Funktionsgleichungen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:23 Mo 17.09.2007 | | Autor: | mmhkt |
| Aufgabe | Eine Autovermietung bietet als Tagestarife für einen Transporter an:
1.) 51 EUR Grundpreis und zusätlich 0,42 EUR für jeden gefahrenen Kilometer.
2.) 78 EUR Grundpreis und zusätzlich 0,28 EUR für die Mehrkilometer; 50 km frei.
a.) Notiere jeweils für die Funktion Länge der Fahrstrecke (in km) ==> Mietkosten in (EUR) die entsprechende Funktionsgleichung.
b.) Zeichne beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem.
c.) Für welche Fahrstrecke sind die Mietkosten bei A günstiger als bei B? |
Hallo zusammen,
die Aufgabe steht im Buch "Mathematik heute 8 / Realschulen / Rheinland-Pfalz. Meine Tochter fragte mich hierzu um Rat, nun liegt meine Schulzeit schon reichlich lange zurück und ich merke mal wieder, was ich alles vergessen habe...
Bei der Frage a.) haben wir für die erste Funktion die Gleichung
y = 0,42x + 51 aufgestellt.
Für die zweite Funktion haben wir bisher keine Gleichung aufstellen können, weil wir nicht wissen wohin mit den 50 Freikilometern in einer solchen Gleichung.
Die Graphen sehen nach meiner Ansicht so aus wie auf der Skizze (nicht maßstäblich, dient nur zur Anschauung):
[Dateianhang nicht öffentlich]
Der Graph der ersten Funktion ( blau ) startet (oder schneidet die y-Achse) bei 51 EUR und steigt dann stetig mit dem Faktor 0,42 EUR/km.
Der Graph der zweiten Funktion ( rot ) startet (oder schneidet die y-Achse) bei 78 EUR und verläuft dann für die ersten 50 km ohne Steigung parallel zur x-Achse (weil diese Kilometer ja keine Mehrkosten über die 78 EUR Grundpreis hinaus verursachen) und beginnt erst ab Kilometer 51 mit dem Faktor 0,28 EUR/km zu steigen.
Danach schneiden sich beide Graphen bei einer Fahrstrecke von ca. 95 km.
Nun meine Frage:
Sind die oben dargestellten Überlegungen und Graphen richtig oder haben wir irgenwo einen Fehler drin?
Wie kann ich die 50 Freikilometer in einer Funktionsgleichung unterbringen?
Wenn der zweite Graph korrekt dargestellt sein sollte, wie sieht dann die Funktionsgleichung aus?
Für eine Erklärung die auch für durchschnittliche Matheschüler (und deren Väter...  ) verständlich ist, bedanke ich mich im Voraus.
Schönen Abend
mmhkt
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:41 Mo 17.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo mmhkt!
Das sieht doch schon alles wirklich sehr gut aus! ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
Für den Miet-Tarif mit den Frei-Kilometern müsst hier halt eine abschnittsweise Funktionsvorschrift angeben mit einer Unterteilung in $x \ [mm] \le [/mm] \ 50 \ [mm] \text{km}$ [/mm] und $x \ > \ 50 \ [mm] \text{km}$ [/mm] ::
[mm] $$T_2(x)=\begin{cases} 78, & \mbox{für } x \ \le \ 50 \ \text{km} \mbox{ } \\ 78+(x-50)*0.28 , & \mbox{für } x \ > \ 50 \ \text{km} \mbox{ } \end{cases}$$
[/mm]
Es geht auch alternativ durch die [mm] $\max$-Funktion, [/mm] nach welcher der größere Wert maßgebend ist:
[mm] $$T_2(x) [/mm] \ := \ [mm] \max\left\{ \ 78 \ ; \ 78+(x-50)*0,28 \ \right\} [/mm] \ = \ [mm] 78+\max\left\{ \ 0 \ ; \ (x-50)*0,28 \ \right\}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:52 Mo 17.09.2007 | | Autor: | mmhkt |
Hallo Loddar,
besten Dank für die schnelle Antwort und die freundlichen Worte!
Ich war mir beim zweiten Graphen nicht sicher, aber anders konnte ich mir den auch nicht vorstellen.
Eine geteilte Funktionsvorschrift kannte ich nicht (oder nicht mehr), ich vermutete aber so etwas wie zwei verschiedene Gleichungen, wußte aber nicht, ob und wie das geht.
Wie man weiß, sind Hausaufgaben ja auch dazu da, zu erkennen, wo es noch hapert und wo der Mathelehrer - in diesem Fall ein angenehmer jüngerer und engagierter Kollege - noch mal ansetzen kann.
Ob die Achtklässler allerdings mit der geteilten Funktionsvorschrift schon "kollidiert" sind, weiß ich nicht.
Mal sehen, was die nächste Stunde bringt.
Also dann, danke nochmals und einen angenehmen Abend!
mmhkt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:48 Mo 17.09.2007 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, ich habe es als Funktionen dargestellt, möchte ich es dir nun auch noch zeigen:
1. Fall: y=0,42x+51 rot gezeichnet
2. Fall: y=50 grün gezeichnet für 0km bis 50km, ab dem 51. km ist es dann die blaue Funktion
du erkennst auch schön die Schnittstelle bei ca 93km
[Dateianhang nicht öffentlich]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:01 Mo 17.09.2007 | | Autor: | mmhkt |
Hallo Steffi,
schönen Dank für die anschauliche Darstellung.
Wie gesagt - mal sehen, was der Lehrer sagt und die nächste Mathestunde bringt.
Kurioserweise fängt der das Buch von hinten an.
Es war eine rot markierte Aufgabe, früher waren das die mit den Sternchen.
Die kriegten zu unserer Zeit nur die Experten zum Knobeln und Knacken...
Schönen Gruß
mmhkt
|
|
|
| |
|
Hallo,
wenn ihr die Aufgabe bis zum Ende lösen möchtet, dann setze die Funktionen noch gleich:
0,42x+51=0,28(x-50)+78
0,42x+51=0,28x-14+78
0,14x=13
x=92,85km
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:28 Mo 17.09.2007 | | Autor: | mmhkt |
Hallo Steffi,
nur noch kurz zum Verständnis - das Unterstrichene gilt doch nach meinem Eindruck nur für die Strecke ab dem 51. Kilometer:
> 0,42x+51=0,28(x-50)+78
> 0,42x+51=0,28x-14+78
> 0,14x=13
> x=92,85km
Die 50 von x abzuziehen hatten wir auch schon anfangs erwogen, das kam mir aber nicht passend vor, weil der Grundpreis von 78 EUR ja nicht fällt, wenn man weniger fährt.
Wenn das aber zulässig ist, dann ist dein Beitrag für die Zukunft eine gute Hilfe gewesen.
Schönen Abend
mmhkt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:47 Mo 17.09.2007 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, an der Darstellung im Koordinatensystem erkennt ihr, der Schnittpunkt liegt auf jeden Fall bei x>50km, also benutzt ihr die Vorschrift 0,28(x-50)+78, die ja ab dem 51. km Gültigkeit hat,
ich möchte noch einen Schritt weiter gehen, setzen wir 0,42x+51=78, ihr erhaltet x=64,28km, also größer 50km, jetzt gilt ja ab dem 51. km die Vorschrift 0,28*(x-50)+78, mit der wir oben gerechnet haben,
Steffi
|
|
|
|
