Faktorisierung von p < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei p [mm] \in \IC[z] [/mm] mit p(z) = [mm] z^3 [/mm] − [mm] 5z^2 [/mm] − 6iz + 4 + 6i. Berechnen Sie die Faktorisierung von p in Linearfaktoren. |
Hallo.
Ich bin neu in diesem Forum und hoffe, dass ich dem einen anderen anderen selber helfen kann und mir vielleicht auch geholfen werden kann.
Heute melde ich mich mit einem kleinen Problem an euch.
Ich soll die folgende Aufgabe machen und stehe dortein wenig auf dem Schlauch. Bei den Linearfaktoren handelt es sich ja indirekt um die Nullstellen dieses Polynoms. Wenn x=3 eine Nullstelle ist, dann ist (x-3) eine Linearkombination.
In dem Ring [mm] \IR[x], [/mm] denke ich mal, dass man das alles hinbekommen könnte. Man muss ja wie gesagt nur die Nullstellen suchen. Nun bin ich ja aber im Ring [mm] \IC[x]. [/mm] Es handelt sich also um komplexe Zahlen. Und genau hier beginnt mein Problem. Ich weiß nämlich nun nicht, wie ich hier die Nullstellen bestimmen kann, denn es müsste doch gelten z = a + bi mit a,b [mm] \in \IR, [/mm] oder?
Muss ich das so alles hinschreiben und danach dann damit weiterrechnen und nach a , b auflösen, oder wie?
Wäre schön wenn mir hier mal jemand kurz die Vorgehensweise mit mir zusammen erarbeiten könnte.
Wäre wirklich super nett.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Vielen Dank für die rasche Antwort.
Also ich habe z=1 als Nullstelle von p(z). Also kann ich nun eine Polynomdivision durchführen:
[mm] (z^3 [/mm] - [mm] 5z^2 [/mm] - 6iz + 4 + 6i) : (z - 1) = [mm] z^2 [/mm] - 4z - 6i - 4
Zerlege ich das jetzt wieder?
Soetwas wie die p/q Formel kann ich nicht anwenden, oder?
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Hallo, deine Polynomdivision ist korrekt,
[mm] z^{2}-4z-6i-4=0
[/mm]
p=-4
q=-6i-4
jetzt kannst du p-q-Formel machen,
Steffi
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Hallo.
Okay. Ich versuche es mal (habe p/q-Formel noch nie bei komplexen Zahlen angewendet)
[mm] z^2 [/mm] - 4z - 6i - 4 = 0
=> [mm] z_1 [/mm] = 2 + [mm] \wurzel{4 + (6i - 4)}
[/mm]
[mm] z_1 [/mm] = 2 + [mm] \wurzel{6i}
[/mm]
=> [mm] z_2 [/mm] = 2 - [mm] \wurzel{4 + (6i - 4)}
[/mm]
[mm] z_2 [/mm] = 2 - [mm] \wurzel{6i}
[/mm]
Also gilt nun:
[mm] (z^3 [/mm] - [mm] 5z^2 [/mm] - 6iz + 4 + 6i) = (z - 1) (z - (2 + [mm] \wurzel{6i})) [/mm] (z - (2 - [mm] \wurzel{6i}), [/mm] oder wie?
Kann man da jetzt irgendwie eine Probe machen, dass dies gilt?
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Hallo,
kontrolliere mal deine Vorzeichen der Diskriminante, die Probe ist jederzeit möglich, multipliziere die Klammern wieder aus,
Steffi
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Super.
Vielen Dank....
Jetzt habe ich es raus.
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
Polynomdivision