Grenzwert < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:02 So 27.09.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Ich habe da mal eine Frage.
Wenn ich bei einer Aufgabe den Grenzwert berechnen soll, und dann stehen habe
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}
[/mm]
oder ich den Grenzwert gegen Null laufen lassen soll.
Wie mach ich das bei der Berechnung?
Beispiel:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{5x^{2}-6}{x-2}
[/mm]
da ist ja der Grenzwert [mm] \infty
[/mm]
und bei
[mm] \limes_{n\rightarrow\circ}\bruch{5x^{2}-6}{x-2}
[/mm]
da ist ja der Grenzwert 3
bei der Berechnung setzte ich ja für die x-Werte jeweils Zahlen ein, die gegen 0, bzw. unendlich laufen.
aber wie formuliere ich das bei der berechnung genau?
danke
|
|
| |
|
Hallo Ice-Man,
Zunächst einmal sollte die Variable die du gegen einen Grenzwert laufen lässt, auch mit der Variable im Term übereinstimmen. D.h. bei deinen Beispielen untersuchst du die Grenzwerte von
$$ [mm]\limes_{x \rightarrow \infty}\bruch{5x^{2}-6}{x-2}[/mm]$$
und
$$ [mm]\limes_{x\rightarrow\circ}\bruch{5x^{2}-6}{x-2}[/mm]$$
Wie berechnet man nun die Grenzwerte: manchmal kann man Terme faktorisieren und dann kürzen. Hier reicht es jedoch Zähler & Nenner mit dem Reziproken eines Terms der Form [mm] $x^y$ [/mm] zu multiplizieren.
Hier bietet sich an dass du Zähler und Nenner mit [mm] $\frac{1}{x}$ [/mm] mutliplizierstt
Also:
$$ [mm] \limes_{x \rightarrow \infty}\bruch{5x^{2}-6}{x-2} [/mm] =
[mm] \limes_{x \rightarrow \infty}\bruch{\frac{5x^{2}}{x}-\frac{6}{x}}{\frac{x}{x}-\frac{2}{x}}$$
[/mm]
Zunächst kürzen wir:
[mm] $$\limes_{x \rightarrow \infty}\bruch{5x-\frac{6}{x}}{1-\frac{2}{x}}$$
[/mm]
Nun hast du nur noch Standardgrenzwerte für die du die Grenzwerte einzeln bestimmen kannst:
[mm] $$\limes_{x \rightarrow \infty}\bruch{5x-\frac{6}{x}}{1-\frac{2}{x}} [/mm] = [mm] \frac{\infty - 0}{ 1 - 0} [/mm] = [mm] \infty$$
[/mm]
Alternativ lässt sich mit der Regel von l'Hospital argumentieren.
Kriegst du die b) jetzt alleine hin?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:49 So 27.09.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Also ich würd das warscheinlich so machen. Ob ds nun stimmt, bzw. korrekt ist weis ich nicht.
[mm] \limes_{n\rightarrow\circ}=\bruch{5x^{2}-6}{x-2}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\circ}=\bruch{x(\bruch{5x^{2}}{x}-\bruch{6}{x})}{x(\bruch{1}{x}-\bruch{2}{x})}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\circ}=\bruch{5x-\bruch{6}{x}}{\bruch{1}{x}-\bruch{2}{x}}
[/mm]
stimmt das soweit?
|
|
|
| |
|
Hallo Ice-Man,
> Also ich würd das warscheinlich so machen. Ob ds nun
> stimmt, bzw. korrekt ist weis ich nicht.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\circ}=\bruch{5x^{2}-6}{x-2}[/mm]
Wieso läuft schon wieder n?
Schreibe sorgfältiger, zumal du schon auf diesen Fehler hingewiesen wurdest !!!
>
> [mm] $\limes_{n\rightarrow\circ}=\bruch{x(\bruch{5x^{2}}{x}-\bruch{6}{x})}{x(\red{\bruch{1}{x}}-\bruch{2}{x})}$
[/mm]
Dort muss eine [mm] \red{1} [/mm] stehen!
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\circ}=\bruch{5x-\bruch{6}{x}}{\bruch{1}{x}-\bruch{2}{x}}[/mm]
>
> stimmt das soweit?
Nein, das Ausklammern ist hier zur Betrachtung des [mm] \lim\limits_{\red{x}\to 0}\frac{5x^2-6}{x-2}$ [/mm] nicht sinnvoll.
$0$ ist doch kein "Problemfall" in dem Sinne, dass es Nullstelle oder gar Polstelle von [mm] $f(x):=\frac{5x^2-6}{x-2}$ [/mm] ist.
Berechne den Limes also geradeheraus: [mm] $\lim\limits_{x\to 0}\frac{5x^2-6}{x-2}=\frac{5\cdot{}0^2-6}{0-2}=\frac{-6}{-2}=3$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:07 So 27.09.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Ok,
also heißt das, das ich den Grenzwert selbst festlegen kann???
Was bedeutet das denn dann genau?
Das ich eine Funktion habe, und die dann gegen einen selbst gewählten wert laufen lasse?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 So 27.09.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Ok, dann frage ich nochmal für diese Aufgabe:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}=\bruch{5x^{2}-6}{x-2}
[/mm]
Jetzt setzte ich ja hier für x, Zahlen ein, die in Richtung "unendlich" gehen.
Folglich ist der Grenzwert ja "unendlich".
Also "nähert" sich ja die Funktion / Kurve dem "Wert" unendlich an.
Wenn ich jetzt schreiben würde "Limes gegen 0" dann kommt ja als Grenzwert 3 heraus.
Und das verstehe ich nicht ganz, wie eine Funktion (oder warum) verschiedene Grenzwerte haben kann.
|
|
|
| |
|
Hallo, du möchtest doch einmal die Annäherung an "unendlich", dann die Annäherung an "Null", das sind zwei verschiedene Aufgaben, Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 So 27.09.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Ja, das stimmt ja, aber wieso kann ich das denn verändern....?
Ich dachte, das sich eine Funktion nur an einen Wert annähert.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:51 So 27.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ice-Man!
> Ja, das stimmt ja, aber wieso kann ich das denn verändern....?
Wer verändert denn was?
Welcher Grenzwert nun gesucht wird, muss sich aus der Aufgabenstellung ergeben!
> Ich dachte, das sich eine Funktion nur an einen Wert annähert.
Tut sie i.d.R. auch. aber wenn man verschiedene Punkte betrachtet, kommen natürlich auch unterschiedliche Ergebnisse heraus.
Denn ein Funktionswert für sehr große $x_$ (also für [mm] $x\rightarrow +\infty$ [/mm] ) muss nichts mit dem Funktionwert für z.B. [mm] $x\rightarrow [/mm] 2$ zu tun haben.
Interessant sind diese Grenzwertuntersuchungen für spezielle x-Werte, wenn es sich hierbei um Definitionslücken handelt.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 20:54 So 27.09.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Also ich weis ja jetzt nicht, ob ich falsch schlussfolgere, aber dann ist doch so eine Aufgabenstellung, wie ich gepostet habe icmmer einfach,da ich ja für "x" nur Werte einsetzen muss, die sich an den "gegebenen Grenzwert" annähern....
|
|
|
| |
|
Hallo
> Also ich weis ja jetzt nicht, ob ich falsch schlussfolgere,
> aber dann ist doch so eine Aufgabenstellung, wie ich
> gepostet habe icmmer einfach,da ich ja für "x" nur Werte
> einsetzen muss, die sich an den "gegebenen Grenzwert"
> annähern....
Dein Beispiel ist jetzt sehr einfach, da hast du recht.. aber berechne beispielsweise:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{sin(x)}{x}
[/mm]
Da kannst du nicht einfach ne 0 einsetzen, da dann durch 0 dividiert werden würde.
Solche Grenzwertaufgaben sind nicht immer blosses einsetzen, man muss sich da schon nützlicher Werkzeuge bedienen (In diesem Fall hier kann man entweder abschätzen, oder die Regel von L'Hospital anwenden).
Grüsse, Amaro
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 So 27.09.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Kann man in meinem Beispiel dieses Regel auch anwenden...?
Wenn ja, wie würde das dann ausschauen?
Vielen Dank
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:29 So 27.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ice-Man!
Welche Regel meinst Du? Die  Grenzwertsätze nach de l'Hospital?
Die Anwendung dessen ist an die Bedingung geknüpft, dass für den betrachteten Grenzwert ein unbestimmter Ausdruck wie [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] oder [mm] $\pm\bruch{\infty}{\infty}$ [/mm] vorliegt.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:59 So 27.09.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo iceman
Wenn du diese Regel nicht hattest, lass die finger davon!
2. eine Ahnung was der GW ist hat man immer, wenn man einige x in der Naehe einsetzt.
Aber genauer muss man schon vorgehen.
Wenn der Nenner einer Zahl gegen unendlich geht und der Zaehler nicht, geht die Zahl gegen 0.
Wenn der Zaehler gegen unendlich geht und der Nenner nicht, geht die Zahl gegen unendlich.
Wenn beide gegen 0 oder unendlich gehen wirds schwieriger. Man versucht dann in Z und N auszuklammern.
Aber wart bis solche aufgaben wirklich kommen, und geh dann dran, das wird, falls sie kommen sicher noch besprochen.
Gruss leduart
|
|
|
|
![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]"){kind=small}
Das sollte doch aus der jeweiligen Aufgabenstellung hervorgehen.
