks lautet [mm] A(x)=\bruch{1}{2}*(-x)*(x^{3}-9x)
[/mm]
die Kathete liegt auf der negativen x-Achse,
die Extremstellen sind:
[mm] x_1=0
[/mm]
[mm] x_2=\wurzel{4,5}
[/mm]
[mm] x_3=-\wurzel{4,5}
[/mm]
[mm] f''(x)=-6x^{2}+9
[/mm]
jetzt klappt auch der Nachweis über die 2. Ableitung
[mm] f''(-\wurzel{4,5})=-18<0
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Mo 17.10.2011 | | Autor: | sunyata |
ok...
kannst du mir erklären, wieso man aufeinmal minus Wurzel von 4,5 schreibt, statt den ausgerechneten Wert der Wurzel -2,12? Wie soll ich das meinem Schüler erklären? (ich gebe nachhilfe kurze info). Normalerweise rechnet man den Wert immer aus.
Und die nächste Frage: Warum wird das Ergebnis in der dritten Ableitung davon beeinflusst?? Das ist doch nicht logisch, da die -Wurzel von 4,5 dasselbe wie der errechnete Wert -2,12 ist??
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Hallo,
[mm] -\wurzel{4,5}\approx-2,12
[/mm]
die dritte Ableitung wird überhaupt nicht benötigt, der Nachweis erfolgt über die 2. Ableitung, Minimum oder Maximum
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Mo 17.10.2011 | | Autor: | sunyata |
okee..super die Aufgabe stimmt schonmal, danke dir vielmals.
jetzt zur Ursprungsfrage zurück, zum Intervall -3/0 in dem das Dreieck liegt.
Ich nehme an, dass die -3 dazu führt, dass du als Zielfunktion f(x) = 1/2 - !x (x³-9x) erstellt hast. Ich hatte nämlich f(x) = 1/2x(x³-9x) also 1/2 PLUS x und nicht wie du 1/2 MINUS x.
Oder anders gefragt: wie kommst du auf dieses MINUS x in der Zielfunktion?
Falls ich falsch liege mit meiner Vermutung die nächste Frage: Wo ist jetzt der Intervall als Bedingung eingebaut in die Lösung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:44 Mo 17.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
gerade wenn du nachhilfe gibst, solltest du wissen, dass [mm] \wurzel{4.5}=2.12 [/mm] eigentlich falsch ist. 4.5 ist keine quadratzahl, also ist die Wurzel auch kein endlicher Dezimalbruch.
zum intervall!
1. Fläxhe ist immer der Betrag der Funktion. da du nur für x<0 suchst multipliziest du ein negatives x mit nem positiven y, ergibt negativen ausdruck, die fläche ist positive davon, bzw. der Betrag. du hattest ja auch noch die Lösung x=+2.12, da wäre das maximum für 0<x<+3 gewesen?
man sollte bei so aufgaben IMMER zuerst Skizzen machen und das UNBEDINGT den nachhilfekids beibringen. dann sieht man , dass es rechts und links von 0 solche Dreiecke gibt, und wenn man nicht im Intervall bleibt, auch unendlich große!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Mo 17.10.2011 | | Autor: | sunyata |
Das meinte ich aber nicht, ich meinte warum in der Zielfunktion -1/2x steht und nicht + 1/2x. nicht mehr und nicht weniger. Die Frage hast du so nicht beantwortet.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:16 Mo 17.10.2011 | | Autor: | abakus |
> Das meinte ich aber nicht, ich meinte warum in der
> Zielfunktion -1/2x steht und nicht + 1/2x. nicht mehr und
> nicht weniger. Die Frage hast du so nicht beantwortet.
Hallo,
die Länge der waagerechten Dreiecksseite ist der Abstand der Punkte (0|0) und (x|0). Nehmen wir mal konkret an, x hätte den Wert -2. Dann willst du doch nicht ernsthaft behaupten, dass dann die Strecke die Länge -2 hat!
Die Strecke hätte die Länge 2, und das ist die entgegengesetzte Zahl zu -2.
Nun muss es nicht unbedingt -2 sein; wir haben irgend eine andere negative x-Koordinate. Wenn x eine negative Zahl ist, dann ist -x eine positive Zahl. Deshalb muss man für die Länge -x und nicht x schreiben.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:18 Di 18.10.2011 | | Autor: | sunyata |
Vielen Dank, jetzt hab ichs!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Mo 17.10.2011 | | Autor: | sunyata |
o ansonsten werde ich jetzt mal weiterrechnen:
-2,12 ist also der x Wert für den maximalen Flächeninhalt.
Da der Punkt Q auf der Funktion gesucht ist,setze ich 2,12 in der gegebenen Funktion ein:
f(-2,12) = (-2,12)³- 9*-2,12 = -9,53 + 19,08 = 9,55
der punkt q für den max. Flächeninhalt ist also:
Q(-2,12/9,55)
Der maximale Flächeninhalt wäre:
A = 1/2* 2,12 *9,55 = 10,12 FE
Richtig???
Wenn ja, wo ist jetzt das Problem mit dem Intervall (-3/0) in dem das Dreieck liegen soll??
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Hallo, eine Skizze sagt alles:
[Dateianhang nicht öffentlich]
die Fläche ist korrekt
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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