Fakultät < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 Fr 30.10.2015 | | Autor: | b.reis |
| Aufgabe | Beweisen Sie durch vollständige Induktion den Binomischen Lehrsatz, d.h. zeigen Sie, dass für alle a,b [mm] \varepsilon \IN [/mm] die Folgene Formel gilt:
[mm] (a+b)^n= \summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ k} a^{n-k} b^{k}
[/mm]
Hinweis Überzeugen Sie sich zuerst ,dass fur alle k, n [mm] \varepsilon [/mm] {0,1,2,3...}:= [mm] N\IN_{0} [/mm] mit [mm] k\le [/mm] n
[mm] \vektor{n+1\\ k+1}=\vektor{n\\ k}+ \vektor{n \\ k+1}
[/mm]
Für k,n Element [mm] \lN_{0} [/mm] oder der Binominalkoeffizient gegeben durch [mm] \vektor{n \\ k}= \bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm] fals [mm] k\len [/mm] oder [mm] 0\ge [/mm] n
Wobei die Fakultät einer Zahl mit [mm] m\varepsilon \IN [/mm] wie folg definiert ist :
[mm] m!=\produkt_{i=1}^{m} [/mm] i. |
Hallo freunde der bedingungslosen Mathematik,
Also den Induktionsanfang hab ich alleine hinbekommen.
Leider weiß ich nicht mehr weiter wenn n+1=n ist
[mm] \bruch{n!(n+1)}{k!(k^2+kn+n+3)!}=\bruch{n!(n+1)}{k!(n+1-k)!}+\bruch{n!(n+1)}{k!(kn+k-k^2+n+2)}
[/mm]
Mit dem Ausklammern komm ich nicht mehr weiter,
Kann mir jemand helfen oder mir sagen ob ich falsch liege ?
Danke
Benni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:28 Fr 30.10.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo b.reis!
> Beweisen Sie durch vollständige Induktion den Binomischen
> Lehrsatz, d.h. zeigen Sie, dass für alle a,b [mm]\varepsilon \IN[/mm]
(Mit \in statt \varepsilon erhält man [mm] \in [/mm] statt [mm] \varepsilon.)
[/mm]
> die Folgene Formel gilt:
>
> [mm](a+b)^n= \summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ k} a^{n-k} b^{k}[/mm]
Du meinst
[mm] $(a+b)^n= \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} a^{n-k} b^{k}$.
[/mm]
> Hinweis Überzeugen Sie sich zuerst ,dass fur alle k, n
> [mm]\varepsilon[/mm] {0,1,2,3...}:= [mm]N\IN_{0}[/mm] mit [mm]k\le[/mm] n
(Ich nehme an, dass du [mm] \IN_0:=\{0,1,\ldots\} [/mm] meinst.)
> [mm]\vektor{n+1\\ k+1}=\vektor{n\\ k}+ \vektor{n \\ k+1}[/mm]
>
> Für k,n Element [mm]\lN_{0}[/mm] oder der Binominalkoeffizient
> gegeben durch [mm]\vektor{n \\ k}= \bruch{n!}{k!(n-k)!}[/mm] fals
> [mm]k\len[/mm] oder [mm]0\ge[/mm] n
Steht das wirklich so auf deinem Übungsblatt?
> Wobei die Fakultät einer Zahl mit [mm]m\varepsilon \IN[/mm] wie
> folg definiert ist :
>
> [mm]m!=\produkt_{i=1}^{m}[/mm] i.
> Hallo freunde der bedingungslosen Mathematik,
>
> Also den Induktionsanfang hab ich alleine hinbekommen.
>
> Leider weiß ich nicht mehr weiter wenn n+1=n ist
Der Ausdruck [mm] $n+1=n\$ [/mm] ist äquivalent zu [mm] $1=0\$. [/mm] Macht das Sinn?
Also benutze [mm] $n\mapsto [/mm] n+1$ (oder ähnliches).
> [mm]\bruch{n!(n+1)}{k!(k^2+kn+n+3)!}=\bruch{n!(n+1)}{k!(n+1-k)!}+\bruch{n!(n+1)}{k!(kn+k-k^2+n+2)}[/mm]
>
> Mit dem Ausklammern komm ich nicht mehr weiter,
> Kann mir jemand helfen oder mir sagen ob ich falsch liege ?
Meine Empfehlung (hier): Vergiss Induktion. 
Es gilt:
[mm] \vektor{n\\ k}+\vektor{n \\ k+1}=\frac{n!}{k!(n-k)!}+\frac{n!}{(k+1)!(n-(k+1))!}.
[/mm]
Jetzt vereinfache weiter!
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 Fr 30.10.2015 | | Autor: | b.reis |
Für mich gibt es jetzt 2 Möglichkeiten. Entweder n! ist 1 oder 0, ohne die Induktion von n+1 da wir bei 0 anfangen bleibt nur die 1 und ich setze für n! die 1 ein.
Der Ausdruck $ n+1=n\ $ ist äquivalent zu $ 1=0\ $. Macht das Sinn?
Also benutze $ [mm] n\mapsto [/mm] n+1 $ (oder ähnliches).
> $ [mm] \bruch{n!(n+1)}{k!(k^2+kn+n+3)!}=\bruch{n!(n+1)}{k!(n+1-k)!}+\bruch{n!(n+1)}{k!(kn+k-k^2+n+2)} [/mm] $
>
> Mit dem Ausklammern komm ich nicht mehr weiter,
> Kann mir jemand helfen oder mir sagen ob ich falsch liege ?
Meine Empfehlung (hier): Vergiss Induktion.
Es gilt:
$ [mm] \vektor{n\\ k}+\vektor{n \\ k+1}=\frac{n!}{k!(n-k)!}+\frac{n!}{(k+1)!(n-(k+1))!}. [/mm] $
Jetzt vereinfache weiter!
Gruß
DieAcht
SO ? [mm] \bruch{1}{K!(1-k)!} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(k+1)! k!} [/mm] = [mm] \bruch{2}{(k+1)!(1-k)!} [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Fr 30.10.2015 | | Autor: | DieAcht |
> Für mich gibt es jetzt 2 Möglichkeiten. Entweder n! ist 1
> oder 0, ohne die Induktion von n+1 da wir bei 0 anfangen
> bleibt nur die 1 und ich setze für n! die 1 ein.
Zunächst beweisen wir den Hinweis und zwar direkt. (Stichwort: direkter Beweis.)
Dann beweisen wir den Binomischen Lehrsatz durch vollständige Induktion (über [mm] $n\$).
[/mm]
> > Meine Empfehlung (hier): Vergiss Induktion.
> >
> > Es gilt:
> >
> > [mm]\vektor{n\\ k}+\vektor{n \\ k+1}=\frac{n!}{k!(n-k)!}+\frac{n!}{(k+1)!(n-(k+1))!}.[/mm]
> SO ? [mm]\bruch{1}{K!(1-k)!}[/mm] + [mm]\bruch{1}{(k+1)! k!}[/mm] =
> [mm]\bruch{2}{(k+1)!(1-k)!}[/mm]
Nein!
Noch ein Schritt:
[mm] $\frac{n!}{k!(n-k)!}+\frac{n!}{(k+1)!(n-(k+1))!}=\frac{n!}{k!(n-k)!}*\left(\frac{k+1}{k+1}\right)+\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}*\left(\frac{n-k}{n-k}\right)$.
[/mm]
Wieder: Vereinfache weiter!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Fr 30.10.2015 | | Autor: | b.reis |
Hey, das ist für mich alles nicht nachvollziehbar. Du erweitert die Brüche ohne erkennbaren nutzen. Das ist erst mein 2tes Arbeitsblatt im ersten Semester, ich muss da erst reinwachsen.
Es gilt:
> >
> > $ [mm] \vektor{n\\ k}+\vektor{n \\ k+1}=\frac{n!}{k!(n-k)!}+\frac{n!}{(k+1)!(n-(k+1))!}. [/mm] $
Noch ein Schritt:
[mm] \frac{n!}{k!(n+k)!}+\frac{n!}{(k+1)!(n-(k+1))!}=\frac{n!(k+1)}{k!(n-k)!(k+1)}+ \frac{n!(k-1)}{(k+1)!(n-k+1)!(k-1)} [/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 Fr 30.10.2015 | | Autor: | DieAcht |
> Hey, das ist für mich alles nicht nachvollziehbar. Du
> erweitert die Brüche ohne erkennbaren nutzen.
Leider hast du nicht weiter vereinfacht um den Nutzen sofort zu sehen.
> Das ist erst
> mein 2tes Arbeitsblatt im ersten Semester, ich muss da erst
> reinwachsen.
Das ist kein Problem!
> Es gilt:
> > >
> > > [mm]\vektor{n\\ k}+\vektor{n \\ k+1}=\frac{n!}{k!(n-k)!}+\frac{n!}{(k+1)!(n-(k+1))!}.[/mm]
>
>
>
>
>
> Noch ein Schritt:
>
> [mm]\frac{n!}{k!(n+k)!}+\frac{n!}{(k+1)!(n-(k+1))!}=\frac{n!(k+1)}{k!(n-k)!(k+1)}+ \frac{n!(k-1)}{(k+1)!(n-k+1)!(k-1)}[/mm]
Das habe ich so nicht aufgeschrieben!
Noch ein Schritt:
$ [mm] \frac{n!}{k!(n-k)!}+\frac{n!}{(k+1)!(n-(k+1))!}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\cdot{}\left(\frac{k+1}{k+1}\right)+\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}\cdot{}\left(\frac{n-k}{n-k}\right) [/mm] $
Noch ein Tipp: Vereinfache zunächst nur im Nenner [mm] $k!*(k+1)=\ldots$ [/mm] und [mm] $(n-k-1)!*(n-k)=\ldots$.
[/mm]
Dann weiter vereinfachen.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Fr 30.10.2015 | | Autor: | b.reis |
[mm] k!\cdot{}(k+1)=\ldots [/mm] $ und $ [mm] (n-k-1)!\cdot{}(n-k)=\ldots
[/mm]
Also [mm] k!\cdot{}(k+1)= [/mm] (k+1)! (das weis ich auch nur weil ichs bei jemandem gesehen hab, warum das so ist weiß ich nicht. und (n-k-1)! (n-k)= 2(n-k)!*(-1)! so richtig ?
ob
(n-k-1)! (n-k)= 2(n-k)!*(-1)! das stimmt weis ich nicht, da ich keine Ahnung hab wie man Fakultäten und klammern verrechnet bzw. auflöst. Ob das Distributivgesetz noch in einer Summe anwendbar ist weiß ich auch nicht.
Danke
benni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:27 Fr 30.10.2015 | | Autor: | DieAcht |
> Also [mm]k!\cdot{}(k+1)=[/mm] (k+1)! (das weis ich auch nur weil
> ichs bei jemandem gesehen hab, warum das so ist weiß ich
> nicht.
Sei [mm] $k\in\IN$. [/mm] Wir definieren
[mm] $k!=\produkt_{i=1}^{k}i$.
[/mm]
Dabei ist
[mm] $\produkt_{i=1}^{k}i$
[/mm]
eine Kurzschreibweise für das Produkt
[mm] $1*2*\ldots*(k-1)*k$.
[/mm]
Also gilt
[mm] $k!*(k+1)=1*2*\ldots*(k-1)*k*(k+1)$.
[/mm]
Nun verwenden wir für das Produkt
[mm] $1*2*\ldots*(k-1)*k*(k+1)$
[/mm]
die Kurzschreibweise
[mm] $\produkt_{i=1}^{k+1}i$.
[/mm]
Nach Definition gilt
[mm] $\produkt_{i=1}^{k+1}i=(k+1)!$.
[/mm]
Also gilt
$k!*(k+1)=(k+1)!$.
(Allgemein gilt
[mm] $\produkt_{i=j}^{k}a_i=a_j*a_{j+1}*\ldots*a_{k-1}*a_{k}$.)
[/mm]
(Allgemein definieren wir rekursiv
[mm] $k!=\begin{cases} 1, & \mbox{für } k=0 \\ k*(k-1)!, & \mbox{für } k>0\end{cases}$.)
[/mm]
> und (n-k-1)! (n-k)= 2(n-k)!*(-1)! so richtig ?
Nein. Ist $(-1)!$ überhaupt definiert?
1) Zeige, dass
$(n-k-1)!*(n-k)=(n-k)!$
gilt.
2) Nach Definition gilt
[mm] \binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{k!*(n-k)!}+\frac{n!}{(k+1)!*(n-(k+1))!}.
[/mm]
Wir hatten bereits
[mm] $\frac{n!}{k!*(n-k)!}+\frac{n!}{(k+1)!*(n-(k+1))!}=\frac{n!}{k!*(n-k)!}\cdot{}\left(\frac{k+1}{k+1}\right)+\frac{n!}{(k+1)!*(n-k-1)!}\cdot{}\left(\frac{n-k}{n-k}\right)$.
[/mm]
Aus 1) folgt
[mm] $\frac{n!}{k!*(n-k)!}\cdot{}\left(\frac{k+1}{k+1}\right)+\frac{n!}{(k+1)!*(n-k-1)!}\cdot{}\left(\frac{n-k}{n-k}\right)=\frac{n!*(k+1)}{(k+1)!*(n-k)!}+\frac{n!*(n-k)!}{(k+1)!*(n-k)!}$.
[/mm]
Jetzt bist du wieder dran! Zeige, dass
[mm] \frac{n!*(k+1)}{(k+1)!*(n-k)!}+\frac{n!*(n-k)!}{(k+1)!*(n-k)!}=\binom{n+1}{k+1}
[/mm]
gilt. Damit haben wir dann den Hinweis
[mm] \binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}
[/mm]
gezeigt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:33 Fr 30.10.2015 | | Autor: | b.reis |
Vielen Dank, habs selber so n bisschen errechnet k+1 steckt ja irgenwo in k! usw. . Hatte diese Art von Aufgabenstellung noch nie.
Danke
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:39 Fr 30.10.2015 | | Autor: | DieAcht |
> k+1 steckt ja irgenwo in k! usw.
Falsch.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:31 Sa 31.10.2015 | | Autor: | b.reis |
Ok ok k-1 steckt irgendwo in k ! falls k>0
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:08 Sa 31.10.2015 | | Autor: | b.reis |
> Also $ [mm] k!\cdot{}(k+1)= [/mm] $ (k+1)! (das weis ich auch nur weil
> ichs bei jemandem gesehen hab, warum das so ist weiß ich
> nicht.
Sei $ [mm] k\in\IN [/mm] $. Wir definieren
$ [mm] k!=\produkt_{i=1}^{k}i [/mm] $.
Dabei ist
$ [mm] \produkt_{i=1}^{k}i [/mm] $
eine Kurzschreibweise für das Produkt
$ [mm] 1\cdot{}2\cdot{}\ldots\cdot{}(k-1)\cdot{}k [/mm] $.
Also gilt
$ [mm] k!\cdot{}(k+1)=1\cdot{}2\cdot{}\ldots\cdot{}(k-1)\cdot{}k\cdot{}(k+1) [/mm] $.
Nun verwenden wir für das Produkt
$ [mm] 1\cdot{}2\cdot{}\ldots\cdot{}(k-1)\cdot{}k\cdot{}(k+1) [/mm] $
die Kurzschreibweise
$ [mm] \produkt_{i=1}^{k+1}i [/mm] $.
Da wir jetzt nicht mehr bis k gehen, sondern bis (k+1)?
Nach Definition gilt
$ [mm] \produkt_{i=1}^{k+1}i=(k+1)! [/mm] $.
Also gilt
$ [mm] k!\cdot{}(k+1)=(k+1)! [/mm] $.
(k+1) ist das Ende von K!+1, somit kann ich die ganze Klammer in Fakultät setzen. ?
(Allgemein gilt
$ [mm] \produkt_{i=j}^{k}a_i=a_j\cdot{}a_{j+1}\cdot{}\ldots\cdot{}a_{k-1}\cdot{}a_{k} [/mm] $.)
(Allgemein definieren wir rekursiv)
$ [mm] k!=\begin{cases} 1, & \mbox{für } k=0 \\ k\cdot{}(k-1), & \mbox{für } k>0\end{cases} [/mm] $.)
Wenn k=0 ist 0!=1
und k*(k-1) für k> macht sinn für k! und werde ich hoffentlich nie brauchen.
> und (n-k-1)! (n-k)= 2(n-k)!*(-1)! so richtig ?
Nein. Ist $ (-1)! $ überhaupt definiert?
1) Zeige, dass
$ [mm] (n-k-1)!\cdot{}(n-k)=(n-k)! [/mm] $
gilt.
2) Nach Definition gilt
$ [mm] \binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{k!\cdot{}(n-k)!}+\frac{n!}{(k+1)!\cdot{}(n-(k+1))!}. [/mm] $
Wir hatten bereits
$ [mm] \frac{n!}{k!\cdot{}(n-k)!}+\frac{n!}{(k+1)!\cdot{}(n-(k+1))!}=\frac{n!}{k!\cdot{}(n-k)!}\cdot{}\left(\frac{k+1}{k+1}\right)+\frac{n!}{(k+1)!\cdot{}(n-k-1)!}\cdot{}\left(\frac{n-k}{n-k}\right) [/mm] $.
Aus 1) folgt
$ [mm] \frac{n!}{k!\cdot{}(n-k)!}\cdot{}\left(\frac{k+1}{k+1}\right)+\frac{n!}{(k+1)!\cdot{}(n-k-1)!}\cdot{}\left(\frac{n-k}{n-k}\right)=\frac{n!\cdot{}(k+1)}{(k+1)!\cdot{}(n-k)!}+\frac{n!\cdot{}(n-k)!}{(k+1)!\cdot{}(n-k)!} [/mm] $.
Jetzt bist du wieder dran! Zeige, dass
$ [mm] \frac{n!\cdot{}(k+1)}{(k+1)!\cdot{}(n-k)!}+\frac{n!\cdot{}(n-k)!}{(k+1)!\cdot{}(n-k)!}=\binom{n+1}{k+1} [/mm] $
[blue] Da wir die selben Nenner haben kann man alles auf einen Bruch schreiben [mm] \frac{n!\cdot{}(k+1)+n!(n-k)}{(k+1)!\cdot{}(n-k)!}==> \frac{(n+1)!}{(k+1)!\cdot(n-k)!} [/mm] = [mm] \binom{n+1}{k+1}=\bruch{(n+1)!}{(k+1)!(n+1-(k+1)!} [/mm]
gilt. Damit haben wir dann den Hinweis
$ [mm] \binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1} [/mm] $
gezeigt.
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Hallo b.reis,
nachdem ich mal so kurz über die Artikel in diesem Thread
geblickt habe, glaube ich sehr, dass dir bei dem Thema
der Fakultäten einfach etwas Elementares, aber ganz
Wichtiges fehlt: du hast wohl noch nie aus eigenem Antrieb
mit diesen Ausdrücken etwas "gespielt" !
Die Schreibweise "n!" mit dem Ausrufezeichen hinter einer
(natürlichen) Zahl n ist zunächst einmal einfach eine praktische
Abkürzung für das Ergebnis des Produktes, das man erhält, wenn
man alle natürlichen Zahlen, angefangen mit 1, 2, 3, .... bis und
mit n miteinander multipliziert.
Also zum Beispiel:
4! = 1*2*3*4 = 24
6! = 1*2*3*4*5*6 = 720
Hast du jemals eine kleine Tabelle aller Fakultäten von 1! etwa
bis zu 10! selber (ohne Taschenrechner !) ausgerechnet und
aufgeschrieben ? Falls nicht, dann tu das bitte einmal !
So, falls du nun die Tabelle bis zu n=10 berechnet hast,
wie würdest du dann vorgehen, um die Fakultät von 11
zu berechnen ?
Etwas doof wäre dann doch, mit der ganzen Rechnerei
nochmals von vorne zu beginnen und das Produkt
1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11 nochmal von A bis Z
durchzurechnen (oder auch nur in den Rechner einzutippen) !
Falls du das Ergebnis von 10! schon hast, dann muss doch
einfach gelten:
$\ [mm] 11\,!\ [/mm] =\ 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11\ =\ [mm] \underbrace{(1*2*3*4*5*6*7*8*9*10)}_{10\,!}*11\ [/mm] =\ [mm] 10\,!\,*\,11$
[/mm]
Was hier an einem konkreten Beispiel funktioniert, kann
natürlich verallgemeinert werden:
$\ [mm] (n+1)\,!\ [/mm] =\ [mm] n\,!\ [/mm] *\ (n+1)$
oder etwa:
$\ [mm] (n+2)\,!\ [/mm] =\ [mm] (n-1)\,!\ [/mm] *\ n*(n+1)*(n+2)$
Ich würde dir empfehlen, mit geeignetem Übungsmaterial aus
der betreffenden Schulstufe etwas zu üben, um dir das Leben
mit derartigen Ausdrücken (mit denen man es immer wieder etwa
zu tun kriegen kann) zu erleichtern.
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:37 Sa 31.10.2015 | | Autor: | b.reis |
Hallo b.reis,
nachdem ich mal so kurz über die Artikel in diesem Thread
geblickt habe, glaube ich sehr, dass dir bei dem Thema
der Fakultäten einfach etwas Elementares, aber ganz
Wichtiges fehlt: du hast wohl noch nie aus eigenem Antrieb
mit diesen Ausdrücken etwas "gespielt" !
Die Schreibweise "n!" mit dem Ausrufezeichen hinter einer
(natürlichen) Zahl n ist zunächst einmal einfach eine praktische
Abkürzung für das Ergebnis des Produktes, das man erhält, wenn
man alle natürlichen Zahlen, angefangen mit 1, 2, 3, .... bis und
mit n miteinander multipliziert.
Also zum Beispiel:
4! = 1*2*3*4 = 24
6! = 1*2*3*4*5*6 = 720
Hast du jemals eine kleine Tabelle aller Fakultäten von 1! etwa
bis zu 10! selber (ohne Taschenrechner !) ausgerechnet und
aufgeschrieben ? Falls nicht, dann tu das bitte einmal !
So, falls du nun die Tabelle bis zu n=10 berechnet hast,
wie würdest du dann vorgehen, um die Fakultät von 11
zu berechnen ?
Etwas doof wäre dann doch, mit der ganzen Rechnerei
nochmals von vorne zu beginnen und das Produkt
1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11 nochmal von A bis Z
durchzurechnen (oder auch nur in den Rechner einzutippen) !
Falls du das Ergebnis von 10! schon hast, dann muss doch
einfach gelten:
$ \ [mm] 11\,!\ [/mm] =\ [mm] 1\cdot{}2\cdot{}3\cdot{}4\cdot{}5\cdot{}6\cdot{}7\cdot{}8\cdot{}9\cdot{}10\cdot{}11\ [/mm] =\ [mm] \underbrace{(1\cdot{}2\cdot{}3\cdot{}4\cdot{}5\cdot{}6\cdot{}7\cdot{}8\cdot{}9\cdot{}10)}_{10\,!}\cdot{}11\ [/mm] =\ [mm] 10\,!\,\cdot{}\,11 [/mm] $
Was hier an einem konkreten Beispiel funktioniert, kann
natürlich verallgemeinert werden:
$ \ [mm] (n+1)\,!\ [/mm] =\ [mm] n\,!\ \cdot{}\ [/mm] (n+1) $
oder etwa:
$ \ [mm] (n+2)\,!\ [/mm] =\ [mm] (n-1)\,!\ \cdot{}\ n\cdot{}(n+1)\cdot{}(n+2) [/mm] $
Natürlich habe ich schon Zahlen eingesetzt und damit gerechnet. Aber aber irgendwas mit + und - und aus dem ausdruck mit ! irgendetwas rauszuziehen hatten wir so nicht, oder zumindest nicht recht intensiv. Das Bespiel ist sehr spielerisch. Aber ich muss auch aus Erfahrung schlau werden.
Ich würde dir empfehlen, mit geeignetem Übungsmaterial aus
der betreffenden Schulstufe etwas zu üben, um dir das Leben
mit derartigen Ausdrücken (mit denen man es immer wieder etwa
zu tun kriegen kann) zu erleichtern.
LG , Al-Chw.
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> Natürlich habe ich schon Zahlen eingesetzt und damit
> gerechnet. Aber aber irgendwas mit + und - und aus dem
> ausdruck mit ! irgendetwas rauszuziehen hatten wir so
> nicht, oder zumindest nicht recht intensiv. Das Bespiel ist
> sehr spielerisch. Aber ich muss auch aus Erfahrung schlau
> werden.
Na schön, wie bei so manchem gilt halt auch hier:
"Übung macht den Meister"
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:54 Sa 31.10.2015 | | Autor: | DieAcht |
Zunächst: Zur besseren Übersicht bitte richtig zitieren.
> > Also [mm]k!\cdot{}(k+1)=[/mm] (k+1)! (das weis ich auch nur weil
> > ichs bei jemandem gesehen hab, warum das so ist weiß ich
> > nicht.
>
> Sei [mm]k\in\IN [/mm]. Wir definieren
>
> [mm]k!=\produkt_{i=1}^{k}i [/mm].
>
> Dabei ist
>
> [mm]\produkt_{i=1}^{k}i[/mm]
>
> eine Kurzschreibweise für das Produkt
>
> [mm]1\cdot{}2\cdot{}\ldots\cdot{}(k-1)\cdot{}k [/mm].
>
> Also gilt
>
> [mm]k!\cdot{}(k+1)=1\cdot{}2\cdot{}\ldots\cdot{}(k-1)\cdot{}k\cdot{}(k+1) [/mm].
>
> Nun verwenden wir für das Produkt
>
> [mm]1\cdot{}2\cdot{}\ldots\cdot{}(k-1)\cdot{}k\cdot{}(k+1)[/mm]
>
> die Kurzschreibweise
>
> [mm]\produkt_{i=1}^{k+1}i [/mm].
>
> Da wir jetzt nicht mehr bis k gehen, sondern bis (k+1)?
Ja.
> Nach Definition gilt
>
> [mm]\produkt_{i=1}^{k+1}i=(k+1)! [/mm].
>
> Also gilt
>
> [mm]k!\cdot{}(k+1)=(k+1)! [/mm].
>
> (k+1) ist das Ende von K!+1, somit kann ich die ganze
> Klammer in Fakultät setzen. ?
Ich habe dir doch oben den Beweis geliefert!
1. Arbeite mit Stift und Papier.
2. Gehe alles Stück für Stück durch.
3. Frage dann erneut.
> (Allgemein gilt
>
> [mm]\produkt_{i=j}^{k}a_i=a_j\cdot{}a_{j+1}\cdot{}\ldots\cdot{}a_{k-1}\cdot{}a_{k} [/mm].)
>
> (Allgemein definieren wir rekursiv)
>
> [mm]k!=\begin{cases} 1, & \mbox{für } k=0 \\ k\cdot{}(k-1), & \mbox{für } k>0\end{cases} [/mm].)
> Wenn k=0 ist 0!=1
> und k*(k-1) für k> macht sinn für k! und werde ich
> hoffentlich nie brauchen.
Tut mir leid, aber ich habe oben etwas vergessen. Richtig:
[mm] $k!=\begin{cases} 1, & \mbox{für } k=0 \\ k\cdot{}(k-1)!, & \mbox{für } k>0\end{cases}$.
[/mm]
Ein Beispiel:
$3!=3*(3-2)!=3*2!=3*2*(2-1)!=3*2*1!=3*2*1*(1-1)!=3*2*1*0!=3*2*1*1=3*2*1=6$.
Rekursion wird dir im Laufe deines Studiums noch über den Weg laufen.
> > und (n-k-1)! (n-k)= 2(n-k)!*(-1)! so richtig ?
>
> Nein. Ist [mm](-1)![/mm] überhaupt definiert?
>
> 1) Zeige, dass
>
> [mm](n-k-1)!\cdot{}(n-k)=(n-k)![/mm]
>
> gilt.
>
> 2) Nach Definition gilt
>
> [mm]\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{k!\cdot{}(n-k)!}+\frac{n!}{(k+1)!\cdot{}(n-(k+1))!}.[/mm]
>
> Wir hatten bereits
>
> [mm]\frac{n!}{k!\cdot{}(n-k)!}+\frac{n!}{(k+1)!\cdot{}(n-(k+1))!}=\frac{n!}{k!\cdot{}(n-k)!}\cdot{}\left(\frac{k+1}{k+1}\right)+\frac{n!}{(k+1)!\cdot{}(n-k-1)!}\cdot{}\left(\frac{n-k}{n-k}\right) [/mm].
>
> Aus 1) folgt
>
> [mm]\frac{n!}{k!\cdot{}(n-k)!}\cdot{}\left(\frac{k+1}{k+1}\right)+\frac{n!}{(k+1)!\cdot{}(n-k-1)!}\cdot{}\left(\frac{n-k}{n-k}\right)=\frac{n!\cdot{}(k+1)}{(k+1)!\cdot{}(n-k)!}+\frac{n!\cdot{}(n-k)!}{(k+1)!\cdot{}(n-k)!} [/mm].
>
> Jetzt bist du wieder dran! Zeige, dass
>
> [mm]\frac{n!\cdot{}(k+1)}{(k+1)!\cdot{}(n-k)!}+\frac{n!\cdot{}(n-k)!}{(k+1)!\cdot{}(n-k)!}=\binom{n+1}{k+1}[/mm]
>
> Da wir die selben Nenner haben kann man alles auf einen
> Bruch schreiben
> [mm]\frac{n!\cdot{}(k+1)+n!(n-k)}{(k+1)!\cdot{}(n-k)!}==> \frac{(n+1)!}{(k+1)!\cdot(n-k)!}[/mm]
Besser:
[mm] $\frac{n!\cdot{}(k+1)+n!(n-k)}{(k+1)!\cdot{}(n-k)!}=\frac{(n+1)!}{(k+1)!\cdot(n-k)!}$.
[/mm]
> = [mm]\binom{n+1}{k+1}=\bruch{(n+1)!}{(k+1)!(n+1-(k+1)!}[/mm]
Passt.
>
>
> gilt. Damit haben wir dann den Hinweis
>
> [mm]\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}[/mm]
>
> gezeigt.
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> Leider weiß ich nicht mehr weiter wenn n+1=n ist ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Naja, in diesem Fall wüsste ich echt auch nicht so recht weiter ...
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