Extremwertaufgabe Tunnel < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:21 Do 14.05.2009 | | Autor: | andi7987 |
| Aufgabe | | Der Querschnitt eines Tunnels besteht aus einem Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis. Wie müssen die Abmessungen gewählt werden, damit bei fest vorgegebenem Umfang U = const = c die Querschnittsfläche möglichst groß wird? |
Leider habe ich bei dieser Aufgabe nicht wirklich einen Ansatz bzw. wie man an so eine Aufgabe generell herangeht und wie man diese Aufgabe konkret lösen würde?
Ich habe diese Frage noch in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:37 Do 14.05.2009 | | Autor: | Jackie251 |
Extremwert aufgabe:
die variablen sind:
h (höhe des rechtecks)
und r (radius des Kreises)
(mit b vom rechteck = 2 *r)
gesuchter Extremwert ist A, die Fläche
A = A rechteck + A Halbkreis = 2*r*h + 0,5 *pi*r²
Nebenbedingung ist der umfang, dabei entfällt einmal die beite des rechtecks:
U = 2*h +2*r +pi*r
nächte schritte:
U nach r oder h umstellen, in A einsetzen
A ableiten, nullstelle berechnen
ergebniss
r(U) und h(U)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:05 Do 14.05.2009 | | Autor: | andi7987 |
Danke erstmals für deine Antwort!
So ich habe jetzt folgendes gemacht:
A(Gesamt) = A(Rechteck) + A(Halbkreis)
A = 2*r*h + pi*r²/2 = 2*r*h + 05*pi*r²
U(Gesamt) = U(Rechteck) + U(Halbkreis)
U = 2h + 2r + 2*pi*r/2 = 2*h + 2*r + pi*r
U=konstant=c
c=2*h + 2*r + pi*r
-2*h = 2*r + pi*r - c
h = 2*r + pi*r - c / 2
Das h setze ich dann in die Fläche ein:
A = 2*r * (-2*r + pi*r - c / 2) + 0,5*pi*r²
dann kürze ich die 2er
A = -2*r² - pi*r² - r*c + 0,5*pi*r²
Dann die erste Ableitung davon:
A´ = -4*r - 2*r*pi - c + pi*r
Dann die zweite Ableitung davon:
A´´ = -4 - 2*pi + pi = - 7,14
Ist negativ, daher ist es ein Maximum!
Ist diese Lösung richtig? bzw. habe ich es so richtig gemacht?
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also ich habe nicht alles durchgerechnet, der weg sieht aber ok aus.
wichtig:
die 1. Ableitung wird 0 gesetzt und damit die nullstellen berechnet (wo A eine extremstelle hat, hat A´ eine NST). um den nachweis zu erbringen ob es ein maximum, oder minimun ist
kann man die gefundenen NST in A´´ einsetzen.
durch deine 2. ableitung erhälts du einen term, der von x gar nicht mehr abhängis ist, egal was du für ein NST ausrechnest, A´´ ist immer -
7,14.
Die Aufgabe gelöst hast du jedoc hnocht nicht, du musst die NST von A´ berechnen, damit du h und r angeben kannst
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:30 Do 14.05.2009 | | Autor: | andi7987 |
Hmm, wie berechne ich jetzt die Nullstelle?
Wenn ich die A´´ = 0 setze, dann ist das ja
0 = -4 - 2*pi + pi
0 = -7,14
Und dann weiter, wie komme ich dann auf r und h??
Da steh ich jetzt an!
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> Hmm, wie berechne ich jetzt die Nullstelle?
>
> Wenn ich die A´´ = 0 setze, dann ist das ja
Hallo,
Du mußt nicht A'' =0 setzen, sondern A'=0.
(A## hat in der Tat keine Nullstelle, aber das macht nichts.)
Lies zunächst mein Post und korrigiere die Fehler, dann wird's klappen.
Gruß
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> So ich habe jetzt folgendes gemacht:
Hallo,
prinzipiell sieht das schonmal ganz gut aus, es ist jedoch einiges Vorzeichengewurschtel drin.
Und noch was: wenn Du Brüche mit "/" darstellst, mußt Du unbedingt drauf achten, daß Du wirklich tippst, was Du meinst:
Wenn dasteht a+b+c/2, dann bedeutet das [mm] a+b+\bruch{c}{2}.
[/mm]
Wenn Du aber [mm] \bruch{a+b+c}{2} [/mm] meinst, dann mußt Du (a+b+c)/2 schreiben.
Ich werde das jetzt nicht an jeder Stelle des Posts, wo so etwas vorkommt, extra anmerken.
> A(Gesamt) = A(Rechteck) + A(Halbkreis)
>
> A = 2*r*h + pi*r²/2 = 2*r*h + 0.5*pi*r²
Genau.
>
> U(Gesamt) = U(Rechteck) + U(Halbkreis)
>
> U = 2h + 2r + 2*pi*r/2 = 2*h + 2*r + pi*r
Ja.
>
>
> U=konstant=c
>
> c=2*h + 2*r + pi*r
>
> -2*h = 2*r + pi*r - c
> h = 2*r + pi*r - c / 2
Der Schritt ist nicht richtig.
Um h freizustellen, dividiert man die komplette rechte Seite durch [mm] \red{-}2.
[/mm]
Also
[mm] h=\bruch{2r+\pi r-c}{-2}=\bruch{-2r-\pi r+c}{2}
[/mm]
>
>
> Das h setze ich dann in die Fläche ein:
Prinzipiell völlig richti, das nächste Vorzeichengewirr folgt jedoch auf dem Fuß.
>
>
> A = 2*r * (-2*r + pi*r - c / 2) + 0,5*pi*r²
>
> dann kürze ich die 2er
>
> A = -2*r² - pi*r² - r*c + 0,5*pi*r²
Ohne Vorzeichenwirrnis hättest Du jetzt
A(r,h)= [mm] cr-2r^2 -\bruch{r^2}{2}\pi [/mm]
>
> Dann die erste Ableitung davon:
Ja.
Zum dem Folgenden hat mein Vorredner schon etwas gesagt:
Wenn Du die richtige erste Ableitung hast, mußt Du ihre Nullstelle berechnen, also A'(r)=0 nach r auflösen.
Die r, die Du hier erhältst, sind Deine Extremwertkandidaten.
Die werden dann in die zweite Ableitung eingesetzt, und wenn es kleiner als 0 ist, kannst dDu sicher sein, ein Maximum gefunden zu haben.
Den wichtigen Schritt, das entscheidende r auszurechnen, hast Du in Deiner Lösung vergessen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:02 Do 14.05.2009 | | Autor: | andi7987 |
Danke für deinen Tipp betreffend der Klammersetzung, das habe ich übersehen!
Danke auch für deine Mühe, dass du alles durchgegangen bist, damit ich auch weiß, ob ich auf dem richtigen Weg bin! :²-)
Wenn ich jetzt das folgende ableite:
A = c*r - 2*r² - 0,5*r²*pi
Das müsste dann sein:
A´= c + 4*r + r*pi
Oder??
Und das muss ich dann null setzen?
0 = c + 4*r + r*pi
0 = c + r*(4+pi)
-c = r * (4 + pi)
- c / (4+pi) = r
Ist das noch richtig, oder habe ich mich wo vertan?
Und jetzt weiter?
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Hallo,
du hast in deiner Ableitung zwei Vorzeichenfehler
A'(r) = c - 4*r - [mm] \pi*r
[/mm]
diese Vorzeichenfehler schleppen sich dann durch die weitere Aufgabe, prinzipiell aber richtig
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 Do 14.05.2009 | | Autor: | andi7987 |
| Aufgabe | A´(r)= c - 4 * r - [mm] \pi [/mm] * r
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Ok dann setze ich das Null!
0 = c - 4 * r - [mm] \pi [/mm] * r
-c = - 4 * r - [mm] \pi [/mm] * r
-c = r * (-4 [mm] -\pi) [/mm]
[mm] \bruch{-c}{(-4 -\pi)} [/mm] = r
Dann habe ich das ganze, aber was sagt mir dass dann über die Nullstelle aus? bzw. wie komme ich auf h und r als feste Grössen?
Bitte um Hilfe! 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:18 Do 14.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du bist eigentlich fertig. Zu jedem Umfan c kennst du jetzt r, und daraus h und daraus A.
Nur wenn ne konkrete Zahl fuer den Umfang gegeben ist, kriegst du auch ne konkrete Zahl r,h,A
klammer in deinem Ausdruck noch -1 aus und kuerze es.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:23 Do 14.05.2009 | | Autor: | andi7987 |
Danke, danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:48 Do 14.05.2009 | | Autor: | Jackie251 |
ich bin etwas verwirrt.
wenn man eine Extremwertaufgabe lösen soll/will
sollte die ermittlung von NST, sowie eine gewisse Urteilskraft "was sagt mir das ergebniss" zum handwerkszeug gehören.
ist nicht böse gemeint. Aber da besteht einiges an übungsbedarf um Prüfungen abzulegen.
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> Der Querschnitt eines Tunnels besteht aus einem Rechteck
> mit aufgesetztem Halbkreis. Wie müssen die Abmessungen
> gewählt werden, damit bei fest vorgegebenem Umfang U =
> const = c die Querschnittsfläche möglichst groß wird?
> Leider habe ich bei dieser Aufgabe nicht wirklich einen
> Ansatz bzw. wie man an so eine Aufgabe generell herangeht
> und wie man diese Aufgabe konkret lösen würde?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Um die Aufgabe zu lösen, würde ich mir als erstes mal eine Skizze des Tunnelquerschnittes anfertigen.
Was haben wir? Unten ein Rechteck, oben einen Halbkreis bündig draufgestellt.
Jetzt bemaßen wir das: der Halbkreis habe den Radius r, damit wissen wir auch die Länge der unteren Rechteckseite, sie beträgt ???
Die Länge der senkrechten Rechteckseite laß uns h nennen.
Optimiert werden soll die Querschnittfläche A des Tunnels, weshalb es sich anbietet, diese Querschnittfläche mal in Abhängigkeit von r und h aufzuschreiben.
Bedenke, daß der Querschnitt aus der Fläche des Rechtecks und des Halbkreises besteht.
Also: A(r,h)= ... + ....
Nun haben wir eine feste Vorgabe: der Umfang soll konstant sein. Der Umfang besteht aus dem Boden des Rechtecks, den beiden Rechteckseiten und dem halben Kreisbogen.
Schreibe den Umfang in Abhängigkeit von r und h: U= ...
Es ist nun gesagt, daß Du die Optimierung der Fläche unter der Nebenbedingung, daß der Umfang konstant ist (U=c) , vornehmen sollst.
Diese Nebenbedingung führt dazu, daß Du h und r nicht unabhängig voneinander wählen kannst.
Du kannst nun U=c nach h auflösen, und das h in A(r,h) durch dieses h ersetzten. Ziel der Maßnahme: wenn Du das tust, hast Du die Fläche A nur noch in Abhängigkeit von einer Variablen, nämlich von r. (Das c ist ja keine Variable. es ist zwar beliebig, aber fest, und Du behandelst es wie eine feste Zahl. Im Zweiflsfalle kannst Du die Aufgabe ja auch erstmal für c=345 durchrechnen.)
Wenn Du soweit gekommen bist, hast Du also A in Abhängigkeit von r dastehen, und jetzt läuft das übliche procedere der Extremwertbestimmung an: 1. Ableitung =0 usw.
Du solltest das optimale r erhalten, aus der Nebenbedingung bekommst Du das passende h.
Knapp zusammengefaßt:
Skizze,
Aufstellen der zu optimierenden Funktion (Zielfunktion)
Aufstellen der Nebenbedingung
Mithilfe der Nebenbedingung eine Variable aus der Zielfunktion herauswerfen
Bestimmung des Extremwertes
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:11 Do 14.05.2009 | | Autor: | andi7987 |
Danke für deine Antwort und Mühe!
Ich hätte dazu noch folgende Frage:
Woran erkenne ich die Nebenbedingung und Hauptbedingung am besten?
zB in diesem Beispiel: Erkenne ich es daran, dass nach der größt möglichen Querschnittsfläche gefragt wird (das heisst A = ist die Hauptbedingung) und der konstante Umfang ist die Nebenbedingung?
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> Danke für deine Antwort und Mühe!
>
> Ich hätte dazu noch folgende Frage:
>
> Woran erkenne ich die Nebenbedingung und Hauptbedingung am
> besten?
>
> zB in diesem Beispiel: Erkenne ich es daran, dass nach der
> größt möglichen Querschnittsfläche gefragt wird (das heisst
> A = ist die Hauptbedingung)
Hallo,
genau, das, was zu maximieren oder minimieren ist, ist die Hauptbedingung.
> und der konstante Umfang ist
> die Nebenbedingung?
Ja. Die Nebenbedingung ist die Bedingung, die es macht, daß man bei der Wahl der Variablen nicht völlig frei ist.
Gruß v. Angela
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