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| Aufgabe | Das Dreieck ABC ist rechtwinklig, die Vierecke ACDE, BHIC und AFGB sind Quadrate über den Seiten a, b und c.
Zeigen Sie: Der Flächeninhalt des Sechsecks DEFGHI beträgt: Asechseck= 2(a*b+a*a+b*b) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Zusammen,
ich habe folgende Aufgabe in der Klausur gehabt. Leider komme ich auch nach langem Überlegen nicht auf die Lösung. (In der Mitte ist das rechtwinklige Dreieck, mit den Quadraten über den Seiten, die Quadrate sind verbunden sodass ein Sechseck entsteht.)
Ich weiß, dass man da mit dem Satz des Pytaghoras rangehen muss. Weiß auch, dass das Quadrat über der Seiteb: b*b ist, das das Quadrat über der Seite a: a*a ist und das Quadrat unter der Seite c: a*a + b*b ist.
Ich weiß aber nicht wie ich auf den ersten Teil der Formel komme, so dass am Ende 2(a*b+a*a+b*b) rauskommt.
Vielen Dank Im Vorraus 
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:00 Sa 28.03.2015 | | Autor: | rmix22 |
> Das Dreieck ABC ist rechtwinklig, die Vierecke ACDE, BHIC
> und AFGB sind Quadrate über den Seiten a, b und c.
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> Zeigen Sie: Der Flächeninhalt des Sechsecks DEFGHI
> beträgt: Asechseck= 2(a*b+a*a+b*b)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo Zusammen,
> ich habe folgende Aufgabe in der Klausur gehabt. Leider
> komme ich auch nach langem Überlegen nicht auf die
> Lösung. (In der Mitte ist das rechtwinklige Dreieck, mit
> den Quadraten über den Seiten, die Quadrate sind verbunden
> sodass ein Sechseck entsteht.)
>
> Ich weiß, dass man da mit dem Satz des Pytaghoras rangehen
> muss. Weiß auch, dass das Quadrat über der Seiteb: b*b
> ist, das das Quadrat über der Seite a: a*a ist und das
> Quadrat unter der Seite c: a*a + b*b ist.
OK, aber der Flächeninhalt von CDI ist NICHT $a*b$ nur fast. Ich dachte beim ersten Hinsehen schon, du hättest mit $a*b$ die Dreiecke CDI und ABC zussammengefasst, aber dann hab ich deine Angaben für AEF und BGH gesehen und die die völlig falsch.
Diese beiden letztgenanten Dreiecke sind es ja im Grunde, worin die Schwierigkeit liegt.
Es geht vermutlich viel einfacher, wenn man länger drüber nachdenkt, aber da möcht ich jetzt keine Zeit drauf verwenden. Daher wirst du nun mit meinem Ersteinfall beglückt 
Drehe in Gedanken das Dreieck BGH um den Punkt B um 90° (in mathem. pos. Drehsinn). Der Punkt H landet in C, B bleibt fest und G landet auf der Verlängerung der Dreiecksseite c - nennen wird den Punkt G*. Du kannst dir das leicht mit Normalwinkel überlegen. Das Dreieck BG*C hat mit BG*=c die Grundlinie c und offensichtlich (dritter Eckpunkt is C) die gleiche Höhe wie ABC. Wenn bei zwei Dreiecken aber eine Seite und die zugehörige Höhe gleich sind, dann werden sich deren Flächeninhalte wohl auch nicht sehr unterscheiden dürfen.
Somit kannst du die Sechseckfläche aus $ [mm] a^2, b^2, a^2+b^2 \mbox{ und } 4*\br{a*b}{2}$ [/mm] zusammenstückeln.
> Ich weiß aber nicht wie ich auf den ersten Teil der Formel
> komme, so dass am Ende 2(a*b+a*a+b*b) rauskommt.
Siehe oben.
> Vielen Dank Im Vorraus
Auch wenns noch so schön rrrrollt - es ist der "Voraus" ohne doppeltem "r"!
Gruß RMix
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Danke für deine Antwort.
Ich kann mir das immer räumlich schwer vorstellen, habe so meine Probleme damit :-(
a*a ergibt sich aus dem Quadrat über der Seite a.
b*b aus dem Quadrat über der Seite b
a*a+b*b aus dem Quadrat unter der Seite c.
Und wie kommst du auf die 4* a*b/2. Es bleiben ja dann noch drei Dreiecke AEF, CDI und GBH über. Die Lösung stimmt ja mit 4 a*b/2 weil ja am Ende 2*ab rauskommen soll. Aber weiß nicht wie. Sorry :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 Sa 28.03.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
nicht 3 Dreiecke sondern 4 nämlich noch ABC selbst
Gruss ledum
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Danke danke danke Das war mein Fehler, das hab ich die ganze Zeit vergessen. Jetzt habe ich es verstanden!
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Du hast schon erkannt, dass die Flächen [mm] a^2, b^2 [/mm] und [mm] c^2=a^2+b^2, [/mm] also insgesamt [mm] 2(a^2+b^2) [/mm] vorkommen. Außerdem hat das Dreieck GBH die selben Seitenlängen a und b sowie den rechten Winkel dazwischen, ist also - bis auf Spiegelung - kongruent zu dem inneren Dreieck ABC.
Jetzt kommt eine komplizierte Beschreibung, wenn du aber genau hinguckst, ist das gar nicht so kompliziert.
Betrachte nun Dreieck AFE und den Gesamtwinkel um A. AFE hat bei A einen Winkel, der mit den beiden rechten der Quadrate [mm] a^2 [/mm] und [mm] c^2 [/mm] und dem Winkel des Dreiecks ABC bei A zusammen 360 ° gibt. Also sind die beiden Winkel EAF und BAC zusammen 180°. Wenn du nun das Dreieck ABC um 90° um A drehst, Fällt die Seite AC auf die gleichlange Seite AE und (jetzt kommts:) AB dreht sich so weit, dass es FA geradlinig (!) verlängert. ABC klebt dann seitlich als Verlängerung mit AC an AE, Beide Teildreiecke haben dann jeweils als Grundseite die Länge [mm] b=FA=AB_{neu} [/mm] und die selbe Höhe [mm] a=B_{neu}C_{neu} [/mm] (rechter Winkel bei [mm] B_{neu} [/mm] und damit ebenfalls denselben Flächeninhalt.
Ebenso verfährst du mit Dreieck CDI.
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Hallo, ein anderer Weg
Dreieck ABC: [mm] \bruch{1}{2}*a*b
[/mm]
Dreieck DCI: [mm] \bruch{1}{2}*a*b
[/mm]
die drei Quadrate: [mm] a^2+b^2+c^2
[/mm]
jetzt die "Probleme", Dreieck EAC und BGH
bezeichnen wir den Winkel BAC mit [mm] \alpha
[/mm]
dann ist Winkel ABC mit [mm] 90^0-\alpha
[/mm]
Dreieck EAC: [mm] \bruch{1}{2}*b*c*sin(180^0-\alpha)
[/mm]
Dreieck BGH: [mm] \bruch{1}{2}*a*c*sin(90^0+\alpha)
[/mm]
für die beiden Dreiecke ergibt sich:
[mm] \bruch{1}{2}*b*c*sin(180^0-\alpha)+\bruch{1}{2}*a*c*sin(90^0+\alpha)
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}*b*c*[sin(180^0)*cos(\alpha)-cos(180^0)*sin(\alpha)]+\bruch{1}{2}*a*c*[sin(90^0)*cos(\alpha)+cos(90^0)*sin(\alpha)]
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}*b*c*sin(\alpha)+\bruch{1}{2}*a*c*cos(\alpha)
[/mm]
bedenke jetzt: [mm] a=c*sin(\alpha) [/mm] und [mm] b=c*cos(\alpha)
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}*b*a+\bruch{1}{2}*a*b=a*b
[/mm]
jetzt alle Flächen
[mm] A_g_e_s=a^2+b^2+c^2+a*b+a*b
[/mm]
[mm] A_g_e_s=a^2+b^2+c^2+2*a*b
[/mm]
bedenke weiterhin [mm] c^2=a^2+b^2
[/mm]
[mm] A_g_e_s=a^2+b^2+a^2+b^2+2*a*b
[/mm]
Steffi
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