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Hermite - Interpolation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:13 Mi 22.07.2020
Autor: inkeddude

Hey,

ich versuche momentan zu verstehen, wie die Hermite - Interpolation funktioniert. Sie ist in einem kurzen Abschnitt im Skript beschrieben:

******************************************************
Die Hermitsche Interpolationsaufgabe lautet wie folgt:

Gegeben:

[mm] $x_{i}, \quad [/mm] i = 0, [mm] \ldots,m$ [/mm] (paarweise verschieden)
[mm] $y_{i}^{(k)}, \quad [/mm] i = 0, [mm] \ldots, m\quad [/mm] k = 0, [mm] \ldots, \mu_{i}\quad (\mu_{i} \ge [/mm] 0)$

Gesucht: $p [mm] \in P_{n}, \quad [/mm] n = m + [mm] \sum\limits_{i = 0}^{m} \mu_{i}:\quad p^{(k)}(x_{i}) [/mm] = [mm] y_{i}^{(k)}$. [/mm]

Die Punkte [mm] $x_{i}$ [/mm] werden als [mm] $(\mu_{i} [/mm] + 1)$ - fache Stützstellen bezeichnet.


Aus Stetigkeitsgründen besitzt das Hermitsesche Interpolationspolynom einer Funktion $f [mm] \in C^{n + 1}[a, [/mm] b]$ die Darstellung

$p(x) = [mm] \sum\limits_{i = 0}^{m} \sum\limits_{ r = 1}^{\mu_{i} + 1} f[\underbrace{x_{0}, \ldots, x_{0}}_{(\mu_{0} + 1)- mal}, \ldots, \underbrace{x_{i - 1}, \ldots, x_{i - 1}}_{(\mu_{i - 1} + 1)- mal}, \underbrace{x_{i}, \ldots, x_{i}}_{r - mal}] \times \prod\limits_{j = 0}^{i - 1} [/mm] (x - [mm] x_{j})^{\mu_{j} + 1} [/mm] (x - [mm] x_{i})^{r - 1}$. [/mm]


Die dividierten Differenzen [mm] $f[\ldots]$ [/mm] sind durch ein zur Lagrangeschen Interpolation analoges Rekursionsschema, wobei immer dann, wenn Differenzen wegen des Zusammenfallens von Stützpunkten nicht nach der Definitionsformel gebildet werden können, sinngemäß die Stützwerte höherer Ordnung einzusetzen sind, z.B:

[mm] $y[x_{i}, x_{i}] [/mm] = [mm] y_{i}^{(1)}$, $y[x_{i}, x_{i}, x_{i + 1}] [/mm] = [mm] \frac{y[x_{i}, x_{i + 1}] - y_{i}^{(1)}}{x_{i + 1} - x_{i}}$ [/mm]

[mm] $y[x_{i}, x_{i},x_{i}] [/mm] = [mm] \frac{1}{2} y_{i}^{(2)}$, $y[x_{i}, x_{i}, x_{i}, x_{i + 1}] [/mm] = [mm] \frac{y[x_{i}, x_{i}, x_{i + 1}] - \frac{1}{2} y_{i}^{(2)}}{x_{i +1} - x_{i}}$ [/mm]
******************************************************


So, wie ich das verstanden habe, löst man damit z.B. folgendes Problem:


Gegeben
********


[mm] $x_{0} [/mm] = 2, [mm] x_{1} [/mm] = 4, [mm] x_{2} [/mm] = 5$  ($m = 2$)

[mm] $y_{0}^{(0)} [/mm] = - 1$, [mm] $y_{0}^{(1)} [/mm] = 3$ [mm] ($\mu_{0} [/mm] = 1)$

[mm] $y_{1}^{(0)} [/mm] = 2$ [mm] ($\mu_{1} [/mm] = 0)$

[mm] $y_{2}^{(0)} [/mm] = 0$, [mm] $y_{2}^{(1)} [/mm] = 1$, [mm] $y_{2}^{(2)} [/mm] = 5$ [mm] ($\mu_{2} [/mm] = 2)$


Gesucht
*******

$p [mm] \in P_{n}$ [/mm] mit:

$p(2) = - 1$, $p(4) = 2$, $p(5) = 0$

$p'(2) = 3$, $p'(5) = 1$, $p''(5) = 5$


Bevor ich später dieses Beispiel ausrechne, wollte ich fragen, wie man auf das Polynom

$p(x) = [mm] \sum\limits_{i = 0}^{m} \sum\limits_{ r = 1}^{\mu_{i} + 1} f[\underbrace{x_{0}, \ldots, x_{0}}_{(\mu_{0} + 1)- mal}, \ldots, \underbrace{x_{i - 1}, \ldots, x_{i - 1}}_{(\mu_{i - 1} + 1)- mal}, \underbrace{x_{i}, \ldots, x_{i}}_{r - mal}] \times \prod\limits_{j = 0}^{i - 1} [/mm] (x - [mm] x_{j})^{\mu_{j} + 1} [/mm] (x - [mm] x_{i})^{r - 1}$ [/mm] kommt.

Dieses Polynom fällt mir einfach so vom Himmel und ich würde gerne verstehen, wie man darauf kommt.

Wäre sehr dankbar für eine Erklärung.


Viele Grüße, Kevin



        
Bezug
Hermite - Interpolation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:17 Di 28.07.2020
Autor: meili

Hallo Kevin,

> Hey,
>  
> ich versuche momentan zu verstehen, wie die Hermite -
> Interpolation funktioniert. Sie ist in einem kurzen
> Abschnitt im Skript beschrieben:
>  
> ******************************************************
>  Die Hermitsche Interpolationsaufgabe lautet wie folgt:
>  
> Gegeben:
>
> [mm]x_{i}, \quad i = 0, \ldots,m[/mm] (paarweise verschieden)
>  [mm]y_{i}^{(k)}, \quad i = 0, \ldots, m\quad k = 0, \ldots, \mu_{i}\quad (\mu_{i} \ge 0)[/mm]
>  
> Gesucht: [mm]p \in P_{n}, \quad n = m + \sum\limits_{i = 0}^{m} \mu_{i}:\quad p^{(k)}(x_{i}) = y_{i}^{(k)}[/mm].
>  
> Die Punkte [mm]x_{i}[/mm] werden als [mm](\mu_{i} + 1)[/mm] - fache
> Stützstellen bezeichnet.
>  
>
> Aus Stetigkeitsgründen besitzt das Hermitsesche
> Interpolationspolynom einer Funktion [mm]f \in C^{n + 1}[a, b][/mm]
> die Darstellung
>  
> [mm]p(x) = \sum\limits_{i = 0}^{m} \sum\limits_{ r = 1}^{\mu_{i} + 1} f[\underbrace{x_{0}, \ldots, x_{0}}_{(\mu_{0} + 1)- mal}, \ldots, \underbrace{x_{i - 1}, \ldots, x_{i - 1}}_{(\mu_{i - 1} + 1)- mal}, \underbrace{x_{i}, \ldots, x_{i}}_{r - mal}] \times \prod\limits_{j = 0}^{i - 1} (x - x_{j})^{\mu_{j} + 1} (x - x_{i})^{r - 1}[/mm].
>  
>
> Die dividierten Differenzen [mm]f[\ldots][/mm] sind durch ein zur
> Lagrangeschen Interpolation analoges Rekursionsschema,
> wobei immer dann, wenn Differenzen wegen des
> Zusammenfallens von Stützpunkten nicht nach der
> Definitionsformel gebildet werden können, sinngemäß die
> Stützwerte höherer Ordnung einzusetzen sind, z.B:
>  
> [mm]y[x_{i}, x_{i}] = y_{i}^{(1)}[/mm], [mm]y[x_{i}, x_{i}, x_{i + 1}] = \frac{y[x_{i}, x_{i + 1}] - y_{i}^{(1)}}{x_{i + 1} - x_{i}}[/mm]
>  
> [mm]y[x_{i}, x_{i},x_{i}] = \frac{1}{2} y_{i}^{(2)}[/mm], [mm]y[x_{i}, x_{i}, x_{i}, x_{i + 1}] = \frac{y[x_{i}, x_{i}, x_{i + 1}] - \frac{1}{2} y_{i}^{(2)}}{x_{i +1} - x_{i}}[/mm]
>  
> ******************************************************
>  
>
> So, wie ich das verstanden habe, löst man damit z.B.
> folgendes Problem:
>  
>
> Gegeben
>  ********
>  
>
> [mm]x_{0} = 2, x_{1} = 4, x_{2} = 5[/mm]  ([mm]m = 2[/mm])
>  
> [mm]y_{0}^{(0)} = - 1[/mm], [mm]y_{0}^{(1)} = 3[/mm] ([mm]\mu_{0} = 1)[/mm]
>  
> [mm]y_{1}^{(0)} = 2[/mm] ([mm]\mu_{1} = 0)[/mm]
>  
> [mm]y_{2}^{(0)} = 0[/mm], [mm]y_{2}^{(1)} = 1[/mm], [mm]y_{2}^{(2)} = 5[/mm] ([mm]\mu_{2} = 2)[/mm]
>  
>
> Gesucht
>  *******
>  
> [mm]p \in P_{n}[/mm] mit:
>  
> [mm]p(2) = - 1[/mm], [mm]p(4) = 2[/mm], [mm]p(5) = 0[/mm]
>  
> [mm]p'(2) = 3[/mm], [mm]p'(5) = 1[/mm], [mm]p''(5) = 5[/mm]

[ok]

>  
>
> Bevor ich später dieses Beispiel ausrechne, wollte ich
> fragen, wie man auf das Polynom
>  
> [mm]p(x) = \sum\limits_{i = 0}^{m} \sum\limits_{ r = 1}^{\mu_{i} + 1} f[\underbrace{x_{0}, \ldots, x_{0}}_{(\mu_{0} + 1)- mal}, \ldots, \underbrace{x_{i - 1}, \ldots, x_{i - 1}}_{(\mu_{i - 1} + 1)- mal}, \underbrace{x_{i}, \ldots, x_{i}}_{r - mal}] \times \prod\limits_{j = 0}^{i - 1} (x - x_{j})^{\mu_{j} + 1} (x - x_{i})^{r - 1}[/mm]
> kommt.
>  
> Dieses Polynom fällt mir einfach so vom Himmel und ich
> würde gerne verstehen, wie man darauf kommt.

Ich warte immer noch darauf, dass mir eine bedeutende, noch unbekannte
Formel vom Himmel vor die Füße fällt, und ich sie einfach nur aufheben muss.

Zu verstehen wie man auf so eine Formel kommt, dazu fehlen mir
Kenntnisse in Neurologie, Psychologie und Lerntheorie.

Bei dieser Formel hat jemand versucht, ein Hermite-Interpolationspolynom
in geschlossener Form möglichst allgemein darzustellen.

Eine Hermite-Interpolation ist eine Mischung aus zwei Interpolationsproblemen.
Das eine ist die Newton'sche Darstellung eines Interpolationspolynom mit paarweise
verschiedenen Stützstellen und dazu gehörigen Funktionswerten. [mm] ($\mu_i [/mm] = 0$ für alle $i [mm] \in \{0, \ldots, m\}$) [/mm]
Das andere das Taylorpolynom zu einer Stützstelle mit Funktionswert und
Ableitungen bis zu einer bestimmten Ordnung. ($m = 0, [mm] \mu_0 [/mm] > 0$)

Die Newton'sche Darstellung eines Interpolationspolynom kann man schreiben als:
[mm]p(x) = \sum\limits_{i = 0}^{m} \left( f[x_{0}, \ldots, x_i] \times \prod\limits_{j = 0}^{i - 1} (x - x_{j}) \right) [/mm]

Kommen nun auch Ableitungen zu einer Stützstelle [mm] $x_i$ [/mm] hinzu, muss die
Stützstelle entsprechend oft auftauchen. Für das obige Beispiel wäre das
[mm] $x_0, x_0, x_1, x_2, x_2, x_2$ [/mm]

Bei der Berechnung der dividierten Differenzen treten nun Probleme auf,
wenn die Differenz gleicher Stützstellen im Nenner steht. Aber für diese
Fälle benutzt man die Ableitungen.
[mm] $f[x_0, x_0] [/mm] = [mm] y_0^{(1)}$,[/mm]   [mm]f[\underbrace{x_{i}, \ldots, x_{i}}_{(k + 1)- mal}] = \bruch{y_i^{(k)}}{k!}[/mm]

Und setzt sie an die entsprechenden Stellen im dividierte Differenzen Berechnungsschema.

Ein Taylorpolynom hat die Form
[mm]p(x) = \sum\limits_{k = 0}^{\mu_0}} \bruch{y_0^{(k)}}{k!} (x - x_{0})^k \right) [/mm]

Ist deine Frage, wie ein Beweis der Formel geht oder wie man sie auf
ein konkretes Beispiel anwendet?
Dabei kann man sich schon in dem Gewirr der Indizes verhedern,
besonders wenn leere Produkte oder Summen vorkommen.

>  
> Wäre sehr dankbar für eine Erklärung.
>  
>
> Viele Grüße, Kevin
>  
>  

Gruß
meili

Bezug
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