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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 Sa 11.06.2016 | | Autor: | b.reis |
| Aufgabe | Wir betrachten die Menge M= [mm] \IZ_2 [/mm] x [mm] \IZ_3
[/mm]
Wobei wir das erste Element mod 2 und das zweite mod 3 betrachten.
Wir definieren nun eine binäre Operation auf M durch [mm] (x_1 [/mm] , [mm] y_1) \oplus(x_2 [/mm] , [mm] y_2):= ((x_1 +x_2) [/mm] mod 2), [mm] ((y_1 +(-1)^{x_1} *y_2) [/mm] mod 3 ) |
Hallo,
Ich suche das neutrale Element, da ich begründen muss, dass es sich bei (M, [mm] \oplus) [/mm] um eine Gruppe handelt.
Meine erste Idee war die Null, die funktioniert aber nur, wenn zb. [mm] x_1 [/mm] und [mm] y_1 [/mm] kleiner als 3 oder 2 zB. 1 mod 2, 1 mod 3. Dann ergibt (1,0) [mm] \oplus [/mm] (0,0) (1,0) und (0,0) wäre ein neutrales Element
Dann habe ich mir überlegt, ob es mit dem mod 2/3 zusammenhängt, aber ich habe keine Ahnung.
Jemand ne Idee wie man das neutrale Element findet ?
Danke
Benni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:25 Sa 11.06.2016 | | Autor: | Ladon |
Hallo reis,
ich verstehe dein Problem nicht. $(0,0)$ ist doch ein wunderbares neutrales Element für [mm] $\IZ_2\times\IZ_3$ [/mm] mit der besagten Verknüpfung [mm] $\oplus$.
[/mm]
Es ist [mm] $\forall (x,y)\in\IZ_2\times\IZ_3:$
[/mm]
[mm] $$(x,y)\oplus(0,0)=(x+0\mod 2,y+(-1)^{x}\cdot 0\mod 3)=(x\mod2,y\mod3)=(x,y)$$
[/mm]
[mm] $$(0,0)\oplus(x,y)=(0+x\mod2,0+(-1)^0\cdot y\mod3)=(x\mod2,y\mod3)=(x,y)$$ [/mm]
Damit ist $(0,0)$ doch ein wunderbares neutrales Element. Das letzte Gleichheitszeichen ergibt sich daraus, dass [mm] $x\in\IZ_2$ [/mm] und [mm] $y\in\IZ_3$ [/mm] ist.
VG
Ladon
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