Extremwert Dreieck Graph < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:33 Mo 16.03.2009 | | Autor: | froehli |
Heute in der LK klausur kam ein Teil dran der bei mir zulange zurück liegt und ich ihn mir nicht herreihmen konnte.
Gegeben ist die Funktion:
f(x) = [mm] \bruch{1}{12}x^{3} [/mm] - [mm] x^{2} [/mm] + 3x
Gezeichnet sieht sie folgender maßen aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Nun gibt es auf der Parabel einen Punkt P(u/f(u)) an dem man eine Tangente tp anlegt.
Diese bildet mit dem Uhrsprung O und dem schnittpunkt der y-Achse Q ein Dreieck.
Für u gilt: 2 < u < 6
Noch paar randinfos:
Nullstellen: 0, 6
Hochpunkt: (2/ [mm] \bruch{8}{3})
[/mm]
Tiefounkt: (0 / 0)
Wendepunkt: (4 / [mm] \bruch{4}{3})
[/mm]
Mir würde es am meisten Helfen, wenn es jemand vorrechnen könnte.
Falls das nicht als Antwort option zur verfügung steht wäre die vorgehensweise Interessant zu erfahren.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:41 Mo 16.03.2009 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, was soll denn mit dem Dreieck passieren? Ein Koordinatensystem hat doch keine Uhr! Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:44 Mo 16.03.2009 | | Autor: | froehli |
sorry das habe ich total vergessen zu erwähnen.
Es soll natürlich Maximal in abhängigkeit von u werden.
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Hallo froehli!
"vorrechnen" ist nicht im Sinne dieses Forums.
Ich denke mal, dass in der Beschreibung des Dreieckes noch als 3. Punkt "Schnittstelle mit der x-Achse" fehlt.
Berechne nun zunächst die allgemeine Tagentengleichung; z.B. gemäß der Formel:
[mm] $$t_u(x) [/mm] \ = \ f'(u)*(x-u)+f(u)$$
von dieser Tangente / Gerade musst Du nun die Schnittstellen mit der x-Achse bzw. y-Achse ermitteln. Damit ergeben sich zwei Werte: [mm] $x_s$ [/mm] bzw. [mm] $y_s$ [/mm] .
Der Flächeninhalt eines rechtwinkliges Dreieckes lautet dann:
[mm] $$A_{\Delta} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*a*b [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*x_s*y_s$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:53 Mo 16.03.2009 | | Autor: | froehli |
Hmm der schnittpunkt mit der x-Achse ist der Uhrsprung
Also das Dreieck hat einmal die Y-Achse als seite, dann vom Ursprung O bis zum Punkt auf der Parablen mit (u/f(u)) und dort liegt eine Tangente an die sich wieder mit der Y-Achse schneidet.
Also ist die Grundseite an der Y-Achse und läuft dann spitz zur Parabel.
So und ich kann mich nichtmehr zurückerinnern wie die Maximalwertaufgaben Funktioniert haben. Kam das letzte mal in der 11. Klasse dran und heute aufeinmal als Unterpunkt in der Klausur.
Ich weiß nurnoch das ich eine Hauptbedingung, eine Nebenbindungung und eine Zielfunktion brauche.
Und davon dann irgendwann die erste ableitung bilden muss.
Aber wie genau fehlt mir halt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:58 Mo 16.03.2009 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo froehli!
> Hmm der schnittpunkt mit der x-Achse ist der Uhrsprung
Ursprung (ohne "h")!
Und das möchte ich anzweifeln: denn es gibt im genannten Inervall $2 \ < \ u \ < \ 6$ keine Tangente also Ursprungsgerade.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:01 Mo 16.03.2009 | | Autor: | froehli |
Das ist mir auch klar.
Diese Frage habe ich auch während der Klausur geäußert.
Jedoch sei mit Ursprung wohl in dem fall der Ursprung des Koordinaten Kreuzes gemeint also der punkt (0/0) und nicht der Ursprung der Tangente.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:04 Mo 16.03.2009 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo froehli!
> Jedoch sei mit Ursprung wohl in dem fall der Ursprung des
> Koordinaten Kreuzes gemeint also der punkt (0/0)
Natürlich ist damit dieser Punkt gemeint!
> und nicht der Ursprung der Tangente.
Was bzw. wo soll das sein? ![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]")
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:03 Mo 16.03.2009 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo froehli!
> Ich weiß nurnoch das ich eine Hauptbedingung, eine
> Nebenbindungung und eine Zielfunktion brauche.
> Und davon dann irgendwann die erste ableitung bilden muss.
Das klingt prinzipiell ganz richtig.
Die Hauptbedingung ist die Flächenfunktion; die Nebenbedingung die beiden Schnittstellen mit den Koordinatenachste der Tangente.
Aber befolge doch erst einmal meine Tipps - wie oben beschrieben - und Du erhältst die Zielfunktion, welche dann abgeleitet werden muss.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Mo 16.03.2009 | | Autor: | froehli |
Ja das wäre doch dann
y = mx+b
m = dY / dX
m = [mm] \bruch{(1/12)u^{3}-u^{2}+3u}{u}
[/mm]
Und wenn ich das nun einsätze dann kürzt sich das bei mir alles weg.
Ich häte ja dann
[mm] (1/12)u^{3}-u^{2}+3u [/mm] = [mm] ((1/12)u^{2}-u [/mm] +3) * u
Ich weiß auch nicht warum du bei deiner formel (x-u) stehen hast.
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Hallo froehli!
> y = mx+b
> m = dY / dX
> m = [mm]\bruch{(1/12)u^{3}-u^{2}+3u}{u}[/mm]
$m \ = \ [mm] \bruch{\Delta y}{\Delta x}$ [/mm] gilt nur für Geraden bzw. die Sekantensteigung.
Für die Tangentensteigung musst Du hier schon die 1. Ableitung der gegebenen Funktion einsetzen:
$$m \ = \ f'(u) \ = \ ...$$
> Ich weiß auch nicht warum du bei deiner formel (x-u) stehen hast.
Dies ergibt sich bei meiner o.g. Formel durch Umstellen der Punkt-Steigungs-Form.
Gruß vom
Roadrunner
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f(u) = [mm] \bruch{1}{12}u^{3}-u^{2}+3u
[/mm]
f'(u) = [mm] \bruch{1}{4}u^{2}-2u+3
[/mm]
Tangentengleichnung am Punkt P
g(x) = m*x+b -> tp(u) = f'(x) * u + Xq
//Xqist die x koordinate vom punkt Q
f'(x) einsetzen
tp(u) = [mm] \bruch{1}{4}u^{2}-2u+3 [/mm] * u + Xq
tp(u) = [mm] \bruch{1}{4}u^{3}-2u^{3}+3u [/mm] + Xq
Umstellen nach Xq
Xq = tp(u) - [mm] (\bruch{1}{4}u^{3}-2u^{3}+3u)
[/mm]
tp(u) = f(u) //y Koordinate vom Punkt P
f(u) einstetzen
Xq = [mm] \bruch{1}{12}u^{3}-u^{2}+3u [/mm] - [mm] (\bruch{1}{4}u^{3}-2u^{3}+3u)
[/mm]
Xq = [mm] -\bruch{1}{6}u^{3}+u^{2}
[/mm]
Formel für das Dreieck
A = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * g * hg
A(u) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * Xq * u
Xq einsetzten
A(u) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] -\bruch{1}{6}u^{3}+u^{2} [/mm] * u
A(u) = [mm] -\bruch{1}{12}u^{4}+\bruch{1}{2}u^{3}
[/mm]
Maximum: A'(u) = 0 und A''(u) < 0
A'(u) = [mm] -\bruch{1}{3}u^{3}+\bruch{3}{2}u^{2}
[/mm]
A''(u) = [mm] -u^{2}+3u
[/mm]
A'(u) = 0
0 = [mm] -\bruch{1}{3}u^{3}+\bruch{3}{2}u^{2} |u^{2} [/mm] ausklammern
0 = [mm] u^{2}*(-\bruch{1}{3}u+\bruch{3}{2})
[/mm]
=> [mm] u^{2} [/mm] = 0 ist nicht im Intervall fällt weg
0 = [mm] -\bruch{1}{3}u+\bruch{3}{2} |-\bruch{3}{2}
[/mm]
[mm] -\bruch{3}{2} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{3}u [/mm] | *(-3)
u = [mm] \bruch{9}{2}
[/mm]
Test auf Maximum
[mm] A''(\bruch{9}{2}) [/mm] = [mm] -\bruch{9}{2}^{2}+3*\bruch{9}{2}
[/mm]
[mm] A''(\bruch{9}{2}) [/mm] = [mm] -\bruch{27}{4} [/mm] => bestätigtes maximum
Die Lösung u = [mm] \bruch{9}{2} [/mm] wurde vom Meister persönlich bestätigt
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