Häufungspunkte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 Fr 17.01.2014 | | Autor: | Ymaoh |
| Aufgabe | | Wieviele Häufungspunkte kann eine Folge höchstens haben? Beweisen sie ihre Behauptung! |
Ich würde mal sagen, dass die Anzahl der Häufungspukte nicht begrenzt ist. Aber ich weiß weder, ob das stimmt, noch wie ich es beweisen soll.
Ich weiß auch gar nicht genau, wie man Häufungspunkte bestimmt. Bis jetzt haben wir noch Grenzwerte bestimmt. Die sind zwar immer auch Häufungspunkte, aber es kann ja durchaus Häufungspunkte geben, die keine Grenzwerte sind. Grenzwerte gibt es meines Erachtens immer nur einen.?
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Hallo Ymaoh,
Du sondierst erst mal die Lage, nehme ich an.
> Wieviele Häufungspunkte kann eine Folge höchstens haben?
> Beweisen sie ihre Behauptung!
> Ich würde mal sagen, dass die Anzahl der Häufungspukte
> nicht begrenzt ist. Aber ich weiß weder, ob das stimmt,
> noch wie ich es beweisen soll.
Stimmt auf jeden Fall.
Die Folge [mm] a_k=\sin{\left(\bruch{2k}{n}\pi\right)} [/mm] mit [mm] n\in\IN [/mm] hat für ungerades n genau n Häufungspunkte. Für gerades n sieht das anders aus, überleg mal selbst.
Die Folge [mm] b_k=\sin{(n\pi)} [/mm] hat sogar unendlich viele Häufungspunkte.
> Ich weiß auch gar nicht genau, wie man Häufungspunkte
> bestimmt. Bis jetzt haben wir noch Grenzwerte bestimmt. Die
> sind zwar immer auch Häufungspunkte, aber es kann ja
> durchaus Häufungspunkte geben, die keine Grenzwerte sind.
Stimmt. Einfachster Fall: [mm] c_n=(-1)^n
[/mm]
> Grenzwerte gibt es meines Erachtens immer nur einen.?
Ja, per definitionem.
Eine richtige Beweisidee habe ich aber auch nicht und lasse die Frage also lieber halboffen.
Grüße
reverend
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> Die Folge [mm]b_k=\sin{(n\pi)}[/mm] hat sogar unendlich viele
> Häufungspunkte. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
n = ?
Guten Abend reverend,
ich vermute, dass du da etwas anderes gemeint hast.
Zum Beispiel:
$\ [mm] b_k\ [/mm] =\ [mm] \sin(k)$
[/mm]
LG , Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:57 Fr 17.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
nachdem du mit [mm] (a_k) [/mm] eine Folge mit jeder Art endlich vieler Häufungspunkte und mit [mm] (b_k) [/mm] (nach Als Korrektur) eine Folge mit überabzählbar vielen Häufungspunkten angegeben hast und etwa [mm] (d_k) [/mm] mit $ [mm] d_k [/mm] = k - [mm] 10^{\lfloor log_{10}k \rfloor} [/mm] $ eine Folge mit abzählbar vielen Häufungspunkten ist -- was ist jetzt noch zu beweisen ?
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 Fr 17.01.2014 | | Autor: | Ymaoh |
Ähm......
Hat [mm] b_k [/mm] nicht nur einen Häufungspunkt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:36 Fr 17.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
wegen der Transzendenz von [mm] \pi [/mm] liegen die Sinus-Werte von natürlichen Zahlen "beliebig verstreut" im Intervall [-1, 1]. Genauer gesagt ist jede Zahl z aus diesem Intervall Häufungspunkt, weil es zu jeder Umgebung von z unendlich viele natürliche Zahlen k gibt, so dass sin(k) in dieser Umgebung liegt.
Gruß Sax.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:59 Fr 17.01.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> Hallo Ymaoh,
>
> Du sondierst erst mal die Lage, nehme ich an.
>
> > Wieviele Häufungspunkte kann eine Folge höchstens haben?
> > Beweisen sie ihre Behauptung!
> > Ich würde mal sagen, dass die Anzahl der
> Häufungspukte
> > nicht begrenzt ist. Aber ich weiß weder, ob das stimmt,
> > noch wie ich es beweisen soll.
welche Definition des Begriffs Häufungspunkt liegt vor?
> Stimmt auf jeden Fall.
>
> Die Folge [mm]a_k=\sin{\left(\bruch{2k}{n}\pi\right)}[/mm] mit
> [mm]n\in\IN[/mm] hat für ungerades n genau n Häufungspunkte. Für
> gerades n sieht das anders aus, überleg mal selbst.
>
> Die Folge [mm]b_k=\sin{(n\pi)}[/mm] hat sogar unendlich viele
> Häufungspunkte.
>
> > Ich weiß auch gar nicht genau, wie man Häufungspunkte
> > bestimmt. Bis jetzt haben wir noch Grenzwerte bestimmt. Die
> > sind zwar immer auch Häufungspunkte, aber es kann ja
> > durchaus Häufungspunkte geben, die keine Grenzwerte sind.
>
> Stimmt. Einfachster Fall: [mm]c_n=(-1)^n[/mm]
>
> > Grenzwerte gibt es meines Erachtens immer nur einen.?
>
> Ja, per definitionem.
Wieso per Definitionem? Das ist die Eindeutigkeit des Grenzwerts etwa
in einem metrischen Raum. Bspw. in einem halbmetrischen Raum sind
Grenzwerte alles andere als eindeutig.
> Eine richtige Beweisidee habe ich aber auch nicht und lasse
> die Frage also lieber halboffen.
Wozu fehlt nun der Beweis genau? Eine Folge [mm] $(a_{n})_n$ [/mm] (in einem metrischen
Raum) konvergiert genau dann gegen ein Element [mm] $a\,$ [/mm] des Raumes, wenn jede
Teilfolge [mm] $(a_{n_k})_k$ [/mm] von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] gegen [mm] $a\,$ [/mm] konvergiert. (Das kann man ja selbst
mal beweisen.)
Wenn nun eine Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] gegen [mm] $a\,$ [/mm] konvergiert, so gibt es natürlich auch eine
TF, die gegen [mm] $a\,$ [/mm] konvergiert: Die Folge selbst, oder man nimmt sich
irgendwas, was eine TF definiert, etwa [mm] $(a_{k^2})_k$ [/mm] oder [mm] $(a_{p(k)})_k$ [/mm] mit $p(k)=k$-te Primzahl
oder ...
Hat eine Folge keinen HP, so kann sie auch keinen GW haben. Hat sie
mindestens zwei HPe, so gibt es eine erste TF, die gegen den ersten HP
konvergiert und eine zweite, die gegen den zweiten konvergiert. Dann
läßt sich eine Mischfolge basteln, die divergent sein muss...
Oder geht's um die Eindeutigkeit des Grenzwertes? Die kann man so
beweisen (ich beschränke mich auf reelle Folgen, die Verallgemeinerung
auf metrische Räume ist fast offensichtlich):
Sei [mm] $(a_n)_n$ [/mm] konvergent gegen [mm] $a\,$ [/mm] und auch gegen [mm] $b\,.$ [/mm] Zu [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ gibt es
[mm] $N_1,N_2$ [/mm] mit
[mm] $|a_n-a| [/mm] < [mm] \epsilon/2$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N_1$
[/mm]
und
[mm] $|a_n-b| [/mm] < [mm] \epsilon/2$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N_2.$
[/mm]
Für $n [mm] \ge \max\{N_1,N_2\}$ [/mm] folgt
$|a-b| [mm] \le |a-a_n|+|a_n-b| [/mm] < [mm] \epsilon.$
[/mm]
Mit [mm] $\epsilon \to [/mm] 0$ folgt [mm] $|a-b|=0\,,$ [/mm] also $a-b=0$ bzw. [mm] $a=b\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:54 Fr 17.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Wieviele Häufungspunkte kann eine Folge höchstens haben?
> Beweisen sie ihre Behauptung!
Bist du dir sicher, dass es hier nicht um beschränkte Folgen geht?
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:30 Fr 17.01.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wieviele Häufungspunkte kann eine Folge höchstens haben?
> Beweisen sie ihre Behauptung!
> Ich würde mal sagen, dass die Anzahl der Häufungspukte
> nicht begrenzt ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
ein Beispiel
[mm] $a_1:=1\,,$
[/mm]
[mm] $a_2:=1,$ $a_3:=2\,,$
[/mm]
[mm] $a_4:=1,$ $a_5:=2,$ $a_6:=3,$ $a_7:=4,$
[/mm]
...
(Man sollte auch mal versuchen, das zu formalisieren: Ist $k [mm] \in \IN\,,$ [/mm] so gibt
es genau ein [mm] $n=n_k \in \IN_0$ [/mm] mit [mm] $2^n \le [/mm] k < [mm] 2^{n+1}$ [/mm] (Warum?) Dann definieren wir für
dieses natürliche [mm] $k\,$ [/mm] mit [mm] $2^n \le [/mm] k < [mm] 2^{n+1}$ [/mm] dann [mm] $a_k$ [/mm] durch [mm] $a_k:=...$
[/mm]
Tipp dazu: Es ist bspw. [mm] $2^2=4 \le [/mm] 6 < [mm] 2^3=8$ [/mm] und es ist
[mm] $a_6:=6-2^2+1=6-4+1=2+1=3.$
[/mm]
Oder es wäre
[mm] $a_{10}=10-2^3+1=3$...)
[/mm]
Welche Häufungspunkte hat diese Folge (offensichtlich)?
Ich denke, was aber hier auch noch gezeigt werden soll: Ein Folge kann
höchstens "abzählbar unendlich viele" Häufungspunkte haben! (Ich denke,
dass man dazu sowas wie "abzählbare Vereinigungen abzählbarer Mengen
sind abzählbar" heranziehen kann, wenn man das zu beweisen versucht!)
Hinweis (siehe nachfolgende Diskussion): Wenn hier die (eigentlich gängige)
Definition
[mm] $a\,$ [/mm] heißt HP von [mm] $(a_n)_n,$ [/mm] wenn es eine TF [mm] $(a_{n_k})_k$ [/mm] von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] gibt, die gegen [mm] $a\,$ [/mm] konvergiert
verwendet wird, ist das Rotmarkierte falsch.
Wenn ihr aber die Definition "... HP, wenn der Wert unendlich oft angenommen
wird" verwendet werden sollte (was vielleicht unwahrscheinlich, aber nicht
unmöglich ist), dann wäre das Rotmarkierte korrekt.
Am Besten lieferst Du mal Eure Definition nach!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:38 Fr 17.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
das stimmt ja wohl nicht, wie das obige Beispiel schon gezeigt hat.
Oder nimm die Cantor'sche Abzählung von [mm] \IQ [/mm] und die Tatsache, dass [mm] \IQ [/mm] dicht in [mm] \IR [/mm] liegt.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:53 Fr 17.01.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sax,
> Hi,
>
> das stimmt ja wohl nicht, wie das obige Beispiel schon
> gezeigt hat.
> Oder nimm die Cantor'sche Abzählung von [mm]\IQ[/mm] und die
> Tatsache, dass [mm]\IQ[/mm] dicht in [mm]\IR[/mm] liegt.
ich glaube, dass das mit der Auffassung des Begriffes "Häufungspunkt einer
Folge" zusammenhängt, ob meine Antwort richtig oder falsch ist:
https://matheraum.de/read?i=354513
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:36 Fr 17.01.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sax,
> Hi Marcel,
>
> wollen wir nicht im Matheraum die
> Definition des Mathe-Raums
> benutzen ?
ne, ich schlage hier doch nicht permanent Definitionen nach. Sagen wir es
mal so: Ich habe bei meiner Antwort in der Tat etwas verwechselt, denn
anstatt die "gängige" Definition zu benutzen, passt meine Antwort nur zu
der, die hier in [mm] $(\*)$ [/mm] steht:
https://matheraum.de/read?i=354914
Nachdem ich meine (oben zuerst zitierte) Antwort nochmal selbst
durchgelesen habe, ist es in der Tat so, dass - mit der dortigen Definition -
es durchaus möglich ist, dass eine Folge überabzählbar viele HPe haben
kann. Aber dafür fehlt noch ein "Konstruktionsverfahren", die das auch
beweist (wobei ich den Thread hier noch nicht ganz durchgelsen habe).
Nichtsdestotrotz war es gut, dass ich mich an die andere, wenn auch mit
dieser Definition hier, falsche Antwort erinnert habe. Denn mal unabhängig
von den Definitionen, die im MR stehen:
Wir sollten mit denen arbeiten, die der Aufgabensteller liefert.
Und wenn er halt sowas wie in [mm] $(\*)$ [/mm] liefert, dann wird er auch zu meinem
Ergebnis kommen:
> $ [mm] (\*) [/mm] $ Ein Punkt ist Häufungspunkt einer Folge genau dann, wenn es
> unendliche viele Folgenglieder gibt, die den Wert des Punktes
> annehmen.
Im Endeffekt können wir hier unsere eigenen Definitionen, die wir kennen
(und teilweise für sinnvoll oder weniger sinnvoll halten - [mm] $(\*)$ [/mm] ist eigentlich
schon wirklich "speziell") arbeiten. Aber die "richtige Antwort" für den
Aufgabensteller können wir erst dann geben, wenn wir deren Definition
kennen!
Mein Fazit wäre also: Hoffen wir, dass wir erfahren, wie der Begriff des
"Häufungspunkts einer Folge" bei denen definiert wurde und nehmen
nicht einfach das, was wir irgendwo finden (oder auch selbst vorschlagen).
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 So 19.01.2014 | | Autor: | Ymaoh |
Da hab ich ja was losgetreten....das verwirrt mich ja nur umso mehr :)
Ich kopier einfach mal rein, was in unserem Vorlesungskript steht zum Häufungspunkt:
Das so genannte H¨aufungspunktprinzip kann dann folgendermaßen formuliert werden:
Hat man in einem endlichen abgeschlossenen Intervall [a, b] = { x [mm] \in \IR [/mm] | a [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] b } [mm] \subset \IR [/mm] eine Folge [mm] x_{n} [/mm] gegeben, dann existiert in diesem Intervall
mindestens ein H¨aufungspunkt [mm] \varepsilon \in [/mm] [a,b] von [mm] x_n [/mm] . Mit H¨aufungspunkt ist
gemeint, dass in jeder noch so kleinen Umgebung von [mm] \varepsilon [/mm] unendlich viele Folgenglieder liegen. Besitzt eine Folge genau einen H¨aufungspunkt, so
ist sie konvergent und hat diesen H¨aufungspunkt als Grenzwert.
Das Intervall würde dann doch quasi die "Teilfolge" beschreiben, oder nicht? Allerdings weiß ich nicht, warum dann auf jedenfall ein Häufungspunkt existieren muss...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 So 19.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Allerdings weiß ich nicht, warum dann auf jedenfall ein Häufungspunkt existieren muss...
Wenn eine Folge [mm] a_n [/mm] einen Grenzwert besitzt, dann konvergieren alle Teilfolgen [mm] a_{n_k} [/mm] gegen diesen. Für einen Häufungspunkt ist es hinreichend, dass eine Teilfolge gegen den Häufungspunkt konvergiert. Jeder Häufungspunkt einer Teilfolge ist auch Häufungspunkt der Ausgangsfolge.
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 So 19.01.2014 | | Autor: | Ymaoh |
Okay, dass ist einleuchtend. Allerdings bin ich jetzt mit der Ausgangsfrage immer noch nicht wirklich weiter...
Also, der Häufungspunkt einer Folge ist ja der Grenzwert einer Teilfolge, richtig? Und theoretisch kann ich eine Folge doch in unendlich viele Teilfolgen untergliedern, die alle einen Grenzwert haben können....vlt. muss der Beweis irgendwie auf diesem Wege passieren? Wüsste aber nicht genau wie...
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Hallo Ymaoh,
> Okay, dass ist einleuchtend. Allerdings bin ich jetzt mit
> der Ausgangsfrage immer noch nicht wirklich weiter...
>
> Also, der Häufungspunkt einer Folge ist ja der Grenzwert
> einer Teilfolge, richtig? Und theoretisch kann ich eine
> Folge doch in unendlich viele Teilfolgen untergliedern, die
> alle einen Grenzwert haben können....vlt. muss der Beweis
> irgendwie auf diesem Wege passieren? Wüsste aber nicht
> genau wie...
Du brauchst eine passende Folge, z.B. so:
Sei [mm] n\ge{2} [/mm] und [mm] p_{max}(n) [/mm] der größte Primfaktor von n. z.B. ist [mm] p_{max}(50)=5
[/mm]
Wir definieren für [mm] n\ge{2} [/mm] die Folge [mm] (a_n)_n [/mm] mit [mm] a_n=\bruch{1}{n}+p_{max}(n)
[/mm]
Nun betrachtest Du für jede Primzahl [mm] p\in\IP [/mm] die Teilfolge
[mm] a_p,\; a_{p^2},\; a_{p^3},\;\cdots
[/mm]
Jede solche Teilfolge konvergiert gegen das gewählte p. Es gibt daher abzählbar unendlich viele Häufungspunkte in [mm] (a_n)_n.
[/mm]
Das sollte reichen.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 So 19.01.2014 | | Autor: | Ymaoh |
Wie meinst du das, man betrachtet für jede Primzahl p die Teilfolge [mm] a_p [/mm] ?
Das ist doch immer nur ein Folgeglied?
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Hallo,
> Wie meinst du das, man betrachtet für jede Primzahl p die
> Teilfolge [mm]a_p[/mm] ?
Das habe ich nicht geschrieben, sondern [mm] a_p, a_{p^2}, a_{p^3},\cdots
[/mm]
> Das ist doch immer nur ein Folgeglied?
Nein, es ist eine unendliche Teilfolge. Der Index durchläuft alle Potenzen der gewählten Primzahl.
Für $p=2$ also [mm] a_2, a_4, a_8, a_{16}, a_{32}, a_{64} [/mm] usw.
Allgemeiner [mm] (a_{p^i})_{i\in\IN}.
[/mm]
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 So 19.01.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Okay, dass ist einleuchtend. Allerdings bin ich jetzt mit
> der Ausgangsfrage immer noch nicht wirklich weiter...
>
> Also, der Häufungspunkt einer Folge ist ja der Grenzwert
> einer Teilfolge, richtig? Und theoretisch kann ich eine
> Folge doch in unendlich viele Teilfolgen untergliedern, die
> alle einen Grenzwert haben können....vlt. muss der Beweis
> irgendwie auf diesem Wege passieren? Wüsste aber nicht
> genau wie...
mit der Euren Definition (die eigentlich auch die übliche ist) kann eine
Folge sogar überabzählbar viele Häufungspunkte haben.
Konstruier' dazu eine Folge in [mm] $\IQ,$ [/mm] die "offensichtlich" ganz [mm] $\IQ$ [/mm] als HPe hat;
d.h. "erstmal" nur [mm] $\IQ$ $\subseteq$ $\text{Häufungspunkte der Folge}.$
[/mm]
(Oder siehe: https://matheraum.de/read?i=354914).
Wenn man die Dichtheit von [mm] $\IQ$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] kennt und beachtet: Warum muss
dann schon [mm] $\IR=\text{Häufungspunkte der Folge}$ [/mm] sein?
Gruß,
Marcel
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