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| Aufgabe | Welcher Rhombus mit dem Umfang u hat den größten Flächeninhalt ? ( Tipp: Drücke den Flächeninhalt A des Rhombus durch x aus. )
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo wieder einmal ;)
also die Hauptbedinung denk ich mal ist
A = x* h
bei der Nebenbedingung hab ich 2 vorschläge. bin mir aber ziemlich sicher dass es nicht stimmen kann, ich versuchs trotzdem.
1.) NB = [mm] h^2= a^2 [/mm] + [mm] x^2
[/mm]
-> a= [mm] \bruch{u}{4}
[/mm]
[mm] h^2= \bruch{u}{16} [/mm] + [mm] x^2
[/mm]
oder
a:h = h: (a-x)
[mm] h^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] - a*x
naja hat wer einen tipp für mich. bin am verzweifeln weil das alles so kompliziert ist, wenn man das einsetzt. mit den binomischen formeln und brüchen.. usw. :(
KANN MiR MAL WER HELFEN ??!!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo,
> Welcher Rhombus mit dem Umfang u hat den größten
> Flächeninhalt ? ( Tipp: Drücke den Flächeninhalt A des
> Rhombus durch x aus. )
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hallo wieder einmal ;)
>
> also die Hauptbedinung denk ich mal ist
> A = x* h
Nein, leider nicht.
Die Hauptbedingung ist (wenn a die Seitenlänge des Rhombus wie nach obiger Zeichnung ist):
$A= a*h$
Schau dir das Bild nochmal genau an. Dann siehst du zumindest, dass das "x" in deiner Flächeninhaltsformel nicht richtig sein kann.
> bei der Nebenbedingung hab ich 2 vorschläge. bin mir aber
> ziemlich sicher dass es nicht stimmen kann, ich versuchs
> trotzdem.
>
> 1.) NB = [mm]h^2= a^2[/mm] + [mm]x^2[/mm]
> -> a= [mm]\bruch{u}{4}[/mm]
> [mm]h^2= \bruch{u}{16}[/mm] + [mm]x^2[/mm]
Du wendest den Satz des Pythagoras falsch an!
Er lautet doch:
(Eine Kathete ins Quadrat) + (Andere Kathete ins Quadrat) = (Hypothenuse ins Quadrat)
Deine beiden Katheten (also die Seiten, die am rechten Winkel liegen), sind "x" und "h" !
Die Hypothenuse ist "a". Also:
[mm] $x^{2} [/mm] + [mm] h^{2} [/mm] = [mm] a^{2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] h = [mm] \sqrt{a^{2} - x^{2}}$.
[/mm]
Das war aber nicht deine Nebenbedingung, sondern nur eine Hilfsrechnung.
Jetzt weißt du, dass du deinen Flächeninhalt auch ausdrücken kannst als:
$A(x) = a*h = [mm] a*\sqrt{a^{2} - x^{2}}$.
[/mm]
Die eigentliche Nebenbedingung lautet gemäß der Aufgabenstellung: Das Rhombus hat einen Umfang "u".
Das bedeutet (da alle Seiten des Rhombus gleichlang sind):
Eine Rhombusseite hat die Länge $a = [mm] \frac{u}{4}$.
[/mm]
Nun hast du deine fertige Hauptbedingung mit Parameter u:
[mm] $A_{u}(x) [/mm] = [mm] \frac{u}{4}*\sqrt{\left(\frac{u}{4}\right)^{2} - x^{2}}$.
[/mm]
Nun die üblichen weiteren Rechnungen, die ich getrost dir überlasse 
Grüße,
Stefan
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vielen dank.
bringt mich echt weiter & ich bin um einiges klüger geworden.
dumme fehler !
leida habe ich noch eine frage zur auflösung : :(
[mm] \bruch{u}{4} [/mm] * [mm] \wurzel{\bruch{u}{4}^2 - x^2 }
[/mm]
ich kenn mich da nicht aus. wia man so eine wurzel auflöst oder is es gar nicht möglich ?
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Hallo, die Wurzel aufzulösen ist nicht notwendig, gesucht ist ja die 1. Ableitung, bedenke, u ist eine Konstante, ich schreibe mal etwas anders, dann solltest du sofort erkennen, welche Regel zum Ableiten notwendig ist
[mm] A(x)=\bruch{u}{4}*(\bruch{u^{2}}{16}-x^{2})^{0.5}
[/mm]
Steffi
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ok sorry aber ich sitz auf der leitung.
diese schreibweise kenne ich nicht.
also mein ergebniss ist x= 2.
aber ich glaube dass kan nicht sein
ich habe so weiter gerechnet :
A(x) = [mm] \bruch{u^4}{256} [/mm] - [mm] \bruch{u*x^2}{16}
[/mm]
A'(x) = [mm] 4u^3 [/mm] - 2x
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Hallo, x=2 ist nicht korrekt, du kennst doch bestimmt die Kettenregel, äußere Ableitung mal innere Ableitung, zur Bildung der äußeren Ableitung erkennst du den Exponenten 0,5, zur Bildung der inneren Ableitung ist die Ableitung von [mm] \bruch{u^{2}}{16}-x^{2} [/mm] zu berechnen, Steffi
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also ich habe gerade in meinem mathe buch nach geschlagen & die regel lernen wir erst. sind nach ca. gute 15 seiten bis dort hin.
deshalb verstehe ich das ganze leider nicht.
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Hallo,
> also ich habe gerade in meinem mathe buch nach geschlagen &
> die regel lernen wir erst. sind nach ca. gute 15 seiten bis
> dort hin.
> deshalb verstehe ich das ganze leider nicht.
Dann gibt es zwei Möglichkeiten:
-Entweder du lässt deinen Taschenrechner arbeiten, gibst die Funktion ein und überlegst dir anhand des Graphens die Extremstellen. Nimm' dafür zum Beispiel u = 4 an.
-Ein bisschen logisches Denken: Der Wert von x darf erst bei 0 beginnen (schau dir die Zeichung an. Du willst Extremstellen der Funktion
$A(x) = [mm] \frac{u}{4}*\sqrt{\left(\frac{u}{4}\right)^{2}-x^{2}}$
[/mm]
u ist nur eine Konstante. Wenn also x größer wird, was passiert dann mit dem Funktionswert? Du siehst: An der einzigen Stelle in der Funktion, wo x steht, ist ein minus davor, d.h. je größer x wird, desto kleiner wird die Fläche!
Am größten ist die Fläche also, wenn x am kleinstmöglichsten ist - also x = 0!
... Das bedeutet, dein Rhombus bekommt den größtmöglichen Flächeninhalt, wenn es ein Quadrat ist (das ist keine Überraschung, das ist immer so, solltest du dir merken: Rechtecke, Rhomben, usw. bekommen bei vorgegebenem Umfang immer den größten Flächeninhalt, wenn sie Quadrate sind).
- 3. Möglichkeit: Da der Flächeninhalt sowieso immer positiv ist, kannst du, statt Extremstellen von A(x) zu bestimmen, auch Extremstellen von [mm] A^{2}(x) [/mm] bestimmen. Wenn A(x) irgendwo ein Maximum oder Minimum haben sollte, dann wird es durch das Quadrieren nicht "beschädigt" (mach' dir das klar).
[mm] A^{2}(x) [/mm] abzuleiten dürfte dir wesentlich einfacher fallen!
Grüße,
Stefan
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WOW
dank für die großartige erklärung ;)
also ich entscheide mich für die einfachste variante.
weil ich mia dass schon gedacht habe
ich schreibe jetzt
[mm] A^2'(x) [/mm] = u* [mm] \bruch{u}{8} [/mm] - 2x =0
und u ist ja konstant
dass heißt dann
-2x = 0
x= 0
passt das so ?
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Hallo!
> also ich entscheide mich für die einfachste variante.
> weil ich mia dass schon gedacht habe
> ich schreibe jetzt
> [mm]A^2'(x)[/mm] = u* [mm]\bruch{u}{8}[/mm] - 2x =0
> und u ist ja konstant
> dass heißt dann
> -2x = 0
> x= 0
> passt das so ?
Es sieht noch ein wenig "wirr" aus. Das Ergebnis ist richtig, aber so wie es dasteht, stimmt die Ableitung von [mm] A^2(x) [/mm] nicht. Es ist:
[mm] $A^2(x) =\left(\frac{u}{4}\right)^{2}*\left(\left(\frac{u}{4}\right)^{2} - x^{2}\right) [/mm] = [mm] \left(\frac{u}{4}\right)^{4} [/mm] - [mm] \left(\frac{u}{4}\right)^{2}*x^{2}$
[/mm]
Durch das Ableiten fällt der erste Summand komplett weg, da u konstant ist:
[mm] $A^2'(x) [/mm] = [mm] -2*\left(\frac{u}{4}\right)^{2}*x$
[/mm]
Der Rest stimmt dann, denn daraus folgt wegen [mm] u\not= [/mm] 0 trotzdem sofort x = 0.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:04 So 21.02.2010 | | Autor: | diamOnd24 |
DANKE :)
endlich hab ichs verstanden :D
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:14 So 21.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> [mm]A= a*h[/mm]
...
> [mm]x^{2} + h^{2} = a^{2}[/mm]
Die beiden Gleichungen reichen vollkommen. Aus der zweiten erhalten wir doch [m]h\le a[/m] ([m]a,h,x\ge 0[/m]), also [m]A=a*g\le a^2[/m], wobei Gleicheit genau dann gilt, wenn [m]h=a[/m] ist, also [m]x=0[/m], also das ganze ein Quadrat. Fertig. Hier schon. Keine Ableitungen, keine Nebenbedingunge mehr einsetzen.
(Wo ist denn die Nebenbedingung der konstanten Umfang hin? Nun - zwischen dme Umfang und der Seitenlänge im ROmbus gibt es ja den schon aufgezeigten Zusammenhang [m]u/4=a[/m]. Das heißt man kann einfach mit konstantem a weiterrechnen - das ist ist ja das gleiche!)
SEcki
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