Homöomorphismus Diffeo usw < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:27 Mo 01.04.2013 | | Autor: | xtraxtra |
Hallo.
Ich hab ein paar Verständnisfragen, da ich mit den Definitionen in unserem Skript und auch im Internet nicht wirklich klar komme.
Was sind Homöomorphismen, Diffeomorphismen, Untermanigfaltigkeiten und Karten und wie hängen diese zusammen.
Was ich glaube zu wissen: Homöomorphismus: Ist eine Abbildung, bei der sie selbst und auch die Umkehrabbildung stetig ist. Außerdem müssen beide bijektiv sein.
Diffeomorphismus: Gleiche Eigenschaften wie Homöo, nur dass hier zusätzlich noch Differenzierbarkeit verlangt wird für Abbildung und Umkehrabbildung.
Untermanigfaltigkeit: Ist eine Untermanigfaltigkeit ein Diffemorphismus, bzw welche Eigenschaften treffen hier zu?
Karte: Eine Karte ist ein Homöomorphismus. Ist sie auch eine Untermanigfaltigkeit?
Wäre cool, wenn mir jemand die Zusammenhänge dieser 4 Begriffe kurz erklären könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:15 Di 02.04.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Hallo.
> Ich hab ein paar Verständnisfragen, da ich mit den
> Definitionen in unserem Skript und auch im Internet nicht
> wirklich klar komme.
> Was sind Homöomorphismen, Diffeomorphismen,
> Untermanigfaltigkeiten und Karten und wie hängen diese
> zusammen.
>
> Was ich glaube zu wissen: Homöomorphismus: Ist eine
> Abbildung, bei der sie selbst und auch die Umkehrabbildung
> stetig ist. Außerdem müssen beide bijektiv sein.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Diffeomorphismus: Gleiche Eigenschaften wie Homöo, nur
> dass hier zusätzlich noch Differenzierbarkeit verlangt
> wird für Abbildung und Umkehrabbildung.
> Untermanigfaltigkeit: Ist eine Untermanigfaltigkeit ein
> Diffemorphismus, bzw welche Eigenschaften treffen hier zu?
Eine Untermannigfaltigkeit ist eine Teilmenge einer Mannigfaltigkeit.
Diese Teilmenge muss ausserdem noch folgende Eigenschaft erfüllen:
Eine Teilmenge N einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit M ist genau dann
eine k-dimensionale eingebettete Untermannigfaltigkeit, wenn für jeden
Punkt p [mm] \in [/mm] N eine Karte [mm] (\varphi,U) [/mm] von M existiert, so dass die Gleichung
$ [mm] \varphi(N\cap [/mm] U) = [mm] (\mathbb{R}^k \times [/mm] 0) [mm] \cap \varphi(U)$
[/mm]
erfüllt ist. Das Zeichen $0 [mm] \in \IR^{n-k}$ [/mm] bezeichnet hier den (n-k)-Tupel
(0,...,0).
Jede eingebettete Untermannigfaltigkeit ist mit den gerade
angegebenen Karten und der induzierten Unterraumtopologie wieder eine
Mannigfaltigkeit.
> Karte: Eine Karte ist ein Homöomorphismus. Ist sie auch
> eine Untermanigfaltigkeit?
Eine Karte ist ein Spezialfall einer Untermannigfaltigkeit.
Gewisse Hommöomorphismen auch noch Karten zu nennen, kommt von
dem Begriff des "Atlas" einer Mannigfaltigkeit.
>
> Wäre cool, wenn mir jemand die Zusammenhänge dieser 4
> Begriffe kurz erklären könnte.
Gruß
meili
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