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Injektiv, Surjektiv: Beweisstrategie
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:39 Mo 08.11.2021
Autor: b.reis

Aufgabe
Untersuchen Sie die folgende Abbildung auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität und beweisen Sie ihre Ergebnisse

g: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] x -> 1-2x

h: [mm] \IN [/mm] -> [mm] \IN_{0} [/mm] n -> [mm] n^2 [/mm] -1

Hallo

Meine Frage ist, im Beweis für die Subjektivität von g gilt

für beliebig y, wähle x = (1-y)/2 mit x aus [mm] \IR [/mm]

es gilt g(x) = 1-2(1-y/2)=y

In der Funktion h mache ich das gleiche, wähle n = [mm] \wurzel{y+1} [/mm] mit n aus [mm] \IN [/mm]

also [mm] \wurzel{y+1}^{2} [/mm] -1 = (y+1) -1 = y

es gilt h(n) = y

Vielleicht habe ich was übersehen, aber die Beweisstrategie geht hier nicht auf denn y ist in [mm] \IN [/mm] und y ist gerade wobei h(n) ungerade.

somit trifft n nicht alle y in [mm] \IN_{0} [/mm] aber die Gleichung ging auf.



        
Bezug
Injektiv, Surjektiv: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:01 Mo 08.11.2021
Autor: fred97


> Untersuchen Sie die folgende Abbildung auf Injektivität,
> Surjektivität und Bijektivität und beweisen Sie ihre
> Ergebnisse
>  
> g: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] x -> 1-2x
>  
> h: [mm]\IN[/mm] -> [mm]\IN_{0}[/mm] n -> [mm]n^2[/mm] -1
>  Hallo
>  
> Meine Frage ist, im Beweis für die Subjektivität von g
> gilt
>
> für beliebig y, wähle x = (1-y)/2 mit x aus [mm]\IR[/mm]
>
> es gilt g(x) = 1-2(1-y/2)=y


Ja, damit ist gezeigt, dass g surjektiv ist.

>  
> In der Funktion h mache ich das gleiche, wähle n =
> [mm]\wurzel{y+1}[/mm] mit n aus [mm]\IN[/mm]


Vorsicht !  [mm] \wurzel{y+1} [/mm] muss nicht  in [mm] \IN [/mm] liegen, muss also nicht im Definitionsbereich von h liegen.

>
> also [mm]\wurzel{y+1}^{2}[/mm] -1 = (y+1) -1 = y
>  
> es gilt h(n) = y
>  
> Vielleicht habe ich was übersehen, aber die
> Beweisstrategie geht hier nicht auf denn y ist in [mm]\IN[/mm] und y
> ist gerade wobei h(n) ungerade.


Das verstehe ich nicht. Die Funktion h ist nicht surjektiv.

Mal angenommen h wäre surjektiv. Zu jedem m [mm] \in \IN_0 [/mm] müsste es dann ein n [mm] \in \IN [/mm] geben mit

    [mm] n^2-1=m. [/mm]

Es gibt aber sehr, sehr viele m auf die das nicht zutrifft, z.B. m=1 oder m=2 oder m=4 oder .....

>
> somit trifft n nicht alle y in [mm]\IN_{0}[/mm] aber die Gleichung
> ging auf.
>  
>  


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