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Elementare Rechentechniken: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:48 Mo 09.11.2009
Autor: Ziny

Aufgabe
Berechnen Sie x, kann mir jemand helfen. wie fange ich an? wie fange ich hier an?  ich muss bestimmt die Logarithmen anwenden aber habe keinen Schimmer wie? Helft mir bitte auf die Sprünge



[mm] 2^{2x}-2^{x+1}=2^{3+x}-9 [/mm]

        
Bezug
Elementare Rechentechniken: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:52 Mo 09.11.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Ziny,

> Berechnen Sie x, kann mir jemand helfen. wie fange ich an?
> wie fange ich hier an?  ich muss bestimmt die Logarithmen
> anwenden aber habe keinen Schimmer wie? Helft mir bitte auf
> die Sprünge
>  
>
> [mm]2^{2x}-2^{x+1}=2^{3+x}-9[/mm]  

Benutze erstmal das ein oder andere Potenzgesetz und schreibe um:

[mm] $2^{2x}=\left(2^x\right)^2$ [/mm]

[mm] $2^{x+1}=2\cdot{}2^x$ [/mm]

[mm] $2^{3+x}=2^3\cdot{}2^x=8\cdot{}2^x$ [/mm]

Dann bringe alles auf die linke Seite, substituiere [mm] $u:=2^x$ [/mm] und du hast eine quadratische Gleichung in $u$, die du mit den stadtbekannten Mitteln lösen kannst.

Am Ende die Lösungen in $u$ wieder in welche in $x$ umrechnen.

Probe nicht vergessen...

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
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Elementare Rechentechniken: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:07 Mo 09.11.2009
Autor: Ziny

oke das was am ende kommt ist die pq-formel die ich verstehe aber ich bin jetzt bis....


[mm] (2^{x})^{2}=20^{x}-9 [/mm] kann ich daraus

[mm] 2x^{2}-20x+9=0 [/mm] dann pq-formel???

oder habe ich was falsch gemacht?

Bezug
                        
Bezug
Elementare Rechentechniken: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:13 Mo 09.11.2009
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> oke das was am ende kommt ist die pq-formel die ich
> verstehe aber ich bin jetzt bis....
>  
>
> [mm](2^{x})^{2}=20^{x}-9[/mm] kann ich daraus

20 ist ein bisschen viel, ich komme auf 10, bzw linkerhand auf -10, denn -2-8=-10

>  
> [mm]2x^{2}-20x+9=0[/mm] dann pq-formel???

Nee, x solltest du nicht verwenden, lieber u oder z oder y ...

Nach dem Umschreiben ergibt sich [mm] $\left(\red{2^x}\right)^2-10\cdot{}\red{2^x}+9=0$ [/mm]

Nun substituieren wir [mm] $\blue{u}=\red{2^x}$ [/mm]

Das gibt: [mm] $\blue{u}^2-10\cdot{}\blue{u}+9=0$ [/mm]

Das nun mit der p/q-Formel erschlagen und dann die Lösungen in u, die du erhältst, wieder in $x$ umrechnen via: [mm] $2^x=u\Rightarrow x=\log_2(u)$ [/mm] ...

Nun aber ...

>  
> oder habe ich was falsch gemacht?

Ja!

LG

schachuzipus

Bezug
                
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Elementare Rechentechniken: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:27 Mo 09.11.2009
Autor: Ziny

Was  passiert denn mit der [mm] 2^{x} [/mm] auf der rechten Seite? Weil links gibt es die [mm] 2^{x} [/mm] auch.

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Bezug
Elementare Rechentechniken: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:46 Mo 09.11.2009
Autor: Steffi21

Hallo, so richtig schlüssig ist deine Fragestellung nicht

auf der rechten Seite der Gleichung steht der Term

[mm] 2^{3+x}=2^{3}*2^{x} [/mm]

hier kommt das Potenzgesetz zur Anwendung, werden zwei Potenzen mit gleichen Basen multipliziert, so werden die Exponenten addiert, ebenso bei

[mm] 2^{x+1}=2^{x}*2^{1} [/mm]

auf der linken Seite der Gleichung steht noch der Term

[mm] 2^{2x}=(2^{x})^{2} [/mm]

hier kommt das Potenzgesetz zur Anwendung, wird eine Potenz potenziert, so werden die Exponenten multipliziert,

in der Hoffnung, ich habe deine Frage getroffen

Steffi


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Bezug
Elementare Rechentechniken: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:06 Mo 09.11.2009
Autor: Ziny

ich bin durcheinander also,

[mm] 2^{2x}-2^{x+1}=2^{3+x}-9 [/mm]

dann folgt,

[mm] (2^{x})^{2}-2*2^{x}=8*2^{x}-9 [/mm]

dann folgt,

[mm] (2^{x})^{2}-10*2^{x}=2^{x}-9 [/mm]

so hier komme ich nicht weiter und das meine ich mit den [mm] 2^{x} [/mm] auf beiden Seiten.

Bezug
                                        
Bezug
Elementare Rechentechniken: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:12 Mo 09.11.2009
Autor: MathePower

Hallo Ziny,

> ich bin durcheinander also,
>  
> [mm]2^{2x}-2^{x+1}=2^{3+x}-9[/mm]
>  
> dann folgt,
>  
> [mm](2^{x})^{2}-2*2^{x}=8*2^{x}-9[/mm]
>  
> dann folgt,
>  
> [mm](2^{x})^{2}-10*2^{x}=2^{x}-9[/mm]


Das [mm]2^{x}[/mm] auf der rechten Seite ist zuviel.

Richtig muss es deshalb lauten:

[mm](2^{x})^{2}-10*2^{x}=-9[/mm]


>  
> so hier komme ich nicht weiter und das meine ich mit den
> [mm]2^{x}[/mm] auf beiden Seiten.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Elementare Rechentechniken: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:52 Mo 09.11.2009
Autor: Ziny

(rechte Seite) aber [mm] 2^{3+x}=2^{3}*2^{x}=8*2^{x} [/mm]
dann habe ich doch auf der rechten Seite noch ein [mm] 2^{x} [/mm]

warum fällt das weg?

wenn ich dann [mm] (2^{x})^{2}-10*2^{2}=-9 [/mm]

bekomme ich die pq- formel.  [mm] x^{2}+2x-1=0 [/mm]

ist dieser Schirtt richtig?

Bezug
                                                        
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Elementare Rechentechniken: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:23 Di 10.11.2009
Autor: glie


> (rechte Seite) aber [mm]2^{3+x}=2^{3}*2^{x}=8*2^{x}[/mm]
>  dann habe ich doch auf der rechten Seite noch ein [mm]2^{x}[/mm]
>  
> warum fällt das weg?

Na du hast doch:

[mm] $(2^x)^2-2*2^x=8*2^x-9$ [/mm]

Jetzt subtrahierst du auf beiden Seiten der Gleichung [mm] $8*2^x$. [/mm]
Dann erhältst du:

[mm] $(2^x)^2-2*2^x-8*2^x=8*2^x-9-8*2^x$ [/mm]

[mm] $(2^x)^2-10*2^x=-9$ [/mm]

[mm] $(2^x)^2-10*2^x+9=0$ [/mm]

Jetzt substituierst du [mm] $2^x=z$ [/mm]

Dann hast du eine quadratische Gleichung für die Variable $z$. Die kannst du jetzt mit der Lösungsformel lösen. Dann wieder resubstituieren, auflösen, fertig.

Gruß Glie

>  
> wenn ich dann [mm](2^{x})^{2}-10*2^{2}=-9[/mm]
>  
> bekomme ich die pq- formel.  [mm]x^{2}+2x-1=0[/mm]
>  
> ist dieser Schirtt richtig?


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