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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:08 Do 25.03.2010 | | Autor: | deaksen |
| Aufgabe | | Der Querschnitt eines Tunnels ist ein Halbkreis mit r = 6m. Die Fläche des eingezeichneten Rechteckes soll maximal werden. Wie groß ist dann a und b? |
Guten Tag,
ich habe für beide Aufgaben nicht wirklich einen Plan wie ich überhaupt rangehen soll?
Könntet ihr mir vllt. einen Rat bzw. Tipp geben wie man da ran geht?
mfg
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> Der Querschnitt eines Tunnels ist ein Halbkreis mit r = 6m.
> Die Fläche des eingezeichneten Rechteckes soll maximal
> werden. Wie groß ist dann a und b?
Hallo,
Deine andere Aufgabe stelle bitte in einer eigenen Diskussion - eventuell ist es sinnvoll damit zu warten, bis Du die vorliegende Aufgabe verstanden hast.
Nun weiß ich leider nicht genau, wie Deine Zeichnung aussieht.
Ein Rechteck in einem Halbkreis? So denk' ich mir's jedenfalls.
Was ist a?
Die Hälfte der Fahrbahnbreite, oder die ganze Breite?
Ich gehe von zweiterem aus, und b ist sicher die Durchfahrtshöhe am Rand.
Die Rechtecksfläche F erreichnet man F=a*b.
Nun kann man b aber nicht unabhängig von a wählen.
Aus dem Halbkreis mit Radius 6m und a ergibt sich mit dem Satz des Pythagoras b (in Abhängigkeit von a). Wie?
Tip: leg den Tunnelquerschnitt für diese Überlegung in ein Koordinatensystem, den Ursprung in die Fahrbahnmitte.
Wenn Du b hast, ersetze in F=a*b das b durch den neuen Ausdruck.
Vorteil: F hängt nur noch von a ab, und Du kannst eine Extremwertberechnung in gewohnter Manier durchführen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 Do 25.03.2010 | | Autor: | deaksen |
Ähm ich habe mal eine Skizze wie sie bei der Aufgabenstellung dabei ist mit Paint gemacht.
klar ist das A = a*b. Das ist gleichzeitig ja die Hauptbedingung.
Aber dann komme ich net mehr weiter :(
Verstehe an der Aufgabe und wie ich daran gehen soll nichts :(
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:57 Do 25.03.2010 | | Autor: | fred97 |
Das Rechteck hat also die Länge a und die Breite b.
Betrachte das Dreieck mit den Katheten a/2 bzw. b und der Hypothenuse mit der Länge 6. Mit Pythagoras folgt: [mm] (a/2)^2+b^2 [/mm] = 36. Löse nach b auf. Die Fläche des Rechtecks hängt dann nur noch von a ab
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Do 25.03.2010 | | Autor: | deaksen |
Um das jetzt weiter auszurechnen muss ich doch eine Ableitung von der Formel machen oder?
Könntet ihr mir dis erklären?!
mfg
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> Um das jetzt weiter auszurechnen muss ich doch eine
> Ableitung von der Formel machen oder?
Hallo,
ja, es kommt jetzt eine ganz normale Extremwertberechnung, also sind erstmal die Nullstellen der 1. Ableitung zu berechnen.
> Könntet ihr mir dis erklären?!
???
Was ist Dir nicht klar?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Do 25.03.2010 | | Autor: | deaksen |
Die Formel wäre ja :
A = a * [mm] \wurzel{r^{2} - \bruch{a^{2}}{2}}
[/mm]
Diese müsste ich mit der Produktregel ableiten. Aber ich komme mit dieser Wurzelfunktion nícht klar
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> Die Formel wäre ja :
>
> A = a [mm] *\wurzel{r^{2} - \red{(}\bruch{a}{2}\red{)}}
[/mm]
>
> Diese müsste ich mit der Produktregel ableiten. Aber ich
> komme mit dieser Wurzelfunktion nícht klar
Hallo,
vielleicht hilft es Dir, die Wurzel als Potenz zu schreiben?
F(a)=a * [mm] [r^{2} [/mm] - [mm] (\bruch{a}{2})^2]^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
Produktregel ist schonmal gut, für die Ableitung von [mm] [r^{2} [/mm] - [mm] (\bruch{a}{2})^2]^{\bruch{1}{2}} [/mm] brauchst Du noch die Kettenregel.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Do 25.03.2010 | | Autor: | deaksen |
Ich bekomme diese Ableitung einfach nicht hin. Bin am Verzweifeln.
Laut der Lösung soll da für [mm] a=\wurzel{2}*r [/mm] rauskommen wenn man die Ableitung nach a umstellt.
Keine ahnung wie man auf das kommen soll.
Meine Ableitung ist wie die in der Grafik und egal wie ich kürze ich komme nicht auf das Ergebnis für a
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Ich bekomme diese Ableitung einfach nicht hin. Bin am
> Verzweifeln.
> Laut der Lösung soll da für [mm]a=\wurzel{2}*r[/mm] rauskommen
> wenn man die Ableitung nach a umstellt.
>
> Keine ahnung wie man auf das kommen soll.
> Meine Ableitung ist wie die in der Grafik und egal wie ich
> kürze ich komme nicht auf das Ergebnis für a
Hallo,
Gibt's eigentlich einen bestimmten Grund dafür, daß Du F'(a) nicht eingetippt hast?
Es ist immer sehr lästig, wenn man als Antwortender nicht direkt Zugriff auf die Formeln hat zum Markieren etc.
Du hast jetzt also die Ableitung F'(a) berechnet.
Nun suchst Du doch das a, für welches F'(a)=0 ist. (Notwendige Bedingung für Extremwerte.)
Du mußt als F'(a)=0 setzen und dann auflösen nach a.
Tipp: erstmal alles multiplizieren mit dem Nenner des zweiten Ausdrucks.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Fr 26.03.2010 | | Autor: | fred97 |
Angela hat ja schon einiges gesagt.
Diese Funktion
F(a)=a * $ [mm] [r^{2} [/mm] $ - $ [mm] (\bruch{a}{2})^2]^{\bruch{1}{2}} [/mm] $
sollst Du maximieren. Setze $f(a) = [mm] (F(a))^2$
[/mm]
Die Rechnerei wird einfacher, wenn Du bedenkst:
F hat in [mm] a_0 [/mm] ein Maximum [mm] \gdw [/mm] f hat in [mm] a_0 [/mm] ein Maximum
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 Fr 26.03.2010 | | Autor: | deaksen |
Also ich glaube ich bin zu doof dafür.
Ich verstehe es nicht.
Komme mit diesem kürzen und dieses megaformel irgendwie nicht klar.
Ps könnte einer von euch den Weg wie man das so runterkürzt aufschreiben? Ich will diesen Weg verstehen irgendwie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:21 Fr 26.03.2010 | | Autor: | fred97 |
Schritt für Schritt.
Leite doch mal
F(a)=a * $ [mm] [r^{2} [/mm] $ - $ [mm] (\bruch{a}{2})^2]^{\bruch{1}{2}} [/mm] $
ab.
Oder beherzige meinen Tipp und leite [mm] f:=F^2 [/mm] ab
FRED
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Hallo,
also abgeleitet ist die Funktion ja schon.
Um eine maximale Fläche zu erhalten, untersuchst du die Funktion A(a) auf Extremwerte (Maximum oder Hochpunkt). Extrempunktkandidaten sind immer da, wo die Ableitung =0 ist. Also A'(a) = 0 Diese Gleichung sollst du umstellen (nach a), das solltest du können, wenn nicht schreib hin was du schon geschafft hast....
Gruss Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 Fr 26.03.2010 | | Autor: | deaksen |
Bei dem Umstellen scheitert es ja. Ich würde erstmal [mm] \wurzel{r^2 - (a/2)^2} [/mm] wegkürzen
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Hallo und schade, du hast mehr als genug Hinweise erhalten
von Angela [mm] f(a)=a*[r^{2}-\bruch{a^{2}}{4}]^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
von fred97 [mm] F(a)=a^{2}*[r^{2}-\bruch{a^{2}}{4}]
[/mm]
durch das Quadrat von f(x) erleichtert sich die Ableitung enorm
[mm] F(a)=r^{2}*a^{2}-\bruch{a^{4}}{4}
[/mm]
[mm] F'(a)=2*r^{2}*a-a^{3}
[/mm]
[mm] 0=2*r^{2}*a-a^{3}
[/mm]
[mm] 0=2*r^{2}-a^{2}
[/mm]
du kannst ja davon ausgehen [mm] a\not=0
[/mm]
[mm] a^{2}=2*r^{2}
[/mm]
[mm] a=\wurzel{2}r
[/mm]
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:37 Fr 26.03.2010 | | Autor: | deaksen |
Habe es verstanden konnte ^2 nehmen, da es sich um ein Quadrat handelt
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