Gruppenoperation, Untergruppen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:54 Mi 15.06.2011 | | Autor: | paula_88 |
| Aufgabe | Sei [mm] (G,\cdot) [/mm] eine Gruppe, seien [mm] U_{1} [/mm] und [mm] U_{2} [/mm] Untergruppen von G und seien a,b [mm] \in [/mm] G.
Welche der folgenden Mengen bilden Untergruppen von G bzgl. der Gruppenoperation [mm] \cdot [/mm] von G?
a) [mm] U_{1} \cap U_{2}
[/mm]
b) [mm] U_{1} \cup U_{2}
[/mm]
c) [mm] \{a^{n} \cdot b^{m}: n,m \in \IZ\} [/mm] |
Hallo an alle,
bei dieser Aufgabe tu ich mich ein bisschen schwer.
Es ist nichts zu beweisen, nur im Kopf zu überlegen und ich stocke 
Mir ist bewusst, was Untergruppen sind, wären Beispiele gegeben könnte ich auch sagen ob U eine Untergruppe von G wäre oder nicht.
Leider komme ich mit der Operation, die gegeben ist, nicht ganz klar.
Wie sieht diese Operation aus und wie kann ich es im Kopf testen, ob sie eine Untergruppe bildet?
Was eine Vereinigung und ein Durchschnitt ist, ist mir auch klar.
Vielleicht könnte mir jemand die Aufgabe einfach ein bisschen näher bringen, in dem mir erklärt wird, wie diese Operation aussieht und was genau zu prüfen ist bzgl der Untergruppen.
Vielen Dank, eure Paula
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:24 Mi 15.06.2011 | | Autor: | meili |
Hallo Paula,
> Sei [mm](G,\cdot)[/mm] eine Gruppe, seien [mm]U_{1}[/mm] und [mm]U_{2}[/mm]
> Untergruppen von G und seien a,b [mm]\in[/mm] G.
>
> Welche der folgenden Mengen bilden Untergruppen von G bzgl.
> der Gruppenoperation [mm]\cdot[/mm] von G?
> a) [mm]U_{1} \cap U_{2}[/mm]
> b) [mm]U_{1} \cup U_{2}[/mm]
> c) [mm]\{a^{n} \cdot b^{m}: n,m \in \IZ\}[/mm]
>
> Hallo an alle,
> bei dieser Aufgabe tu ich mich ein bisschen schwer.
> Es ist nichts zu beweisen, nur im Kopf zu überlegen und
> ich stocke
>
> Mir ist bewusst, was Untergruppen sind, wären Beispiele
> gegeben könnte ich auch sagen ob U eine Untergruppe von G
> wäre oder nicht.
> Leider komme ich mit der Operation, die gegeben ist, nicht
> ganz klar.
> Wie sieht diese Operation aus und wie kann ich es im Kopf
> testen, ob sie eine Untergruppe bildet?
Leider ist diese Operation ganz allgemein eine Operation, die
G zu einer Gruppe macht. Über diese Operation ist also nicht mehr
bekannt, als dass sie die  Gruppenaxiome erfüllt.
Auch über G ist nichts konkret bekannt, ausser dass G eine Gruppe ist.
Ebenso [mm] $U_1$ [/mm] und [mm] $U_2$ [/mm] sind Untergruppen, ohne dass man weiteres
über sie weis.
> Was eine Vereinigung und ein Durchschnitt ist, ist mir
> auch klar.
>
> Vielleicht könnte mir jemand die Aufgabe einfach ein
> bisschen näher bringen, in dem mir erklärt wird, wie
> diese Operation aussieht und was genau zu prüfen ist bzgl
> der Untergruppen.
Bei a) ist z.B. für $a,b [mm] \in U_1 \cap U_2$ [/mm] zu zeigen [mm] $ab^{-1} \in U_1 \cap U_2$. [/mm]
Dabei kann man nur nutzen [mm] $U_1$ [/mm] und [mm] $U_2$ [/mm] sind Untergruppen von G.
>
> Vielen Dank, eure Paula
Gruß
meili
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