Exponentialgleichung lösen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Löse die folgenden Exponentialgleichungfür a und b positive reelle Zahlen:
a^(x+1)+a^(x+2)=b |
Ich habe diese Exponentialgleichung gelöst. Mein Ergebnis ist:
[mm] x=\bruch{1}{2}*\bruch{log b}{log a}-\bruch{3}{2}
[/mm]
Wenn ich jetzt für a und b bel. Zahlen einsetze, also z.B. a=4 und b=3, dann müsste doch eigentlich:
[mm] 4^{\bruch{1}{2}*\bruch{log 3}{log 4}-\bruch{3}{2}+1}+4^{\bruch{1}{2}*\bruch{log 3}{log 4}-\bruch{3}{2}+2}=3
[/mm]
sein. Oder hab ich da einen denk- oder Rechenfehler drin? Bei mir kommt da nämlich auf der linken Seite 4,33 raus.
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Hallo erdhoernchen,
> Löse die folgenden Exponentialgleichungfür a und b
> positive reelle Zahlen:
> a^(x+1)+a^(x+2)=b
> Ich habe diese Exponentialgleichung gelöst. Mein Ergebnis
> ist:
>
> [mm]x=\bruch{1}{2}*\bruch{log b}{log a}-\bruch{3}{2}[/mm]
Wie kommst du darauf? Und was ist "log"? Der 10er-Logarithmus?
Rechne das mal vor!
>
> Wenn ich jetzt für a und b bel. Zahlen einsetze, also z.B.
> a=4 und b=3, dann müsste doch eigentlich:
>
> [mm]4^{\bruch{1}{2}*\bruch{log 3}{log 4}-\bruch{3}{2}+1}+4^{\bruch{1}{2}*\bruch{log 3}{log 4}-\bruch{3}{2}+2}=3[/mm]
>
> sein. Oder hab ich da einen denk- oder Rechenfehler drin?
> Bei mir kommt da nämlich auf der linken Seite 4,33 raus.
Mir kommt dein Ergebnis für $x$ sehr spanisch vor, rechne das bitte mal vor!
Gruß
schachuzipus
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[mm] a^{x+1}+a^{x+2}=b [/mm] | log
(x+1) * log a + (x+2) * log a = log b | : log a
x+1+x+2 = [mm] \bruch{log b}{log a} [/mm] | -3
2x = [mm] \bruch{log b}{log a} [/mm] - 3 | :2
x= [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{log b}{log a}-\bruch{3}{2}
[/mm]
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Hallo erdhoernchen,
> [mm]a^{x+1}+a^{x+2}=b[/mm] | log
> (x+1) * log a + (x+2) * log a = log b | : log a
Der Logarithmus einer Summe ist nicht
die Summe der Logarithmen der einzelnen Summanden.
Bringe die Gleichung zunächst auf die Form
[mm]\alpha*a^{x}=b[/mm]
Dann kannst Du auf beiden Seiten den Logarithmus anwenden.
> x+1+x+2 = [mm]\bruch{log b}{log a}[/mm] | -3
> 2x = [mm]\bruch{log b}{log a}[/mm] - 3 | :2
> x= [mm]\bruch{1}{2}*\bruch{log b}{log a}-\bruch{3}{2}[/mm]
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
vielen Dank. Das hatte ich total vergessen. Hab jetzt zwar nicht wirklich verstanden, was Du mit [mm] \alpha [/mm] meinst, aber ich habe einen anderen Lösungsvorschlag:
[mm] a^{x+1}+a^{x+2}=b
[/mm]
[mm] a^x*a+a^x*a^2=b
[/mm]
[mm] a^x*(a+a^2)=b |:(a+a^2)
[/mm]
[mm] a^x= \bruch{b}{a*a^2} [/mm] | log
x * log a = log [mm] \bruch{b}{a+a^2}
[/mm]
x * loga = log b - log [mm] (a+a^2) [/mm] | : log a
[mm] x=\bruch{log b - log (a+a^2)}{log a}
[/mm]
Da ich nun 0,6 + 2,4 = 3 herausbekomme wenn ich für a=4 und b=3 einsetze, gehe ich mal davon aus, dass diese Lösung nun stimm, oder?
Viele Grüße,
erdhoernchen
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Hallo, im Prinzip ok,
[mm] a^x= \bruch{b}{a\cdot{}a^2}
[/mm]
- in den Nenner gehört "+"
- was ist "log", der 10-er Logarithmus, dann nur "lg"
- überlege dir noch die Einschränkungen für a und b
Steffi
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