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Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:22 Mi 26.07.2017
Autor: DerPinguinagent

Guten Tag,

ich habe bei folgender Aufgabe Probleme:

[mm] \integral_{3}^{4}{\bruch{10+4x}{x^2-4 x } dx}. [/mm]

Das Integral was ich rausbekomme ist [mm] [-5/2*ln(x)+13/2*ln(x-4)]_{3}^{4} [/mm] (Hab ich auch mit Math42 geprüft). Wie rechne ich nun weiter. Mein Prof würde uns ja nie eine Aufgabe geben, die man nicht lösen kann. Vor allem wenn er schreibt geben Sie den konkreten Zahlenwert an.

Ich brauche dringend eure Hilfe.

LG DerPinguinagent

        
Bezug
Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:41 Mi 26.07.2017
Autor: Diophant

Hallo,

>

> ich habe bei folgender Aufgabe Probleme:

Von welcher Art sind diese Problem?

>

> [mm]\integral_{3}^{4}{\bruch{10+4x}{x^2-4} dx}.[/mm]

>

> Das Integral was ich rausbekomme ist
> [mm][-3/2*ln(x)+13/2*ln(x-3)]_{3}^{4}[/mm] (Hab ich auch mit Math42
> geprüft).

Das ist aber völlig falsch (auch wenn eine App mit diesem Namen eigentlich alles wissen müsste...).

> Wie rechne ich nun weiter. Mein Prof würde uns
> ja nie eine Aufgabe geben, die man nicht lösen kann. Vor
> allem wenn er schreibt geben Sie den konkreten Zahlenwert
> an.

>

???

Also das ist ganz einfach: ermittle mit Hilfe einer Partialbruchzerlegung eine korrekte Stammfunktion und setze in diese die beiden Schranken ein.


Gruß, Diophant

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Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:56 Mi 26.07.2017
Autor: DerPinguinagent

Sorry, im Nenner fehlte ein x. Ich habe trotzdem das selbe raus.
Wenn das trotzdem nicht stimmt stelle ich meine Rechnung rein.
LG DerPinguinagent

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Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:05 Mi 26.07.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Sorry, im Nenner fehlte ein x. Ich habe trotzdem das selbe
> raus.
> Wenn das trotzdem nicht stimmt stelle ich meine Rechnung
> rein.

Ganz falscher Ansatz: diese gehört grundsätzlich in den Themenstart.

Dass deine Stammfunktion nach wie vor falsch ist, das zu sehen benötigt es keinerlei Rechnung: die Argumente in den Logarithmen sollten für diesen Fall mit Sicherheit die Linearfaktoren des Nenners sein, was aber bei dir nicht der Fall ist. Also braucht man keine App und keine Diskussion: führe eine korrekte Partialbruchzerlegung durch und dann stelle von vornherein die vollständige Rechnung hier vor.

Durch deine Korrektur verändert sich allerdings die Sachlage: wenn das so stimmt wie in deiner 2. Version, dann handelt es sich um ein uneigentliches Integral, welches entsprechend zu behandeln ist.


Gruß, Diophant


Gruß, Diophant

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Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:41 Mi 26.07.2017
Autor: DerPinguinagent

So meine Rechnung:

Partialbruchzerlegung von [mm] f(x)=\bruch{10+4x}{x^2-4x} [/mm]

Nulstellen des Nenners sind [mm] x_1=0 [/mm] und [mm] x_2=4 [/mm]

Demzufolge ist [mm] f(x)=\bruch{10+4x}{x^2-4x}=\bruch{10+4x}{x*(x-4)}=\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x-4} [/mm]

=> 10+4x=A*(x-4)+B*x

x=0 | 10=-4A <=> [mm] -\bruch{10}{4} [/mm] <=> [mm] -\bruch{5}{2} [/mm]

x=4 | 26=4B <=> [mm] \bruch{26}{4} [/mm] <=> [mm] \bruch{13}{2} [/mm]

=> [mm] f(x)=\bruch{10+4x}{x^2-4x}=\bruch{10+4x}{x*(x-4)}=\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x-4}=\bruch{-\bruch{5}{2}}{x}+\bruch{\bruch{13}{2}}{x-4} [/mm]

[mm] -\bruch{5}{2} \integral_{3}^{4}{\bruch{1}{x dx}} [/mm] + [mm] \bruch{13}{4} \integral_{3}^{4}{\bruch{1}{x-4}dx} [/mm]

So bin ich auf meine Stammfunktion gekommen

LG DerPinguinsgent

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Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:47 Mi 26.07.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> So meine Rechnung:

>

> Partialbruchzerlegung von [mm]f(x)=\bruch{10+4x}{x^2-4x}[/mm]

>

> Nulstellen des Nenners sind [mm]x_1=0[/mm] und [mm]x_2=4[/mm]

>

> Demzufolge ist
> [mm]f(x)=\bruch{10+4x}{x^2-4x}=\bruch{10+4x}{x*(x-4)}=\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x-4}[/mm]

>

> => 10+4x=A*(x-4)+B*x

>

> x=0 | 10=-4A <=> [mm]-\bruch{10}{4}[/mm] <=> [mm]-\bruch{5}{2}[/mm]

>

> x=4 | 26=4B <=> [mm]\bruch{26}{4}[/mm] <=> [mm]\bruch{13}{2}[/mm]

>

Das ist zwar völlig unleserlich notiert, aber es stimmt jetzt.

> =>
> [mm]f(x)=\bruch{10+4x}{x^2-4x}=\bruch{10+4x}{x*(x-4)}=\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x-4}=\bruch{-\bruch{5}{2}}{x}+\bruch{\bruch{13}{4}}{x-4}[/mm]

>


Wo um alles in der Welt kommen jetzt plötzlich die 13/4 her?

> [mm]-\bruch{5}{2} \integral_{3}^{4}{\bruch{1}{x dx}}[/mm] +
> [mm]\bruch{13}{4} \integral_{3}^{4}{\bruch{1}{x-4}dx}[/mm]

>

> So bin ich auf meine Stammfunktion gekommen

>

Ja, wie schon gesagt: bis auf den Zahlendreher stimmt das jetzt (und ist etwas völlig anderes als im Themenstart angegeben).

Was nun eigentlich dein Problem ist, hast du jetzt nach drei Fragen immer noch nicht verraten. Meine Kristallkugel sagt, dass es die obere Schranke des Integrals ist. Wie schon in meiner vorigen Antwort erwähnt: das ist hier ein uneigentliches Integral und muss entsprechend untersucht werden. Ist dir in diesem Zusammenhang der Grenzwert der Logarithmusfunktion für [mm] x\to{0} [/mm] bekannt?


Gruß, Diophant

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Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:02 Mi 26.07.2017
Autor: DerPinguinagent

Die Kristalkugel hat recht. Wie ich das jetzt mit dem Lim zeigen soll das weiß ich leider nicht.

LG DerPinguinagent

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Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:11 Mi 26.07.2017
Autor: Steffi21

Hallo, wie schon gesagt, Dein Problem ist die obere Grenze 4, die Funktion ist an der Stelle x=4 nicht definiert, für die obere Grenze 4 bekommst Du ja

[mm] -\bruch{5}{2}ln(4)+\bruch{13}{2}ln(0) [/mm]

und hier entsteht Dein Problem ln(0), ist nicht definiert

untersuche also den Grenzwert für x gegen Null

Steffi

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Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:15 Fr 28.07.2017
Autor: DerPinguinagent

Ich würde das jetzt so aufschreiben:


[mm] -\bruch{5}{2}\limes_{n\rightarrow\0} [/mm] ln(x) + [mm] \bruch{13}{2} \limes_{n\rightarrow\0} [/mm] ln(x-4)

Weiß sonst nicht wie ich es machen soll. Über Hilfe wäre ich dankbar!

LG Der Pinguinagent

Bezug
                                                                        
Bezug
Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:09 Fr 28.07.2017
Autor: angela.h.b.


> Ich würde das jetzt so aufschreiben:
>  
>
> [mm]-\bruch{5}{2}\limes_{n\rightarrow 0}[/mm] ln(x) + [mm]\bruch{13}{2} \limes_{n\rightarrow 0}[/mm]
> ln(x-4)

Hallo,

irgendwie bist Du anstrengend...
Du möchtest wohl eher den Grenzwert von x gegen irgendwas untersuchen, oder?
Wenn ich den Thread überfliege, komme ich darauf, daß es um x [mm] \to [/mm] 4 geht...

Also ist wohl
[mm] -\bruch{5}{2}\limes_{\red{x}\rightarrow 4} [/mm] ln(x) [mm] +\bruch{13}{2} \limes_{\red{x}\rightarrow 4}ln(x-4) [/mm]
zu untersuchen.

Wo genau ist das Problem?
Der erste Summand sollte keines sein.
Beim zweiten Summanden ist dann ln(0) im Spiel.
Weißt Du, wie der Graph der Logarithmusfunktion aussieht?

LG Angela


> Weiß sonst nicht wie ich es machen soll. Über Hilfe wäre
> ich dankbar!
>  
> LG Der Pinguinagent  


Bezug
                                                                                
Bezug
Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:39 Fr 28.07.2017
Autor: DerPinguinagent

Der Graph der log Funktion geht bei positiv unendlich ins positiv unendliche und bei "0" ins negative unendliche und schneidet die x Achse bei 1.

Demzufolge wäre der lim von x gegen 4 [mm] ln(x-4)=\infty [/mm]

LG DerPinguinagent

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Bezug
Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:02 Fr 28.07.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Der Graph der log Funktion geht bei positiv unendlich ins
> positiv unendliche und bei "0" ins negative unendliche und
> schneidet die x Achse bei 1.

>

> Demzufolge wäre der lim von x gegen 4 [mm]ln(x-4)=\infty[/mm]

Du widersprichst dir selbst. Oben schreibst du, die Logarithmusfunktion strebt gegen [mm] -\infty, [/mm] jetzt soll es doch [mm] \infty [/mm] sein?

Es ist

[mm] \lim_{x\rightarrow{0}}ln(x)=-\infty [/mm]

und damit

[mm] \lim_{x\rightarrow{4}}ln(x-4)=-\infty [/mm]

Das ist im übrigen heutzutage Schulwissen aus Klasse 9.


Gruß, Diophant

Bezug
                                                        
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Integration: Die gute alte Zeit
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:17 Mi 26.07.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Die Kristalkugel hat recht. Wie ich das jetzt mit dem Lim
> zeigen soll das weiß ich leider nicht.

es ist zugegebenermaßen eine halbe Ewigkeit her seit meiner Studentenzeit. Wir haben damals etwas abgefahrenes gemacht: wir haben erst gründlich den aktuellen Stoff studiert, um das ganze noch vollends ausarten zu lassen, haben wir Bücher gelesen!
Erst dann haben wir die Übungsaufgaben gemacht. Verrückt, oder?

Dass meine Kristallkugel Recht hatte freut mich. Ich habe nämlich nur das Modell 41...

Gruß, Diophant

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Bezug
Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:33 Fr 28.07.2017
Autor: fred97

Sei [mm] f(x)=\frac{10+4x}{4x-x^2} [/mm] für x [mm] \in [/mm] I:= [3,4).

Dann ist  f>0 auf I und zu untersuchen ist das Integral

[mm] $\int_I [/mm] (-f(x)) dx$

(ein uneigentliches Integra !)

Man rechnet leicht nach:

$f(x) [mm] \ge \frac{4}{4-x}$ [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] I.

Das Integral  [mm] $\int_I\frac{4}{4-x} [/mm] dx$ ist divergent ! Nach dem Minorantenkriterium ist dann auch [mm] $\int_I [/mm] f(x) dx$ divergent und somit ist auch

[mm] $\int_I [/mm] (-f(x)) dx$

divergent.

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