Induktionsbeweis- Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:35 Sa 01.11.2008 | | Autor: | simple |
| Aufgabe | beweisen sie mit vollständiger Induktion:
2n + 1 [mm] \le 2^{n} [/mm] für alle n [mm] \in \IN, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 3 |
hallooo =)
kann mir vll jemand bei dieser aufgabe helfen, ich komme leider nicht weiter.
ich habe probleme mit der umformung...
liebe grüße
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Hallo simple,
> beweisen sie mit vollständiger Induktion:
> 2n + 1 [mm]\le 2^{n}[/mm] für alle n [mm]\in \IN,[/mm] n [mm]\ge[/mm] 3
> hallooo =)
>
> kann mir vll jemand bei dieser aufgabe helfen, ich komme
> leider nicht weiter.
> ich habe probleme mit der umformung...
Du meinst im Induktionsschritt [mm] $n\to [/mm] n+1$ ?
Ok, Induktionsanfang machst du!
Also Induktionsschritt: [mm] $n\to [/mm] n+1$
Inuktionsvoraussetzung: Sei [mm] $n\in\IN, n\ge [/mm] 3$ beliebig aber fest und gelte [mm] $\red{2n+1\le 2^n}$
[/mm]
Nun ist zu zeigen, dass die Beh. auch für $n+1$ gilt, dass also [mm] $2(n+1)+1\le 2^{n+1}$ [/mm] ist
Nehmen wir also die linke Seite her und schauen, was wir machen können..
[mm] $2(n+1)+1=2n+3=\red{2n+1}+2\le\red{2^n}+2$ [/mm] nach Induktionsvoraussetzung
[mm] $\le 2^n+2^n=2^n\cdot{}2=2^{n+1}$
[/mm]
voilà
LG
schachuzipus
>
> liebe grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 Sa 01.11.2008 | | Autor: | simple |
also erst einmal danke =)
aber einen schritt verstehe ich nicht, wie kommt man zum letzten schritt?
wie wird die I.V. angewendet?
grüßle
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Hallo, die Induktionsvoraussetzung hat schachuzipus sogar rot geschrieben, wir bekommen dann
[mm] 2^{n}+2\le 2^{n}+2^{n}
[/mm]
es gilt [mm] 2\le 2^{n} [/mm] somit ist die rechte Seite der Ungleichung größer/gleich der linken Seite der Ungleichung für [mm] n\ge [/mm] 1
bei [mm] 2^{n}*2^{1}=2^{n+1} [/mm] kommt ein Potenzgesetz zur Anwendung
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:17 Sa 01.11.2008 | | Autor: | simple |
ok jetzt hab ichs verstanden =)
dankeschön
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