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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:34 So 27.11.2011 | | Autor: | Amicus |
| Aufgabe | | Der Graph von f mit [mm] f(x)=\bruch{x^3-3x+2}{(x+1)^2} [/mm] schließt im 1.Quadranten mit den Koordinatenachsen ein Flächenstück ein. Berechnen sie den Flächeninhalt dieses Flächenstücks. |
Der Ansatz ist ja dann [mm] \integral_{0}^{\wurzel{3}}{\bruch{x^3-3x+2}{(x+1)^2} dx}, [/mm] weil ich für den Schittpunkt mit der Y-Achse den Punkt S(0/2) und für eine Nullstelle [mm] N(\wurzel{3}/0) [/mm] heraus habe. Aber wie integriert man dann den Bruch?
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Hallo Amicus,
> Der Graph von f mit [mm]f(x)=\bruch{x^3-3x+2}{(x+1)^2}[/mm]
> schließt im 1.Quadranten mit den Koordinatenachsen ein
> Flächenstück ein. Berechnen sie den Flächeninhalt dieses
> Flächenstücks.
>
> Der Ansatz ist ja dann
> [mm]\integral_{0}^{\wurzel{3}}{\bruch{x^3-3x+2}{(x+1)^2} dx},[/mm]
> weil ich für den Schittpunkt mit der Y-Achse den Punkt
> S(0/2) und für eine Nullstelle [mm]N(\wurzel{3}/0)[/mm] heraus
Die Nullstelle ist nicht richtig.
> habe. Aber wie integriert man dann den Bruch?
Dazu wird hier zunächst eine Polynomdivision durchgeführt.
Anschliessend wird von dem gebrochenen Summanden
eine Partialbruchzerlegung gemacht.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 So 27.11.2011 | | Autor: | Amicus |
Erstmal zu den Nullstellen:
Ansatz: [mm] x^3-3x+2=0
[/mm]
<=> [mm] x^3-3x=-2
[/mm]
<=> [mm] x(x^2-3)=-2
[/mm]
=> x=-2 oder x=+/- [mm] \wurzel{3} [/mm] Wo ist der Fehler?
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Hallo Amicus,
> Erstmal zu den Nullstellen:
>
> Ansatz: [mm]x^3-3x+2=0[/mm]
> <=> [mm]x^3-3x=-2[/mm]
> <=> [mm]x(x^2-3)=-2[/mm]
> => x=-2 oder x=+/- [mm]\wurzel{3}[/mm] Wo ist der Fehler?
Der Fehler liegt darin, dass rechts eine Zahl steht,
die von Null verschieden ist.
Um die möglichen Nullstellen zu bestimmen,
probiere alle Teiler von 2 aus: [mm]-2, \ -1,\ +1,\+2[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 So 27.11.2011 | | Autor: | Amicus |
Achso, dann sind die Nullstellen also -2 und 1.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:26 So 27.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Achso, dann sind die Nullstellen also -2 und 1.
So ist es.
Mit der Polynmdivision
[mm] (x^3-3x+2):(x+2)=x^2-2x+1
[/mm]
Also:
[mm] x^3-3x+2=(x+2)(x^{2}-2x+1)=(x+2)(x-1)^{2}
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 So 27.11.2011 | | Autor: | Amicus |
Bei der Polynomdivision hab ich dann als Lösung y=x-2 raus, wie macht man dann weiter?
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Hallo Amicus,
> Bei der Polynomdivision hab ich dann als Lösung y=x-2
> raus, wie macht man dann weiter?
Das kann nicht sein.
Poste dazu die bisherigen Rechenschritte.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 So 27.11.2011 | | Autor: | Amicus |
Habs nochmal nachgerechnet und hab jetzt noch den Rest [mm] \bruch{4}{x^2+2x+1}
[/mm]
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Hallo Amicus,
> Habs nochmal nachgerechnet und hab jetzt noch den Rest
> [mm]\bruch{4}{x^2+2x+1}[/mm]
Dann hast Du demnach
[mm]\bruch{x^3-3*x+2}{\left(x+1\right)^{2}}=x-2+\bruch{4}{x^{2}+2x+1}=x-2+\bruch{4}{\left(x+1\right)^{2}}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 So 27.11.2011 | | Autor: | Amicus |
Ja genau. Und wie komm ich damit nun auf die Fläche?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:43 So 27.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ja genau. Und wie komm ich damit nun auf die Fläche?
Die Nullstelle ist die 1, also berechne:
[mm] \int\limits_{0}^{1}x-2+\frac{4}{\left(x+1\right)^{2}}dx
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 So 27.11.2011 | | Autor: | Amicus |
[mm] [1-0]-2+\bruch{4}{({1-0}+1)^2}=0 [/mm] ??
Was soll ich denn jetzt davon halten?
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Hallo!
> [mm][1-0]-2+\bruch{4}{({1-0}+1)^2}=0[/mm] ??
> Was soll ich denn jetzt davon halten?
Nicht viel. Ist dir aufgefallen das du durch "0" teilst?
Mach mal vor wie du dein Integral berechnet hast.
gruß Valerie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 So 27.11.2011 | | Autor: | Amicus |
Das hab ich doch in meinem Beitrag vorher geschrieben:
[mm] x-2+\bruch{4}{(x+1)^2}
[/mm]
[mm] (1-0)-2+\bruch{4}{(1-0+1)^2}
[/mm]
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Hallo, es ist doch erst die Stammfunktion zu berechnen, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 So 27.11.2011 | | Autor: | Amicus |
Gibt's zum Berechnen der Stammfunktion irgendeine bestimmte Methode? Ich glaub in dem Fall schaff ich es auch so, aber wär auf jeden Fall nicht schlecht, zu wissen wie das dann bei Funktionen mit komplizieteren Brüchen geht.
[mm] F(x)=0,5x^2-2x+\bruch{4x}{(x+1)}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1}{F(x) dx}=0,5 [/mm] (FE)
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Hallo, du hast doch
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{x^{3}-3x+2}{(x+1)^{2}} dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{1}{x-2+\bruch{4}{(x+1)^{2}} dx}
[/mm]
der Vorteil besteht doch jetzt darin, jeden Summanden einzeln zu bearbeiten,
[mm] F(x)=0,5x^{2}-2x-\bruch{4}{x+1}
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 So 27.11.2011 | | Autor: | Amicus |
Das Problem ist eben, dass ich keinen Bruch aufleiten kann.
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Hallo, bitte nicht "aufleiten"
du möchtest die Stammfunktion zu [mm] \bruch{4}{(x+1)^{2}} [/mm] bestimmen
setze mal z=x+1
so jetzt die Stammfunktion zu [mm] \bruch{4}{z^{2}}=4*z^{-2} [/mm] bestimmen,
[mm] (-1)*4*z^{-1}=-\bruch{4}{z}=-\bruch{4}{x+1}
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Mo 28.11.2011 | | Autor: | Amicus |
Okay, das hab ich verstanden!
Ich hab dann also:
[mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx}=[\bruch{1}{2}x^2-2x-\bruch{4}{x+1}] [/mm] mit den Grenzen 0 und 1.
Wenn ich das dann ausrechne komme ich auf -3,5 Flächeneinheiten. Kann ich dann einfach den Betrag nehmen und bin dann fertig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 Mo 28.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich komme auf einen anderen Wert des Integrals.
F(1)=-3,5
F(0)=-4
Also:
F(1)-F(0)=....
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:53 Mo 28.11.2011 | | Autor: | Amicus |
Ja, das kommt denke ich besser hin!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Mo 28.11.2011 | | Autor: | Amicus |
| Aufgabe | | b) Die y-Achse, der Graph von f, die Asymptote und die Gerade mit der Gleichung x=u mit u>0 schließen eine Fläche ein. Zeigen sie, dass für den Inhalt der Fläche gilt: [mm] A(u)=4-\bruch{4}{u+1}! [/mm] |
Ich denke, man muss die einzelnen Gleichungen in Beziehung zueinander setzen, aber wie?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Mo 28.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Skizziere das ganze mal, dann solltest du sehen, welche Fläche gemeint ist.
Dann solltest du auch sehen, zwischen welchen Graphen die Fläche liegen soll.
Da die Graphen "nach oben" keinen Schnittpunkt haben, setzt man mit der senkrechten Geraden x=0 die obere Integrationsgrenze variabel.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Mo 28.11.2011 | | Autor: | Amicus |
Eine Zeichnung von dem ganzen hab ich. Muss man dann f(x) - die Asymptote rechnen, und mit der Ergebnisfunktion dann das Integral von 0 bis u ausrechnen und das dann noch plus das Flächenstück im 2. Quadranten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:54 Mo 28.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Eine Zeichnung von dem ganzen hab ich. Muss man dann f(x) -
> die Asymptote rechnen, und mit der Ergebnisfunktion dann
> das Integral von 0 bis u ausrechnen und das dann noch plus
> das Flächenstück im 2. Quadranten?
Fast. Ich würde die Fläche oberhalb der x-Achse mit
[mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx}+\integral_{1}^{u}{f(x)-a(x) dx} [/mm] $ berechnen.
a(x) ist die Asymptote.
Das Dreieck unter der x-Achse kannst du auch ohne Integration bestimmen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 Mo 28.11.2011 | | Autor: | Amicus |
Also quasi so dann:
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{x^3-3x+2}{(x+1)^2} dx}+\integral_{1}^{u}{\bruch{-8x+4}{(x+1)^2} dx}+\bruch{1}{2}
[/mm]
Wie bilde ich die Stammfunktion von (-8u+4)*(u+1)^-2
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Mo 28.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Also quasi so dann:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{x^3-3x+2}{(x+1)^2} dx}+\integral_{1}^{u}{\bruch{-8x+4}{(x+1)^2} dx}+\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Wie bilde ich die Stammfunktion von (-8u+4)*(u+1)^-2
Das zweite Integral ist falsch.
[mm] f(x)-a(x)=x-2+\bruch{4}{(x+1)^{2}}-(x-2)=\bruch{4}{(x+1)^{2}}
[/mm]
Bestimme also
[mm] \int\limits_{1}^{u}\bruch{4}{(x+1)^{2}}dx
[/mm]
Substituiere dazu u:=x+1
Das erste Integral hast du schon ermittelt.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Mo 28.11.2011 | | Autor: | Amicus |
>
>
> Das zeite Integral ist falsch.
>
> [mm]f(x)-a(x)=x-2+\bruch{4}{(x+1)^{2}}-(x-2)=\bruch{4}{(x+1)^{2}}[/mm]
>
Warum rechnet man hier nicht mit f(x) sondern mit der Gleichung, die man durch Polynomdivision erhält?
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Hallo, deine Asymptote ist die Gerade g(x)=x-2, dieser nähert sich die Funktion f(x) beliebig an, der Zählergrad von f(x) ist um eins größer als der Nennergrad
[Dateianhang nicht öffentlich]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 Mo 28.11.2011 | | Autor: | Amicus |
Dann hab ich jetzt doch [mm] [x^2-2x-\bruch{4}{(x+1)}] [/mm] +4 oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 Mo 28.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Nein, wir hatten:
[mm] f(x)-a(x)=x-2+\bruch{4}{(x+1)^{2}}-(x-2)=\bruch{4}{(x+1)^{2}}
[/mm]
Aber das schrieb ich schon
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Mo 28.11.2011 | | Autor: | Amicus |
Das Stück unter der x-Achse sind ja 2 FE. Das Stück zw. 0 und 1 sind 0,5 FE. Jetzt noch plus das Integral von 1 bis u sind doch dann summa summarum
2,5 - [mm] [\bruch{4}{x+1}]. [/mm] Da soll aber 4 - [mm] [\bruch{4}{x+1}] [/mm] rauskommen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:59 Mo 28.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du musst doch noch das Integral bestimmen:
[mm] \int\limits_{1}^{u}f(x)-a(x)dx
[/mm]
[mm] =\int\limits_{1}^{u}\bruch{4}{(x+1)^{2}}dx
[/mm]
Aber auch das schrieb ich irgendwann schonmal, sogar schon mit dem passenden Ansatz der Substitution.
Lies doch bitte die Antworten etwas gründlicher.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Mo 28.11.2011 | | Autor: | Amicus |
So, ich hab's jetzt raus. Allerdings darf man nicht in [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx}+\integral_{1}^{u}{f(x)-a(x) dx} [/mm] unterteilen, sondern muss sofort [mm] \integral_{0}^{u}{f(x)-a(x) dx} [/mm] ausrechnen, weil man sonst das Stück unter der x-Achse außer Acht lässt. Wenn ich es so mache, wie ich es von Anfang an wollte, erhalte ich [mm] 4-\bruch{4}{u+1} [/mm] was auch als Lösung angegeben ist!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:14 Mo 28.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> So, ich hab's jetzt raus. Allerdings darf man nicht in
> [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx}+\integral_{1}^{u}{f(x)-a(x) dx}[/mm]
> unterteilen, sondern muss sofort
> [mm]\integral_{0}^{u}{f(x)-a(x) dx}[/mm] ausrechnen, weil man sonst
> das Stück unter der x-Achse außer Acht lässt.
Wenn die Fläche gesucht ist, ist der Weg aber nicht korrekt, da durch das Integrieren der Teil unter der x-Achse abgezogen wird.
> Wenn ich
> es so mache, wie ich es von Anfang an wollte, erhalte ich
> [mm]4-\bruch{4}{u+1}[/mm] was auch als Lösung angegeben ist!
Das wäre dann das Integral, nicht die Fläche.
Marius
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