Extremwertbestimmung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:21 Fr 02.03.2012 | | Autor: | leith |
| Aufgabe | Aufgabe: Gegeben sei die Funktion [mm] :f(r,t)=v_0^{2}*\bruch{g*sin(t)}{u}+g^{3}*r^{2}. [/mm] Dabei sei [mm] v_0,g, [/mm] und u positive Konstante.
Wie lautet das absolute Minimum dieser Funktion und in welchen Punkten wird es angenommen.
Meine Berechnung bisher:
bestimmung von [mm] f_r(r,t)=2g^{3}r
[/mm]
bestimmung von [mm] f_t(r,t)=v_0^{2}*(\bruch{g*cos(t)}{u})
[/mm]
und [mm] gradf(x,y)=\begin{pmatrix} 2g^{3} \\ v_0^{2}*\bruch{g*cos(t)}{u}\end{pmatrix}=0 [/mm] gesetzt.
Beim Null setzten des Gradienten denke ich zumindesten kriegt man für r=0 und [mm] t=\bruch{\pi}{2} [/mm] raus oder?
des weiteren hab ich noch [mm] f_r_r(r,t)=2g^{3} [/mm] ; [mm] f_t_t(r,t)=-v_0^{2}*\bruch{g*sin(t)}{u} [/mm] und [mm] f_r_t(r,t)=0 [/mm] berechnet.
Anschließend bekomme ich det [mm] Hf(0,\bruch{\pi}{2})=-2v_0^{2}*\bruch{g^{4}}{u} [/mm] raus |
hab ich soweit alles richtig gemacht?
Hallo an alle Mathenmatiker,
hab hier diese Extremwertaufgabe und komme irgendwie nicht mehr weiter.
Ich hab das Problem wie berechne ich das absolute Maxi oder Minimum bei solch einer aufgabe eigendlich wenn ich das relative Maxi oder Minimum errechnet hab?
Danke für eure Antworten im Vorraus
Gruß Leith
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> Aufgabe: Gegeben sei die Funktion
> [mm]:f(r,t)=v_0^{2}*\bruch{g*sin(t)}{u}+g^{3}*r^{2}.[/mm] Dabei sei
> [mm]v_0,g,[/mm] und u positive Konstante.
> Wie lautet das absolute Minimum dieser Funktion und in
> welchen Punkten wird es angenommen.
>
> Meine Berechnung bisher:
> bestimmung von [mm]f_r(r,t)=2g^{3}r[/mm]
> bestimmung von [mm]f_t(r,t)=-v_0^{2}*(\bruch{g*cos(t)}{u})[/mm]
> und [mm]gradf(x,y)=\begin{pmatrix} 2g^{3} \\ -v_0^{2}*\bruch{g*cos(t)}{u}\end{pmatrix}=0[/mm]
> gesetzt.
Nur ganz kurz: Wenn [mm] $r^2$, [/mm] wo ist beim Ableiten das r hinverschwunden? Wenn $sin(t)$, woher kommt das Minuszeichen? Du hast zwar oben noch dein r, im Gradienten aber nicht mehr.
> Dabei denke ich zumindesten kriegt man für r=0 und t=0
> raus oder?
r ja, aber wieso wird der cos(t) für t=0 zu 0?
> des weiteren hab ich noch [mm]f_rr(r,t)=2g^{3}[/mm] ;
> [mm]f_tt(r,t)=v_0^{2}*\bruch{g*sin(t)}{u}[/mm] und f_rt(r,t)=0
> berechnet.
>
> Anschließend bekomme ich aber det Hf=0 raus
> Hallo an alle Mathenachteulen,
>
> hab hier diese Extremwertaufgabe und komme irgendwie nicht
> mehr weiter.
> Ich hab noch dazu das Problem wie berechne ich das
> absolute Maxi oder Minimum bei solch einer aufgabe
> eigendlich wenn ich das relative Maxi oder Minimum
> errechnet hab?
>
> Danke für eure Antworten im Vorraus
>
> Gruß Leith
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:25 Sa 03.03.2012 | | Autor: | leith |
Hallo Adamantin,
sorry Du hattest vollkommen recht ich hab mich anscheinden verrechnet bei der Aufgabe.Hab dies nun geändert und hoffe Du kannst mir nun weiterhelfen?
Gruß Leith
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:22 Sa 03.03.2012 | | Autor: | meili |
Hallo Leith,
> Aufgabe: Gegeben sei die Funktion
> [mm]:f(r,t)=v_0^{2}*\bruch{g*sin(t)}{u}+g^{3}*r^{2}.[/mm] Dabei sei
> [mm]v_0,g,[/mm] und u positive Konstante.
> Wie lautet das absolute Minimum dieser Funktion und in
> welchen Punkten wird es angenommen.
>
> Meine Berechnung bisher:
> bestimmung von [mm]f_r(r,t)=2g^{3}r[/mm]
> bestimmung von [mm]f_t(r,t)=v_0^{2}*(\bruch{g*cos(t)}{u})[/mm]
> und [mm]gradf(x,y)=\begin{pmatrix} 2g^{3} \\ v_0^{2}*\bruch{g*cos(t)}{u}\end{pmatrix}=0 [/mm]
> gesetzt.
[mm]gradf(r,t)=\begin{pmatrix} 2g^{3}r \\ v_0^{2}*\bruch{g*cos(t)}{u}\end{pmatrix}=\mathcal O[/mm]
> Beim Null setzten des Gradienten denke ich zumindesten
> kriegt man für r=0 und [mm]t=\bruch{\pi}{2}[/mm] raus oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ,
aber es gibt noch mehr Lösungen:
r=0 und für t folgende Menge [mm] $\{(2k+1)*\bruch{\pi}{2}| k \in \IZ\}$
[/mm]
> des weiteren hab ich noch [mm]f_r_r(r,t)=2g^{3}[/mm] ;
> [mm]f_t_t(r,t)=-v_0^{2}*\bruch{g*sin(t)}{u}[/mm] und [mm]f_r_t(r,t)=0[/mm]
> berechnet.
>
> Anschließend bekomme ich det
> [mm]Hf(0,\bruch{\pi}{2})=-2v_0^{2}*\bruch{g^{4}}{u}[/mm] raus
> hab ich soweit alles richtig gemacht?
Wobei det [mm]Hf(0,-\bruch{\pi}{2})=2v_0^{2}*\bruch{g^{4}}{u}[/mm],
det [mm]Hf(0,\bruch{3*\pi}{2})=2v_0^{2}*\bruch{g^{4}}{u}[/mm].
Es gibt relative Minima und relative Maxima.
>
> Hallo an alle Mathenmatiker,
>
> hab hier diese Extremwertaufgabe und komme irgendwie nicht
> mehr weiter.
> Ich hab das Problem wie berechne ich das absolute Maxi
> oder Minimum bei solch einer aufgabe eigendlich wenn ich
> das relative Maxi oder Minimum errechnet hab?
Da die Definitionsmenge nicht beschränkt ist, muss man für absolute
Maximum/Minimum auch [mm] $\limes_{|(r,t)|\rightarrow\infty} [/mm] f(r,t)$ betrachten, und welche von den relativen Maxima
den größten und von den relativen Minima den kleinsten Funktionswert haben.
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> Danke für eure Antworten im Vorraus
>
> Gruß Leith
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 So 04.03.2012 | | Autor: | leith |
Hallo meili,
dank für deine Antwort.Bin schonmal froh das ich mich nicht total doof angestellt hab.Nun meine Frage ich weiß ja das der cos ein maxima bei [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] und ein minima bei [mm] \bruch{3\pi}{2} [/mm] besitzt.Sind das das nicht auch meine absoluten Maxima bzw minima werte da der cos nie größer als 1 werden kann? Was ich auch noch gerne wissen wollen würde ist wie berechne ich den den Grenzwert [mm] \limes_{|(r,t)|\rightarrow\infty} [/mm] f(r,t) bei dieser Aufgabe?
gruß Leith
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:39 Mo 05.03.2012 | | Autor: | meili |
Hallo Leith,
> Hallo meili,
>
> dank für deine Antwort.Bin schonmal froh das ich mich
> nicht total doof angestellt hab.Nun meine Frage ich weiß
> ja das der cos ein maxima bei [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] und ein minima
> bei [mm]\bruch{3\pi}{2}[/mm] besitzt.Sind das das nicht auch meine
> absoluten Maxima bzw minima werte da der cos nie größer
> als 1 werden kann?
Meintest Du hier sin?
Kandidat für absolute Minima schon.
Mit dem/den Maxima ist es etwas komplizierter.
> Was ich auch noch gerne wissen wollen
> würde ist wie berechne ich den den Grenzwert
> [mm]\limes_{|(r,t)|\rightarrow\infty}[/mm] f(r,t) bei dieser
> Aufgabe?
Dieser Grenzwert muss nicht exisieren.
Wenn man die Funktion [mm] $f(r,t)=v_0^{2}\cdot{}\bruch{g\cdot{}sin(t)}{u}+g^{3}\cdot{}r^{2} [/mm] $ etwas umschreibt zu [mm] $f(r,t)=\bruch{v_0^{2}\cdot{}g}{u}\cdot{}sin(t)+g^{3}\cdot{}r^{2}$, [/mm]
sieht man f besteht aus einer Summe von $sin(t)$ mit einer positiven
Konstanten ( [mm] $\bruch{v_0^{2}\cdot{}g}{u}$ [/mm] ) davor und [mm] $r^2$ [/mm] mit einer anderen positiven Konstanten ( [mm] $g^3$ [/mm] ) davor.
[mm] $\limes_{r\rightarrow\infty}f(r,0) [/mm] = [mm] \infty$
[/mm]
[mm] $\limes_{r\rightarrow -\infty}f(r,0) [/mm] = [mm] \infty$
[/mm]
$f(r,t)$ für [mm] $r\not=0$ [/mm] und [mm] $t\not=0$ [/mm] ergibt eine durch den Sinus etwas "gewellte" Parabel.
Die Werte von $f(0,t)$ liegen zwischen [mm] $\bruch{v_0^{2}\cdot{}g}{u}$ [/mm] und [mm] $-\bruch{v_0^{2}\cdot{}g}{u}$. [/mm]
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> gruß Leith
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Gruß
meili
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