Extremwertaufgabe < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:49 Do 24.04.2008 | | Autor: | medion |
| Aufgabe | Für welche Werte von a besitzen die folgenden Funktionen lokale Extrema im Inneren ihres Definitionsbereichs?
f(x,y) = x² + 2axy + 4y² |
Hallo!
Habe leider überhaupt keinen Plan, wie & womit ich hier beginnen soll...
Hat von Euch bitte irgendjemand eine Idee?
mfg
|
|
| |
|
Hallo, dann beginne doch mal mit den partiellen Ableitungen, Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 Do 24.04.2008 | | Autor: | medion |
Zunächst mal, danke für Deine Hilfsbereitschaft!
ok:
part. Abl. nach x: 2x + 2ay
part. Abl. nach y: 8y + 2ax
und jetzt?
mfg
|
|
|
| |
|
Hallo medion,
> Zunächst mal, danke für Deine Hilfsbereitschaft!
>
> ok:
> part. Abl. nach x: 2x + 2ay
> part. Abl. nach y: 8y + 2ax
>
> und jetzt?
Ermittle dann die Lösungen von
[mm]2x+2ay=0[/mm]
[mm]8y+2ax=0[/mm]
>
> mfg
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Do 24.04.2008 | | Autor: | medion |
Komme auf keine vernünftige Lösung:
Wenn ich versuche nach x aufzulösen, kommt das raus:
2x + 2ay = 0
x = -ay
8y + 2(-ay)a = 0
8y - 2y(a²) = 0
y (8 - 2a²) = 0
y = 0 -> x = 0
nach y aufgelöst:
2x + 2ay = 0
2ay = -2x
y = -2x/2a
8 (-2x/2a) + 2ax = 0
(-x/a) + 2ax = 0
x [(-1/a) + 2a] = 0
x = 0 -> y = 0
Glaube nicht, dass das stimmt, oder?
mfg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:39 Do 24.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo medion!
Bei der Lösung nach $y_$ teilst Du irgendwann duch die Klammer [mm] $\left(8-2a^2\right)$ [/mm] .
Wann könnte denn das ein Problem werden?
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Do 24.04.2008 | | Autor: | medion |
Aha, dh die 1. Auflösung hat doch gestimmt?
Das wird genau dann ein Problem, wenn der Inhalt der Klammer (8 - 2a²) gleich 0 ist -> Division durch 0
und das wäre bei a = +-2 der Fall
Was muss ich im Hinblick auf die Lösung des Bsp's jetzt machen?
mfg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:21 Do 24.04.2008 | | Autor: | medion |
Kennt wirklich niemand die Lösung bzw den Lösungsweg für dieses Beispiel?
mfg
|
|
|
| |
|
Hallo medion,
> Aha, dh die 1. Auflösung hat doch gestimmt?
>
> Das wird genau dann ein Problem, wenn der Inhalt der
> Klammer (8 - 2a²) gleich 0 ist -> Division durch 0
> und das wäre bei a = +-2 der Fall
>
> Was muss ich im Hinblick auf die Lösung des Bsp's jetzt
> machen?
>
Der nächste Schritt ist jetzt die ![[]](/images/popup.gif) Hesse-Matrix für die betreffenden Punkte zu erstellen.
Die Hesse-Matrix besteht aus den zweiten partiellen Ableitungen an den betreffenden Punkten.
Ist hier [mm]f_{xx}*f_{yy}-\left(f_{xy}\right)^{2} > 0[/mm] so liegt mit Sicherheit ein Extremum vor.
Welcher Art dies ist, entscheiden, die Vorzeichen von [mm]f_{xx}[/mm] bzw. [mm]f_{yy}[/mm]:
Ist [mm]f_{xx} > 0, \ f_{yy} >0[/mm] so handelt es sich um ein Minimum.
Gil dagegen [mm]f_{xx} < 0, \ f_{yy} <0[/mm] so handelt es sich um ein Maximum.
Ist [mm]f_{xx}*f_{yy}-\left(f_{xy}\right)^{2} < 0[/mm] so handelt es sich um einen Sattelpunkt.
Für [mm]f_{xx}*f_{yy}-\left(f_{xy}\right)^{2} = 0[/mm] kann nicht entschieden werden, ob ein Maximum, Minimum oder keines von beiden vorhanden ist.
Betrachte in diesem Fall die Funktion [mm]f\left(x,y\right)[/mm]
> mfg
Gruß
MathePower
|
|
|
|
