Dreiseitige Pyramide ... < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:20 Do 16.02.2023 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Gegeben ist eine schiefe dreiseitige Pyramide mit den Punkten ABCP, und der Grundfläche ABC. Die Grundfläche liegt in der x-y-Ebene. Die Pyramide wird außerdem durch die Ebenen [mm] E_1, E_2 [/mm] und [mm] E_3 [/mm] begrenzt.
[mm] E_1 [/mm] : 7x-7y-5z = 7 [mm] E_2: [/mm] 7x +7y +6z = 35.
Die Ebene [mm] E_3 [/mm] enthält die Punkte B und C und steht senkrecht zur x-y-Ebene.
B (-3 / -4 / 0).
a) Weisen Sie nach, dass der Eckpunkt A die Koordinaten (3 / 2 / 0) besitzt.
b) Berechnen Sie aller Punkt [mm] C_i [/mm] in der x-y-Ebene, für die die Dreiecke [mm] ABC_i [/mm] rechtwinklig sind (AB [mm] \perp AC_i) [/mm] und einen Flächeninhalt von 30 FE haben.
c) Der Punkt C (8 / -3 ( 0) ist ein Punkt der Ebene [mm] E_3. [/mm] Ermitteln Sie eine parameterfreie Gleichung der Ebene [mm] E_3. [/mm]
d) Geben Sie die Koordinaten des Punktes P an. Berechnen Sie anschließend das Volumen der Pyramide ABCP.
e) Eine Ebene [mm] E_4 [/mm] geht durch den Punkt P und liegt parallel zu der Geraden durch B und C. Sie teilt die Pyramide ABCP in zwei Teilkörper [mm] K_1 [/mm] und [mm] K_2, [/mm] wobei A ein Eckpunkt des Teilkörpers [mm] K_1 [/mm] ist. Das Verhältnis der Volumina von [mm] K_1 [/mm] und [mm] K_2 [/mm] ist 1:3. Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene [mm] E_4. [/mm] |
Moin Moin,
mich interessieren zunächst Lösungsansätze und ob es ggf. andere (einfache) Lösungswege gibt...
zu a)
Wenn die Ebenen [mm] E_1, E_2, E_3 [/mm] die Pyramide begrenzen, enthalten diese Ebenen jeweils eine Seitenfläche der Pyramide.
Da [mm] E_2 [/mm] die Punkte B und A enthält, enthält [mm] E_2 [/mm] die vordere Seitenfläche der Pyramide.
Da [mm] E_1 [/mm] den Punkt A enthält, enthält [mm] E_1 [/mm] die linke Seitenfläche der Pyramide.
A muss daher auf der Schnittgeraden der beiden Ebenen [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2 [/mm] liegen.
[mm] E_1 [/mm] - [mm] E_2 [/mm] - - > -14y -11 z = -28
Da A in der x-y-Ebene liegt muss z =0 sein => y = 2.
Dies in [mm] E_2 [/mm] oder [mm] E_1 [/mm] eingesetzt ergibt für A die x-Koordinate
bspw. 7x -7*2 -5*0 = 7 => x = 3
Gibt es weitere oder auch einfachere Ideen?
zu b)
Da der rechte Winkel bei A liegen soll, müssen die Vektoren [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC_i} [/mm] orthogonal verlaufen, d.h.
ihr Skalarprodukt muss null ergeben.
[mm] \overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AC_i} [/mm] = 0
[mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] \vektor{-3 \\ -4 \\0} [/mm] - [mm] \vektor{3 \\ 2 \\0}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] \vektor{-6 \\ -6 \\0} [/mm]
[mm] \overrightarrow{AC_i} [/mm] = [mm] \vektor{c_1 \\ c_2 \\0} [/mm] - [mm] \vektor{3 \\ 2 \\0}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] \vektor{c_1 -3 \\ c_2 -2 \\0} [/mm]
[mm] \vektor{-6 \\ -6 \\0} \circ \vektor{c_1 -3 \\ c_2 -2 \\0} [/mm]
= 0
[mm] -6c_1 [/mm] + 18 [mm] -6c_2 [/mm] +12 = 0
[mm] -6c_1 [/mm] + 30 = [mm] 6c_2
[/mm]
[mm] c_2 [/mm] = [mm] -c_1 [/mm] +5
[mm] C_i (c_1 [/mm] / [mm] -c_1 [/mm] +5 / 0)
Probe
[mm] \vektor{-6 \\ -6 \\0} \circ \vektor{c_1 -3 \\ -c_1 +5 -2 \\0} [/mm]
= 0
Weiter. Ferner soll der Flächeninhalt eines solchen Dreiecks 30 FE betragen.
1. Weg
[mm] A_{Dreieck} [/mm] = [mm] \bruch{g*h}{2} [/mm]
[mm] A_{Dreieck} [/mm] = [mm] \bruch{AB*AC_i}{2} [/mm]
| AB | = [mm] \wurzel{(-6)^2 + (-6)^2 +0} [/mm] = [mm] 6*\wurzel{2} [/mm]
| [mm] AC_i [/mm] | = [mm] \wurzel{(c_1 -3)^2 + (-c1 +3)^2 +0} [/mm]
30 = [mm] \bruch{ 6*\wurzel{2}* \wurzel{(c_1 -3)^2 + (-c1 +3)^2 +0}}{2} [/mm]
30 = [mm] 3*\wurzel{2}* \wurzel{(c_1 -3)^2 + (-c1 +3)^2 +0}
[/mm]
10 = [mm] \wurzel{2}* \wurzel{(c_1 -3)^2 + (-c1 +3)^2 +0} [/mm]
100 = [mm] 2*((c_1 -3)^2 [/mm] + (-c1 [mm] +3)^2) [/mm]
[mm] c_{1,1} [/mm] = 8
[mm] c_{1,2} [/mm] = -2
2. Weg
A = 1/2* | [mm] \overrightarrow{AB}x\overrightarrow{AC_i}
[/mm]
30 = 1/2* | [mm] \vektor{-6 \\ -6 \\0} [/mm] x [mm] \vektor{c_1 -3 \\ -c_1 +3\\0}| [/mm]
30 = 1/2* | [mm] \vektor{0 \\ 0 \\6c_1-18 - (-6c_1+18)} [/mm] |
30 = 1/2* | [mm] \vektor{0 \\ 0 \\12c_1-36} [/mm] |
60 = [mm] \wurzel{(12c_1-36)^2}
[/mm]
3600 = [mm] (12c_1-36)^2 [/mm]
[mm] 12c_1 [/mm] -36 = [mm] \pm [/mm] 60
[mm] c_{1,1} [/mm] = 8
[mm] c_{1,2} [/mm] = -2
zu c)
Die Ebene [mm] E_3 [/mm] enthält die rechte Seitenfläche der Pyramide.
Sie enthält die Punkte B und C und steht senkrecht zur x-y-Ebene.
1. Weg
D.h. ein Normalenvektor von [mm] E_3 [/mm] muss senkrecht zum Normalenvektor der x-y-Ebene verlaufen.
[mm] \vec{n_3} \circ \vec{n_{xy}} [/mm] = 0
[mm] \vec{n_3} \circ \vektor{0 \\ 0 \\ 1 } [/mm] = 0
=> [mm] \vec{n_3} [/mm] = [mm] \vektor{a \\ b \\ 0 }
[/mm]
Normalenform von [mm] E_3 [/mm]
[mm] [\vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{-3 \\ -4 \\ 0 }] \circ \vektor{a \\ b \\ 0 } [/mm] = 0
I. ax +by = -3a -4b
Da [mm] E_3 [/mm] den Punkt enthält
a*8 +b*(-3) = -3a - 4b bzw. b = -11a
b eingesetzt in I. ergibt
II. ax -11ay = -3a +44a
Da a [mm] \ne [/mm] 0 sein muss => [mm] E_3: [/mm] x - 11y = 41
Gibt es vielleicht noch einfachere Wege?
*** Ergänzung ***
2. Weg
Da [mm] E_3 [/mm] senkrecht zur x-y-Ebene verlaufen soll, verläuft [mm] E_3 [/mm] in BC-Richtung und in z-Richtung!
=> [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{-3 \\ -4 \\ 0} +r*\vektor{11 \\ 1 \\ 0} +s*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
[mm] \vektor{11 \\ 1 \\ 0}x\vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] = [mm] r*\vektor{1 \\ -11 \\ 0} [/mm]
[mm] [\vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{-3 \\ -4 \\ 0 }] \circ \vektor{1 \\ -11 \\ 0 } [/mm] = 0
x -11y = 41
***
zu d)
Bei der Berechnung von P ist mir ein Fehler unterlaufen!
Der Punkt P, die Spitze der Pyramide, ist der Punkt, an dem die drei Ebenen [mm] E_1, E_2, E_3 [/mm] sich schneiden.
Ich bilde zunächst die Schnittgeraden von [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_3 [/mm] sowei von [mm] E_2 [/mm] und [mm] E_3. [/mm] Dann ermittle ich den Schnittpunkt der beiden Schnittgeraden und erhalte P.
Auch hier: Gibt vielleicht noch andere Ideen?
[mm] E_1 -7*E_3
[/mm]
7x-7y-5z = 7
(-) x -11y = 41 | *7
[mm] g_1: [/mm] 70y -5z = -280 ok
[mm] E_2 -7*E_3
[/mm]
7x+7y+6z = 35
(-) x -11y = 41 | *7
[mm] g_2: [/mm] 70y +6z = -252
Ergänzung
[mm] g_2 [/mm] : 84y +6z = -252
[mm] g_1 [/mm] - [mm] g_2
[/mm]
-11z = -28 => z = [mm] \bruch{28}{11}
[/mm]
z in [mm] g_2 [/mm] eingesetzt => y = - [mm] \bruch{42}{11}
[/mm]
und y und z in [mm] E_1 [/mm] eingesetzt => x = -1
=> P (-1 / - [mm] \bruch{42}{11} [/mm] / [mm] \bruch{28}{11}) [/mm]
Ergänzung
[mm] 6*g_1 [/mm] + [mm] 5*g_2
[/mm]
840y = -2940 => y = -3,5
y in [mm] g_2 [/mm] eingesetzt => z = 7
und y und z in [mm] E_1 [/mm] eingesetzt => x = 2,5
=> P (2,5 / - 3,5 / 7 )
Dies hat natürlich auch Einfluß auf die Volumenberechnung und auf Aufgabenteil e); s.u.!!
Volumenberechnung
1. Weg
V = [mm] \bruch{1}{3}G*h [/mm]
Die Grundfläche G = [mm] \bruch{1}{2}* [/mm] | [mm] \overrightarrow{AB}x\overrightarrow{AC} [/mm] |
G = [mm] \bruch{1}{2}* [/mm] | [mm] \vektor{-6 \\ -6 \\ 0}x\vektor{5 \\ -5 \\0 }|
[/mm]
G = [mm] \bruch{1}{2}* [/mm] | [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 60}|
[/mm]
G = 30 FE
Mir fällt gerade auf, dass der C ja zu einem rechtwinkligen Dreieck führt !
Da die Höhe hier der Abstand der Spitze zur x-y-Ebene ist, und die Grundfläche in der x-y-Ebene liegt, kann h direkt abgelesen werden.
Ergänzung
V = [mm] \bruch{1}{3}*30*\bruch{28}{11} \approx [/mm] 25,45 VE
V = [mm] \bruch{1}{3}*30*7 [/mm] = 70 VE
2. Weg
Das Volumen einer dreiseitigen Pyramide kann über 1/6 des Spatprodukts berechnet werden...
V = [mm] \bruch{1}{6}*(\overrightarrow{AB}x\overrightarrow{AC})\circ\overrightarrow{AP}
[/mm]
V = [mm] \bruch{1}{6}*\vektor{0 \\ 0 \\ 60} \circ \vektor{-1 -3 \\ -42/11 -2 \\ 28/11}
[/mm]
V = [mm] \bruch{1}{6}*60*28/11 \approx [/mm] 25,45
V = [mm] \bruch{1}{6}*\vektor{0 \\ 0 \\ 60} \circ \vektor{2,5 -3 \\ -3,5 -2 \\ 7}
[/mm]
V = [mm] \bruch{1}{6}*60*7 [/mm] = 70 VE
zu e)
Ich weiß einen Punkt P (-1 / -42/11 / 28/11) P (2,5 / -3,5 / 7) der Ebene und eine Richtung der Ebene [mm] \overrightarrow{BC}. [/mm]
Ich kenne das Gesamtvolumen, also auch 1/4 bzw. 3/4 des Volumens.
Lösungsidee. Ich zeichne das Dreieck ABC, welches einen rechten Winkel bei A hat!! Und dann eine Parallele zu BC, diese schneidet die Kanten AB in D bzw. AC in E.
Da die Ebene parallel zu [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ -5 \\ 0} [/mm] verläuft, schneidet sie die x-y-Ebene in den Punkten D und E (auf den Kanten AB und AC) im gleichen Verhältnis.
=>
[mm] \overrightarrow{OD} [/mm] = [mm] \overrightarrow{OA} +r*\overrightarrow{AB} [/mm]
[mm] \overrightarrow{OD} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 0} +r*\vektor{ -6\\ -6 \\ 0}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{OE} [/mm] = [mm] \overrightarrow{OA} +r*\overrightarrow{AC} [/mm]
[mm] \overrightarrow{OE} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 0} +s*\vektor{ 5\\ -5 \\ 0}
[/mm]
Ich möchte über das Spatprodukt (* 1/6) das Volumen von [mm] K_1 [/mm] berechnen. Dazu brauche ich die Punkte D und E.
[mm] V_{K1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}*(\overrightarrow{AD}x\overrightarrow{AE})\circ\overrightarrow{AP} [/mm]
[mm] V_{K1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}*\bruch{1}{4}*(\overrightarrow{AB}x\overrightarrow{AC})\circ\overrightarrow{AP} [/mm]
[mm] \bruch{1}{6}*(\overrightarrow{AD}x\overrightarrow{AE})\circ\overrightarrow{AP} [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}*\bruch{1}{4}*(\overrightarrow{AB}x\overrightarrow{AC})\circ\overrightarrow{AP} [/mm]
[mm] \overrightarrow{AD} [/mm] = [mm] r*\vektor{ -6\\ -6 \\ 0}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AE} [/mm] = [mm] s*\vektor{ 5\\ -5 \\ 0}
[/mm]
Da DE eine Parallele zu BC ist, gilt r = s !!
Eingesetzt in die Gleichung
[mm] \bruch{1}{6}*( r*\vektor{ -6\\ -6 \\ 0}*s*\vektor{ 5\\ -5 \\ 0})\circ\overrightarrow{AP} [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}*\bruch{1}{4}*(\vektor{ -6\\ -6 \\ 0}*\vektor{ 5\\ -5 \\ 0})\circ\overrightarrow{AP} [/mm]
=> r*s = [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
und, wie gesagt, da r = s gilt ist r = s = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
=> D ( 0 \ -1 \ 0) und E (5,5 \ -0,5 \ 0)
=> [mm] E_4 [/mm] : [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ -42/11 \\ 28/11 } +\mu*\vektor{1 \\ 31/11 \\ -28/11} +\lambda*\vektor{6,5 \\ 73/22 \\ -28/11} [/mm]
Ergänzung
=>
[mm] E_4 [/mm] : [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \overrightarrow{OP} +\mu*\overrightarrow{PD} +\lambda*\overrightarrow{PE} [/mm]
[mm] E_4 [/mm] : [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2,5 \\ -3,5 \\ 7 } +\mu*\vektor{-2,5 \\ 2,5 \\ -7} +\lambda*\vektor{3 \\ 3 \\ -7} [/mm]
Danke & Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:18 Fr 17.02.2023 | | Autor: | statler |
Hi!
Erstmal nur zu e):
Die trennende Ebene geht durch P und die Seitenmitten von AB und AC, weil dann die Grundfläche 1:3 geteilt wird. Geht es damit nicht einfacher?
Gruß
Dieter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:47 Fr 17.02.2023 | | Autor: | hase-hh |
Stimmt. Das ist viel einfacher!
:)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:54 Fr 17.02.2023 | | Autor: | meili |
Hallo hase-hh,
> Gegeben ist eine schiefe dreiseitige Pyramide mit den
> Punkten ABCP, und der Grundfläche ABC. Die Grundfläche
> liegt in der x-y-Ebene. Die Pyramide wird außerdem durch
> die Ebenen [mm]E_1, E_2[/mm] und [mm]E_3[/mm] begrenzt.
>
> [mm]E_1[/mm] : 7x-7y-5z = 7 [mm]E_2:[/mm] 7x +7y +6z = 35.
>
> Die Ebene [mm]E_3[/mm] enthält die Punkte B und C und steht
> senkrecht zur x-y-Ebene.
>
> B (-3 / -4 / 0).
>
>
> a) Weisen Sie nach, dass der Eckpunkt A die Koordinaten (3
> / 2 / 0) besitzt.
>
> b) Berechnen Sie aller Punkt [mm]C_i[/mm] in der x-y-Ebene, für die
> die Dreiecke [mm]ABC_i[/mm] rechtwinklig sind (AB [mm]\perp AC_i)[/mm] und
> einen Flächeninhalt von 30 FE haben.
>
> c) Der Punkt C (8 / -3 ( 0) ist ein Punkt der Ebene [mm]E_3.[/mm]
> Ermitteln Sie eine parameterfreie Gleichung der Ebene [mm]E_3.[/mm]
>
> d) Geben Sie die Koordinaten des Punktes P an. Berechnen
> Sie anschließend das Volumen der Pyramide ABCP.
>
> e) Eine Ebene [mm]E_4[/mm] geht durch den Punkt P und liegt parallel
> zu der Geraden durch B und C. Sie teilt die Pyramide ABCP
> in zwei Teilkörper [mm]K_1[/mm] und [mm]K_2,[/mm] wobei A ein Eckpunkt des
> Teilkörpers [mm]K_1[/mm] ist. Das Verhältnis der Volumina von [mm]K_1[/mm]
> und [mm]K_2[/mm] ist 1:3. Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene
> [mm]E_4.[/mm]
>
>
> Moin Moin,
>
> mich interessieren zunächst Lösungsansätze und ob es
> ggf. andere (einfache) Lösungswege gibt...
>
> zu a)
>
> Wenn die Ebenen [mm]E_1, E_2, E_3[/mm] die Pyramide begrenzen,
> enthalten diese Ebenen jeweils eine Seitenfläche der
> Pyramide.
>
> Da [mm]E_2[/mm] die Punkte B und A enthält, enthält [mm]E_2[/mm] die
> vordere Seitenfläche der Pyramide.
>
> Da [mm]E_1[/mm] den Punkt A enthält, enthält [mm]E_1[/mm] die linke
> Seitenfläche der Pyramide.
>
> A muss daher auf der Schnittgeraden der beiden Ebenen [mm]E_1[/mm]
> und [mm]E_2[/mm] liegen.
>
> [mm]E_1[/mm] - [mm]E_2[/mm] - - > -14y -11 z = -28
>
> Da A in der x-y-Ebene liegt muss z =0 sein => y = 2.
>
> Dies in [mm]E_2[/mm] oder [mm]E_1[/mm] eingesetzt ergibt für A die
> x-Koordinate
>
> bspw. 7x -7*2 -5*0 = 7 => x = 3
>
>
> Gibt es weitere oder auch einfachere Ideen?
>
>
Es genügt zu zeigen A ( 3 / 2 / 0 ) liegt in der x-y-Ebene, in [mm] $E_1$ [/mm] und in [mm] $E_2$.
[/mm]
A in [mm] $E_1$: [/mm] $7*3-7*2+5*0=7$ ok
A in [mm] $E_2$: [/mm] $7*3+7*2+6*0=35$ ok
A in x-y-Ebene, da z = 0
Gruß
meili
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:12 Sa 18.02.2023 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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