Eigenwerte von A berechnen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Mo 17.12.2012 | | Autor: | haner |
| Aufgabe | Berechne die Eigenwerte von A.
A= [mm] \pmat{ 3 & -1 & -1 & 1\\ -1 & 3 & 1 & -1\\ -1 & 1 & 3 & -1\\ 1 & -1 & -1 & 3} [/mm] |
Hallo,
zunächst habe ich einmal das charakteristische Polynom von A bestimmt:
[mm] PA(x)=x^4-12x^3+51x^2-92x+60
[/mm]
dessen Nullstellen sind ja die Eigenwerte von A.
Doch wie bestimme ich hier die Nullstellen?
Bei einer Polynomdivision kommmt bei mir nichts bei raus.
Gruß haner
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Hi!
> Berechne die Eigenwerte von A.
> A= [mm]\pmat{ 3 & -1 & -1 & 1\\
-1 & 3 & 1 & -1\\
-1 & 1 & 3 & -1\\
1 & -1 & -1 & 3}[/mm]
>
> Hallo,
>
> zunächst habe ich einmal das charakteristische Polynom von
> A bestimmt:
> [mm]PA(x)=x^4-12x^3+51x^2-92x+60[/mm]
Das Charakteristische Polynom ist falsch.
Gruß
Valerie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Mo 17.12.2012 | | Autor: | haner |
Da hatte ich wirklich einen Fehler gemacht.
Das ist nun hoffentlich die richtige Lösung:
[mm] PA(x)=x^4-12x^3+48x^2-80x+48
[/mm]
Wie berechnet man nun die Nullstellen?
Gruß haner
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Hallo, dein charakteristische Polynom ist jetzt ok, probiere jetzt die ganzzahligen Teiler von 48, also [mm] \pm1, \pm2, \pm3, \pm4, [/mm] ...... dann Polynomdivision, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Mo 17.12.2012 | | Autor: | haner |
OK,
ich habe jetzt mit (x-2) dividiert und erhalte nun
[mm] x^3+10x^2+68x+56
[/mm]
Da fehlt aber noch etwas, da die Polynomdivision nicht aufging. Sie hat unten einen Rest von 160 stehen, was muss ich damit machen?
Gruß haner
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Hallo, x=2 ist korrekt, also
[mm] (x^4-12x^3+48x^2-80x+48):(x-2)=x^3.... [/mm] bis hier ok, überprüfe dein Vorzeichen von [mm] 10x^2
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Mo 17.12.2012 | | Autor: | haner |
Habe jetzt
[mm] x^3-10x^2+28x-24
[/mm]
rausbekommen.
Wie macht man nun weiter?
Ich weiß nun schonmal, dass 2 ein Eigenwert ist, muss ich bei meinem Ergebnis nun eine weitere Polynomdivision durchführen?
Ich bekomme letzendlich heraus, dass 2 und 6 Eigenwerte von A sind.
Ist das so richtig?
Gruß haner
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Hallo, du hast den dreifachen Eigenwert 2 und den Eigenwert 6, es gilt
[mm] x^4-12x^3+48x^2-80x+48=(x-2)^3*(x-6)
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 Mo 17.12.2012 | | Autor: | haner |
Was bewirkt der dreifache Eigenwert 2?
Wie bestimmt man hier den Eigenvektor?
Ich hätte jetzt mal gesagt, die Eigenvektoren zu x=2 sind
x [mm] \in \IR^4 [/mm] x= [mm] \alpha [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1} \alpha \in \IR [/mm] /{0}
Ist das so?
Gruß haner
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:52 Di 18.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Was bewirkt der dreifache Eigenwert 2?
> Wie bestimmt man hier den Eigenvektor?
.... die Eigenvektoren ...
Löse das LGS (A-2E)x=0
> Ich hätte jetzt mal gesagt, die Eigenvektoren zu x=2 sind
> x [mm]\in \IR^4[/mm] x= [mm]\alpha[/mm] * [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1} \alpha \in \IR[/mm]
> /{0}
> Ist das so?
Das sind nicht alle !
FRED
>
> Gruß haner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Di 18.12.2012 | | Autor: | haner |
Meinst du damit, zum Eigenwert 2 gibt es noch mehr Eigenvektoren, oder es gibt noch Eigenvektoren zum Eigenwewert 6?
Ich hab das Gleichungssystem aufgelöst und komme eben auf die Eigenvektoren [mm] x=\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Welche anderen gibt es denn noch? bzw. wie komme ich auf diese?
Gruß haner
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Hallo haner,
> Meinst du damit, zum Eigenwert 2 gibt es noch mehr
> Eigenvektoren,
Ja, 3 Stück!
> oder es gibt noch Eigenvektoren zum
> Eigenwewert 6?
Das kann nicht sein! (Zumindest keine, die zu dem gefundenen linear unabh. sind)
Frage an dich: Wieso kann das nicht sein?
>
> Ich hab das Gleichungssystem aufgelöst und komme eben auf
> die Eigenvektoren [mm]x=\vektor{1 \\
1 \\
1 \\
1}[/mm]
> Welche
> anderen gibt es denn noch? bzw. wie komme ich auf diese?
Du solltest mal vorrechnen, wie du das LGS löst.
Du hast doch ein LGS mit 4 Gleichungen in 4 Unbekannten.
Wenn du die 1.Zeile auf die Zeilen 2 und 3 addierst und auch das [mm](-1)[/mm]-fache von Zeile 1 auf Zeile 4 addierst, bekommst du in den Zeilen 2,3,4 Nullzeilen.
Das LGS reduziert sich auf eine Gleichung in 4 unbekannten, da hast du 3 frei wählbare Parameter [mm]x_2=r, x_3=s, x_4=t[/mm] mit [mm]r,s,t\in\IR[/mm]
Bestimme [mm]x_1[/mm] in Abhängigkeit von [mm]r,s,t[/mm] und du bekommst 3 Eigenvektoren ...
Einfacher rechnet sich das aber in Matrixschreibweise:
Bestimme den Kern von [mm]A-2\mathbb E_4[/mm]
Gruß
schachuzipus
>
> Gruß haner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Di 18.12.2012 | | Autor: | haner |
Ja, das Gleichungssystem habe ich auch so gelöst, ich habe dann dortstehen:
[mm] x=\vektor{r+s-t \\ r \\ s \\ t}
[/mm]
Wie komme ich hiermit aber auf 3 Eigenvektoren?
Warum gibts zjm Eigenwert 6 keine Eigenvektoren?
Ich komm selbst nicht drauf.
Gruß haner
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Hallo nochmal,
> Ja, das Gleichungssystem habe ich auch so gelöst, ich habe
> dann dortstehen:
> [mm]x=\vektor{r+s-t \\
r \\
s \\
t}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wie komme ich hiermit
> aber auf 3 Eigenvektoren?
[mm]x=r\cdot{}\vektor{1\\
1\\
0\\
0}+s\cdot{}\vektor{1\\
0\\
1\\
0}+t\cdot{}\vektor{-1\\
0\\
0\\
1}[/mm]
Überzeuge dich davon, dass die 3 Vektoren [mm]\vektor{1\\
1\\
0\\
0}, \vektor{1\\
0\\
1\\
0}[/mm] und [mm]\vektor{-1\\
0\\
0\\
1}[/mm] linear unabhängig sind.
Sie spannen dir den zum Eigenwert [mm]\lambda=2[/mm] gehörenden Eigenraum auf; dieser ist also dreidimensional!
>
> Warum gibts zjm Eigenwert 6 keine Eigenvektoren?
Gibt es, aber der zugeh. Eigenraum wird nur von einem Eigenvektor aufgespannt (ist eindimensional)
Wieso muss das so sein? Ich wiederhole meine Frage ...
> Ich komm selbst nicht drauf.
>
> Gruß haner
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Di 18.12.2012 | | Autor: | haner |
Liegt es vlt. daran, dass ein einzeilner Vektor keinen Raum aufspannen kann?
Gruß haner
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Hallo nochmal,
> Liegt es vlt. daran, dass ein einzeilner Vektor keinen Raum
> aufspannen kann?
Wieso sollte das so sein?
Ein einzelner Vektor kann doch locker einen eindimensionalen Raum aufspannen ...
Das ist im Falle des Eigenwertes [mm] $\lambda=6$ [/mm] so. Der zugeh. Eigenraum ist eindimensional.
Nochmal meine Frage: Wieso muss das so sein?
Diese Frage habe ich schon dreimal gestellt, aber du gehst nicht darauf ein.
Es wäre sicher sehr hilfreich für dein Verständnis, wenn du diese Zusammenhänge mal überedenkst.
Noch einen Hinweis dazu: Wie hängen algebraische Vielfachheit und geometrische Vielfachheit zusammen?
>
> Gruß haner
Dito
schachuzipus
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