Gauß < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:19 Mi 24.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Komme hier jetzt nicht weiter.
Ich soll für a, einen Wert einsetzen, damit die Gleichung 1, keine und unendlich viele Lösungen hat.
[mm] ax_{1}+x_{2}=a
[/mm]
[mm] ax_{1}+x_{3}=a
[/mm]
[mm] ax_{2}+x_{3}=a
[/mm]
habe jetzt gerechnet.
[mm] ax_{1}+x_{2}=a
[/mm]
[mm] -x_{2}+x_{3}=0
[/mm]
[mm] x_{2}(a+1)=a
[/mm]
so und jetzt weis ich nicht mehr weiter.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:34 Mi 24.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Komme hier jetzt nicht weiter.
> Ich soll für a, einen Wert einsetzen, damit die Gleichung
> 1, keine und unendlich viele Lösungen hat.
>
> [mm]ax_{1}+x_{2}=a[/mm]
> [mm]ax_{1}+x_{3}=a[/mm]
> [mm]ax_{2}+x_{3}=a[/mm]
>
> habe jetzt gerechnet.
>
> [mm]ax_{1}+x_{2}=a[/mm]
> [mm]-x_{2}+x_{3}=0[/mm]
> [mm]x_{2}(a+1)=a[/mm]
>
> so und jetzt weis ich nicht mehr weiter.
Hallo,
hat ne Weile gedauert, bis ich deinen Weg nachvollziehen konnte (paar Rechenbefehle wären nicht schlecht gewesen), aber es stimmt wohl bis hierher.
So schlimm ist das Ganze doch nicht, die letzte Gleichung hat nur noch eine Unbekannte.
Um nach [mm] x_2 [/mm] umzustellen, müsstest du (falls du das darfst) durch
(a+1) teilen.
Der kritische Fall wäre aber a=-1 (dann darfst du nicht durch (a+1) teilen. Untersuchen wir ihn zuerst:
Fall 1: a=-1
Dann würde [mm] x_2*0=-1 [/mm] gelten, was nicht geht. Also ist a nicht -1.
Fall 2: [mm] a\ne [/mm] -1
Dann gilt [mm] x_2=\bruch{a}{a+1} [/mm] und damit auch [mm] x_3=\bruch{a}{a+1}.
[/mm]
Jetzt kannst du [mm] \bruch{a}{a+1} [/mm] für [mm] x_2 [/mm] in der ersten Gleichung einsetzen und nach [mm] x_1 [/mm] umstellen Allerdings darst du nicht durch a teilen, wenn a=0. Der Fall a=0 muss wieder getrennt betrachtet werden.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Mi 24.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Ja, aber ich soll ja für den Parameter (a), Werte angeben, damit das LGS eine, keine oder unendlich viele Lösungen hat.
und das verstehe ich halt nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:56 Mi 24.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Ja, aber ich soll ja für den Parameter (a), Werte angeben,
> damit das LGS eine, keine oder unendlich viele Lösungen
> hat.
> und das verstehe ich halt nicht.
Hallo,
wir haben auf unserem Weg schon mal rausbekommen, dass a=-1 nicht moglich ist (da gibt es keine Lösungen).
Nun mach mal den Rest des Lösungsweges bis zum Ende weiter.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 Mi 24.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Ok, aber wenn ich hier meine andere Übungsaufgabe anschaue, dann bin ich mir nicht sicher wie ich das verstehen soll
[mm] ax_{1}+x_{2}+x_{3}=1
[/mm]
[mm] (a-1)x_{2}+x_{3}=1
[/mm]
[mm] (a-2)x_{3}=1
[/mm]
Da ist auch verlangt, das ich für "a" den Wert angebe, das das LGS eine, keine sowie unendlich viele Lsg. hat.
Nur ich kann ja nicht sagen, ich setzte für "a" 1, und 2 ein, oder?
Das geht ja nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 Mi 24.06.2009 | | Autor: | chrisno |
Was passiert denn, wenn Du a = -1 einsetzt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:59 Mi 24.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Na dann steht einmal in der Klammer -2 und-3
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Hallo
[mm] -x_1+x_2+x_3=1
[/mm]
[mm] -2x_2+x_3=1
[/mm]
[mm] -3x_3=1
[/mm]
aus der 3. Gleichung folgt [mm] x_3=-\bruch{1}{3}
[/mm]
aus der 2. Gleichung folgt [mm] x_2=-\bruch{2}{3}
[/mm]
aus der 1. Gleichung folgz [mm] x_1=-2
[/mm]
für a=-1 hast du also eine Lösung gefunden, gehe diesen Rechenweg jetzt allgemein, belasse also dein a stehen, betrachte die 3. Gleichung [mm] x_3=\bruch{1}{a-2}, [/mm] du erkennst, für a=2 kann es keine Lösung geben, die Division durch Null ist nicht definiert,
Steffi
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 11:55 Do 25.06.2009 | | Autor: | chrisno |
Hallo,
da waren wir oben schon weiter. Irgendwo steckt da ein Fehler.
Wenn wir von vorne anfangen, mit $a = -1$
[mm] $-x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] = -1 $
[mm] $-x_1 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = -1 $
[mm] $-x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = -1 $
Wie viele Lösungen hat das Gleichungssystem?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Do 25.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Ja, aber ich kann doch wenn ich eine Gleichung sehe nicht einfach sagen, a=-1, oder doch?
Das verstehe ich nicht.
Ich könnt doch auch einfach sagen ich setzte für a, nicht -1, sondern -2 ein.
Oder?
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Hallo, es geht doch in deiner Aufgabe auch darum zu klären, wann hat das Gleichungssystem KEINE Lösung, du hast die Gleichung gefunden
[mm] (a+1)x_2=a
[/mm]
[mm] x_2=\bruch{a}{a+1}
[/mm]
sieht ja eigentlich gut aus, aber für a=-1 wird der Nenner gleich Null, somit hat das Gleichungssystem für a=-1 keine Lösung
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Do 25.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Also hätte das Gleichungssystem für a=0 eine Lösung, und für
[mm] a\not=-1 [/mm] und [mm] \not=0 [/mm] unendlich viele Lösungen.
Habe ích das somit richtig verstanden?
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Hallo, untersuchen wir mal den Fall a=0
[mm] 0*x_1+x_2=0
[/mm]
[mm] 0*x_1+x_3=0
[/mm]
[mm] 0*x_2+x_3=0
[/mm]
[mm] x_2=x_3=0 [/mm] jetzt schaue dir mal [mm] x_1 [/mm] an, welche Möglichkeiten gibt es für [mm] x_1, [/mm] wenn a=0 ist, damit alle Gleichungen zu einer wahren Aussage werden,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Do 25.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Ok, mal sehen ob ich das jetzt verstanden habe.
Ich habe jetzt noch eine andere Aufgabe gerechnet.
[mm] ax_{1}+x_{2}=a
[/mm]
[mm] ax_{1}+x_{3}=a
[/mm]
[mm] ax_{2}+x_{3}=a
[/mm]
dann habe ich [mm] x_{3} [/mm] brechnet.
[mm] x_{3}=a-ax_{2}
[/mm]
das habe ich dann in die 2.Gleichung für [mm] x_{3} [/mm] eingesetzt.
also
[mm] ax_{1}+a-ax_{2}=a
[/mm]
nun habe ich nach [mm] ax_{1} [/mm] umgestellt.
also
[mm] ax_{1}=ax_{2}
[/mm]
und das habe ich nun in die 1. Gleichung eingesetzt.
also
[mm] ax_{2}+x_{2}=a
[/mm]
[mm] x_{2}(a+1)=a
[/mm]
[mm] x_{2}=\bruch{a}{(a+1)}
[/mm]
und dann würde ich Schlussfolgern das das LGS für a=-1 keine Lösung hat, richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 Do 25.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ice-Man!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Do 25.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Also würde ich auch Schlussfolgern, das es für a= 0 unendich viele Lösungen gíbt, korrekt?
Und ich würde auch sagen, das es eine Lösung gibt, wenn a ungleich 0 sowie ungleich -1 ist, stimmt das auch?
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Hallo, auch richtig, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Do 25.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Ich wollte jetzt noch eine Aufgabe rechnen, aber irgendwie weis ich jetzt nicht weiter.
[mm] x_{1}+x_{2}+x_{3}=a
[/mm]
[mm] ax_{1}-x_{3}=1
[/mm]
[mm] x_{1}-x_{2}-ax_{3}=0
[/mm]
Ich habe jetzt die 2.Gleichung nach [mm] x_{3} [/mm] aufgelöst.
[mm] x_{3}=-1+ax_{1}
[/mm]
Jetzt habe ich das berechnete [mm] x_{3} [/mm] in die 1.Gleichung eingesetzt
[mm] x_{1}+x_{2}+(-1)+ax_{1}=a
[/mm]
[mm] x_{1}+x_{2}-1+ax_{1}=a
[/mm]
[mm] x_{1}(1+a)+x_{2}-1=a
[/mm]
Und jetzt weis ich leider nicht mehr weiter.
Kann mir jemand einen Tipp geben?
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:41 Do 25.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Ich wollte jetzt noch eine Aufgabe rechnen, aber irgendwie
> weis ich jetzt nicht weiter.
>
> [mm]x_{1}+x_{2}+x_{3}=a[/mm]
> [mm]ax_{1}-x_{3}=1[/mm]
> [mm]x_{1}-x_{2}-ax_{3}=0[/mm]
>
> Ich habe jetzt die 2.Gleichung nach [mm]x_{3}[/mm] aufgelöst.
>
> [mm]x_{3}=-1+ax_{1}[/mm]
> Jetzt habe ich das berechnete [mm]x_{3}[/mm] in die 1.Gleichung
> eingesetzt
>
> [mm]x_{1}+x_{2}+(-1)+ax_{1}=a[/mm]
> [mm]x_{1}+x_{2}-1+ax_{1}=a[/mm]
> [mm]x_{1}(1+a)+x_{2}-1=a[/mm]
Hallo,
die erste und zweite Gleichung sind identisch.
Du hast also nur noch ein System aus zwei Gleichungen und zwei Unbekannten [mm] (x_1 [/mm] und [mm] x_2)
[/mm]
Du kannst jetzt eine Gleichung nach [mm] x_2 [/mm] umstellen und das in die andere einsetzen oder eine Gleichung von der anderen subtrahieren (auch da fällt [mm] x_2 [/mm] weg).
Gruß Abakus
>
> Und jetzt weis ich leider nicht mehr weiter.
> Kann mir jemand einen Tipp geben?
>
> Vielen Dank.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Do 25.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Ok, wenn du mir jetzt noch bitte erklären könntest, warum die 1.Gleichung gleich der 2. entspricht, dann verstehe ich das auch.
Danke nochmal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 Do 25.06.2009 | | Autor: | chrisno |
> $ [mm] x_{1}+x_{2}+(-1)+ax_{1}=a [/mm] $ Nr. 1
> $ [mm] x_{1}+x_{2}-1+ax_{1}=a [/mm] $ Nr. 2
> $ [mm] x_{1}(1+a)+x_{2}-1=a [/mm] $
Wenn Du in Nr. 1 die Klammer um -1 auflöst, steht Nr. 2 da.
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 21:56 Do 25.06.2009 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, abakus hat dich auf einen falschen Weg geführt, es handelt sich um ein und dieselbe Gleichung, du hast ja [mm] x_1 [/mm] ausgeklammert, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Do 25.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Wie seid ihr denn auf die 2. und 3. Gleichung gekommen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:07 Do 25.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Wie seid ihr denn auf die 2. und 3. Gleichung gekommen?
Wieso wir? Die hast du selbst aufgeschrieben.
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Hallo
(1) [mm] x_1+x_2+x_3=a
[/mm]
(2) [mm] a*x_1-x_3=1
[/mm]
(3) [mm] x_1-x_2-a*x_3=0
[/mm]
aus (2) folgt [mm] x_3=a*x_1-1
[/mm]
setze [mm] a*x_1-1 [/mm] für [mm] x_3 [/mm] in Gleichung (1) und (3) ein
in (1) [mm] x_1+x_2+a*x_1-1=a
[/mm]
in (3) [mm] x_1-x_2-a(a*x_1-1)=0
[/mm]
du hast zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Do 25.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Ok, erst einmal vielen Dank für deine Geduld.
Mal schauen ob ich das jetzt richtig verstehen.
Ich habe jetzt die 3.Gleichung zusammengefasst, und bin auf folgendes Ergebnis gekommen.
[mm] x_{1}-x_{2}-a^{2}-ax_{1}+a=0
[/mm]
Stimmt das, oder ist das jetzt komplett falsch von mir?
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Hallo, du hast die Klammer falsch aufgelöst
[mm] x_1-x_2-a^{2}*x_1+a=0
[/mm]
[mm] (a^{2}-1)x_1-x_2+a=0
[/mm]
du kannst
[mm] (a+1)x_1+x_2-1=a [/mm] umstellen [mm] x_2=a+1-(a+1)x_1
[/mm]
jetzt oben einsetzen
[mm] (a^{2}-1)x_1-a-1+(a+1)x_1+a=0
[/mm]
jetzt hast du eine Gleichung nur mit [mm] x_1, [/mm] fasse zusammen, stelle nach [mm] x_1 [/mm] um, dann kannst du dir die Bedingungen für a überlegen
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Do 25.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Aber wenn ich die Klammer auflöse, dann multipliziere ich doch den Faktor vor der Klammer mit jedem Faktor in der Klammer, oder?
und dann würde ich das so sehen, das da dann steht.
-a*a
[mm] -a*x_{1}
[/mm]
-a*-1
Wo ist denn da mein Fehler? Dann verstehe ich das warscheinlich.
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Hallo, es geht also um
[mm] -a(a*x_1-1)
[/mm]
du berechnest -a mal [mm] a*x_1 [/mm] gleich [mm] -a^{2}*x_1
[/mm]
du berechnest -a mal -1 gleich a
in der Klammer stehen doch nur zwei Summanden
Steffi
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