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Hallo,
ich beisse mir seit Tagen bei einer Extremwertaufgabe die Zähne aus:
Aufgabe: In einen Rotationskegel vom Radius R und der Höhe H soll ein Zylinder von größtmöglichem Volumen einbeschrieben werden.
Berechnen sie auch das Volumen des entstehenden Zylinders und geben sie an, welchen Bruchteil des Kegelvolumens es ausmacht.
Zum Aufstellen der Nebenbedingung benutzen sie bitte einen der Strahlensätze.
Ich schreib euch mal meine bisherigen Lösungsansatz auf. Ich glaube aber das mir irgendwo ein bzw. mehrere Fehler unterlaufen sind.
H: Höhe Kegel
R: Radius Kegel
h: Höhe Zylinder
r: Radius Zylinder
Zuerst habe ich die Nebenbedingung mit Hilfe des Strahlensatzes erstellt:
r= H-h:H*R
Die habe ich in die Hauptbedingung V= pi*r²*h eingesetzt.
V= pi*(H-h:H*R)²*h
= pi*(1-h:H*R)²*h
Dann müsste man jetzt die Ableitung erstellen. Aber bin mir wie gesagt sehr unsicher ob die Aufgabe bis hierher stimmt. Meine Ableitungsversuche ergaben auch nichts sinnvolles. Ich versteh aber nicht so ganz wo mein Fehler liegt.
Wäre echt dankbar für Hilfe.
Gruss Arne
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:16 Mi 05.09.2007 | | Autor: | anitram |
hallo!
deine ansätze stimmen!
allerdings hast du dann einen rechenfehler:
V= pi*(H-h:H*R)²*h
= pi*(1-h:H*R)²*h
so geht das ja nicht!
es steht ja in der klammer: [mm] \bruch{H-h}{H}*R
[/mm]
und dann "kürzt" du einfach das H aus dem zähler heraus!
das darfst du natürlcih nicht machen!
rechne also einfach die erste zeile V= pi*(H-h:H*R)²*h aus
und bilde dann die ableitung!
dann müsste es wohl gehen!
vielleicht gehts für dich auch leichter wenn du aus der nebenbedingung das h freistellst, statt dem r.
zumindest bleibt dir dann das quadrieren erspart!
lg anitram
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Danke schon mal für die Antwort. Könntest du mir vieleicht noch nen Tip geben wie ich die Gleichung ausrechne?
Mein Versuch sieht so aus:
pi* (H-h:H*R)²*h
=pi* (H-h:H²*R²) *h
Bevor ich mit der Ableitung beginne muss ich ja noch weiter umformen. Tu mich bei so was immer schwer.
mein "geratener" Versuch sieht so aus:
für h=x
pi*(x*(H-x:H)²*(x*R²) (selbst so kann ich ja noch
nicht ableiten.)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:19 Mi 05.09.2007 | | Autor: | anitram |
hallo!
> Mein Versuch sieht so aus:
>
> pi* (H-h:H*R)²*h
> =pi* (H-h:H²*R²) *h
leider ist das nicht richtig.
du hast hier:
[mm] (\bruch{(H-h)}{H}*R)^2
[/mm]
und du musst ALLES was in der klammer steht hoch 2 nehmen!
also [mm] (\bruch{(H-h)^2}{H^2}*R^2)
[/mm]
was dann ergibt (mit der binomischen formel)
[mm] \bruch{H^2-2Hh+h^2}{H^2}*R^2
[/mm]
und das wiederum ergibt (zähler [mm] *R^2)
[/mm]
[mm] \bruch{R^2H^2-2HR^2h + R^2*h^2}{H^2}
[/mm]
wir haben jetzt also gesamt:
[mm] \pi [/mm] * [mm] \bruch{R^2H^2-2HR^2h + R^2*h^2}{H^2} [/mm] * h
und rechnen jetzt noch den zähler * h
[mm] \pi [/mm] * [mm] \bruch{R^2H^2*h-2HR^2h^2 + R^2*h^3}{H^2}
[/mm]
sodala, jetzt kanns ans ableiten gehn!
entweder leitest du das ganze nach h ab, oder setzt statt dem h ein x ein (ich glaube das wolltest du doch bei deinem geratenen versuch?)
ableiten kannst du sozusagen "einzeln"
du denkst dir
[mm] \bruch{R^2H^2h}{H^2}
[/mm]
das ist abgeleitet nach h:
[mm] \bruch{R^2H^2}{H^2}
[/mm]
usw. auch mit den anderen beiden!
ich hoffe es hat sich kein tippfehler eingeschlichen und du verstehst es jetzt halbwegs!
lg anitram
>
> Bevor ich mit der Ableitung beginne muss ich ja noch weiter
> umformen. Tu mich bei so was immer schwer.
>
> mein "geratener" Versuch sieht so aus:
>
> für h=x
> pi*(x*(H-x:H)²*(x*R²) (selbst so kann ich ja noch
> nicht ableiten.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:35 Mi 05.09.2007 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo anitram Dir ist ein kleiner Fehler unterlaufen [mm] \pi [/mm] fehlt:
[mm] V(h)=\bruch{\pi H^{2} R^{2} h - 2 \pi H R^{2} h^{2} + \pi R^{2} h^{3} }{H^{2}}
[/mm]
vor der Ableitung kannst Du noch kürzen
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:37 Mi 05.09.2007 | | Autor: | starbak05 |
Danke habt mir echt geholfen. Ohne euch wäre ich wohl an der Aufgabe hoffnungslos gescheitert. (muss wohl noch ein bischen üben ;)))
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