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| Aufgabe | Ermittle eine Stammfunktion F zu f. Überprüfen dein Ergebnis mit einem CAS.
$e) f(x) = [mm] x^2(x^3-2)^5$
[/mm]
$h) f(x) = [mm] \bruch{e^{\bruch{1}{x}}}{x^2}$ [/mm] |
Hey Leute,
ich habe mal eine Frage zu der obigen Aufgabe. Wie ermittelt man die Stammfunktion?
Fangen wir erstmal bei e) an. Was ist v(x) und u(x)? Ist $v(x) = [mm] (x^3-2)^5$? [/mm] Wie muss man die Funktion ändern um die Integration durch Substitution anwenden zu können?
Vielen Dank!
Steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:33 Mi 18.05.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Steffi!
> ich habe mal eine Frage zu der obigen Aufgabe. Wie
> ermittelt man die Stammfunktion?
Wie bereits selber in der Überschrift angedeutet: mittels Substitution.
Wähle hier: $u \ := \ [mm] x^3-2$ [/mm] .
Hier könntest Du theoretisch die Klammern ausmultiplizieren und anschließend wie gewohnt integrieren. Das wäre hier aber zu viel Arbeit ...
Dieser Weg des Ausmultiplizierens funktioniert bei f) nicht. auch hier geht es mit eine Substitution. Erstez hiuer den Exponenten der e-Funktion.
Gruß
Loddar
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Hey, danke für die Antwort. Ähm, verstehe ich dich richtig?
$u(x) = [mm] x^3 [/mm] - 2 => u'(x) = [mm] 3x^2$
[/mm]
Meinst du das so?
Ich muss die Funktion e) doch so umformen um die Substitution anwenden zu können, oder nicht?
$ [mm] \integral_{b}^{a} v'(x)*u'(v(x))\, [/mm] dx$
Was ist denn v(x) in diesem Fall?
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Müsste das nicht so sein?
$v(x) = [mm] x^3 [/mm] - 2 => v'(x) = [mm] 3x^2$
[/mm]
$u(x) = [mm] (x^3 [/mm] - [mm] 2)^5 [/mm] => u'(x) = [mm] 5(x^3-2)^4$
[/mm]
bzw.
$u(v) = [mm] v^5 [/mm] => u'(v) = [mm] 5*v^4$
[/mm]
$f(x) = [mm] x^2(x^3-2)^5 [/mm] = [mm] (3*x^2)*5(x^3-2)^4$
[/mm]
Naja, geht das überhaupt?
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Hallo Steffi,
dies ist ein Irrweg.
Im weiteren Verlauf der Diskussion geht es an anderer Stelle aber schon jetzt hilfreicher weiter - bei der Spur, die Teufel gelegt hat.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:29 Mi 18.05.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Bei der Substitution kannst du immer nach einem einfachen Schema vorgehen, das dir erlaubt, ohne viel rumzudenken was nun u'(v(x)) und v'(x) sind, das Integral zu lösen.
Beispiel:
Du willst [mm] \integral_{}^{}{e^{sin(x)}*cos(x) dx} [/mm] lösen.
Dann setze u:=sin(x).
Daraus folgt [mm] u'=\bruch{du}{dx}=cos(x). [/mm] Das darfst du dann einfach nach dx umstellen (folgt aus der Substitutionsregel, das man das in dem Fall einfach so darf, das ist eben nur eine Rechenhilfe).
Also [mm] dx=\bruch{1}{cos(x)}du.
[/mm]
Nun alles ins Integral einsetzen:
[mm] \integral_{}^{}{e^{u}*cos(x) \bruch{1}{cos(x)}du}=\integral_{}^{}{e^{u}du}=e^u [/mm] (+x).
Nun musst du wieder zurückersetzen, also alle us wieder durch xe darstellen.
Es war ja u=sin(x), also erhältst du [mm] \integral_{}^{}{e^{sin(x)}*cos(x) dx}=e^{sin(x)} [/mm] (+c).
Wenn du kein unbestimmtes Integral hast, sondern noch Grenzen dabei sind, so musst du die auch immer mitsubstituieren, oder aber du berechnest einfach erst immer das unbestimmte Integral (wie ich gerade) und setzt am Ende einfach die normalen Grenzen wieder ein (wenn überall wieder was mit x steht).
Jetzt führe das einfach mal so stur mit deinen Integral durch. Einmal setze [mm] u=x^3-2 [/mm] und beim anderen [mm] u=\frac{1}{x}, [/mm] wie schon gesagt wurde.
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Hey Teufel,
vielen Dank für das hilfreiche Beispiel! Also ich hab das jetzt am an e) angewendet und folgendes dabei rausbekommen:
$dx = [mm] \bruch{1}{3x^2}*du$
[/mm]
jetzt einsetzen:
[mm] $\bruch{x^2*u^5}{3x^2} [/mm] du = [mm] \bruch{u^5}{3} [/mm] du$
jetzt das u durch x ersetzen:
$F(x) = [mm] \bruch{(x^3-2)^5}{3}$
[/mm]
Ist das nun richtig? Ist F(x) die Stammfunktion? Was ist mit "unbestimmtes Integral" gemeint? Warum ist $cos(x)$ nicht unbestimmt?
Vielen Dank! Kannte diese Methode bisher noch nicht.
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Hallo Steffi,
jetzt hast Du einen wichtigen Schritt vergessen, nämlich das eigentliche Integrieren.
> vielen Dank für das hilfreiche Beispiel! Also ich hab das
> jetzt am an e) angewendet und folgendes dabei
> rausbekommen:
>
> [mm]dx = \bruch{1}{3x^2}*du[/mm]
>
> jetzt einsetzen:
>
> [mm]\bruch{x^2*u^5}{3x^2} du = \bruch{u^5}{3} du[/mm]
Genau. Das ist die zu integrierende Funktion.
Also: [mm] \integral{\bruch{1}{3}u^5\ du}=?
[/mm]
> jetzt das u durch x ersetzen:
Nein, erst wenn Du integriert hast.
> [mm]F(x) = \bruch{(x^3-2)^5}{3}[/mm]
>
> Ist das nun richtig? Ist F(x) die Stammfunktion?
Nein, siehe oben.
> Was ist
> mit "unbestimmtes Integral" gemeint? Warum ist [mm]cos(x)[/mm] nicht
> unbestimmt?
Ein bestimmtes Integral wird zwischen einer unteren und einer oberen Grenze ermittelt.
Ein unbestimmtes Integral führt zu einer sogenannten Stammfunktion, hat keine Grenzen (erkennbar daran, dass über und unter dem Integralzeichen nichts steht). Korrekterweise wird die Stammfunktion mit einer Integrationskonstanten (überlicherweise ein großes C) angegeben, auch daran ist es erkennbar.
Ob [mm] \cos{x} [/mm] also bestimmt oder unbestimmt integriert wird, liegt nicht in der Funktion angelegt, sondern in der Integrationsaufgabe:
unbestimmtes Integral: [mm] \integral{\cos{x}\ dx}=\sin{x}+C
[/mm]
bestimmtes Integral: [mm] \integral_{0}^{\pi/2}{\cos{x}\ dx}=[\sin{x}]_{0}^{\pi/2}=\sin{\bruch{\pi}{2}}-\sin{0}=1
[/mm]
> Vielen Dank! Kannte diese Methode bisher noch nicht.
So ganz hast Du sie auch noch nicht verstanden, aber bestimmt gleich.
Grüße
reverend
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Achso! Vielen Dank, reverend! Ja, stimmt ein dummer Fehler von mir.
Also
$ [mm] \integral{\bruch{1}{3}u^5\ du}= [\bruch{1}{18}u^6] [/mm] $
oder?
Also jetzt kann man u durch x ersetzen:
$F(x) = [mm] \bruch{1}{18}(x^3-2)^6$
[/mm]
Die Stammfunktion ist nun richtig, oder? Werde mich dann mal solange mit Aufgabe h) befassen!
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Hallo Steffi2012,
> Achso! Vielen Dank, reverend! Ja, stimmt ein dummer Fehler
> von mir.
>
> Also
>
> [mm]\integral{\bruch{1}{3}u^5\ du}= [\bruch{1}{18}u^6][/mm]
>
> oder?
Ja, das ist richtig.
>
> Also jetzt kann man u durch x ersetzen:
>
> [mm]F(x) = \bruch{1}{18}(x^3-2)^6[/mm]
>
> Die Stammfunktion ist nun richtig, oder? Werde mich dann
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> mal solange mit Aufgabe h) befassen!
Gruss
MathePower
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Vielen Dank für die Bestätigung! 
Also ich habe mich mal mit Aufgabe h) befasst:
[mm] $u:=\bruch{1}{x}$
[/mm]
$dx = [mm] du*-x^2$
[/mm]
[mm] $\integral-\bruch{e^u*x^2}{x^2}du [/mm] = [mm] \integral-e^u$
[/mm]
Ist das soweit richtig? Wenn ja, wie bekommt man nun die Stammfunktion raus, da ja ein Minus vor der e-Funktion steht?
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Hallo, ziehe das minus vor das Integral, der Faktor -1
[mm] -\integral_{}^{}{e^{u} du}
[/mm]
achte auf eine saubere mathematische Schreibweise, es fehlt eine Klammer und "du" (nicht die Anrede)
Steffi
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
ja, danke. Werde zukünftig mehr auf die mathematische Schreibweise achten (hatte zwar das "du" auf dem Blatt, allerdings die Klammern nicht).
Die Stammfunktion müsste also $F(x) = - e^{\bruch{1}{x}$ heißen, oder?
Wann benutzt man eigentlich die Substitutionsregel und wann die Partiellregel?
Und bei der Methode von Teufel, wie bestimmt man was u entspricht?
Eine weitere Aufgabe ist z.B. (habe ich hier nicht aufgelistet):
$\integral_{0}^{1} \bruch{2x}{1+x^2}$
Naja, aber hier es ist auch ein bestimmtes Integral. Wie bestimmt man u hier? Wie substituiert man diese Grenzen mit?
Vielen Dank!
LG
Steffi
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Hallo Steffi,
> ja, danke. Werde zukünftig mehr auf die mathematische
> Schreibweise achten (hatte zwar das "du" auf dem Blatt,
> allerdings die Klammern nicht).
Die "Schreibweise" ist mehr als Usus, und auch mehr als Korinthenkackerei. Mathematiker sind faul; man schreibt nur das Allernötigste auf. Das [mm] \text{du} [/mm] ist unverzichtbar, weil es die wesentliche Angabe darstellt, worüber da eigentlich integriert wird.
So ist
[mm] \integral{a^b\ dx}=a^b*x+C
[/mm]
[mm] \integral{a^b\ da}=\bruch{1}{b+1}a^{b+1}+C
[/mm]
[mm] \integral{a^b\ db}=\bruch{1}{\ln{a}}a^b+C
[/mm]
- sehr wenige Sonderfälle ausgeschlossen. Außerdem ist angenommen, dass a,b,x voneinander unabhängig sind. Trotzdem sehr verschiedene Ergebnisse! Die Integrationsvariable ist also unverzichtbarer Anteil der Aufgabe.
> Die Stammfunktion müsste also [mm]F(x) = - e^{\bruch{1}{x}[/mm]
> heißen, oder?
So ist es.
> Wann benutzt man eigentlich die Substitutionsregel und wann
> die Partiellregel?
Von Juni bis Januar wird partiell integriert, sonst substituiert, außer in den ersten 100 Tagen nach den amerikanischen Präsidentenwahlen, da wird nämlich gar nicht integriert.
Manche entscheiden allerdings auch von Aufgabe zu Aufgabe, was zielführender ist, aber das ist eine sehr altmodische Einstellung.
> Und bei der Methode von Teufel, wie bestimmt man was u
> entspricht?
Mal ernsthafter: das ist nicht so einfach. Es braucht oft etwas Inspiration und Vorstellungsvermögen, um ein passendes u zu finden. Mit ein bisschen Übung kennt man aber wenigstens ein paar Standardideen, die oft weiterhelfen. Das klingt blöd, ist aber wahr, was man von meinem letzten Absatz oben nicht zur Gänze behaupten kann.
> Eine weitere Aufgabe ist z.B. (habe ich hier nicht
> aufgelistet):
> [mm]\integral_{0}^{1} \bruch{2x}{1+x^2}[/mm]
> Naja, aber hier es
> ist auch ein bestimmtes Integral. Wie bestimmt man u hier?
> Wie substituiert man diese Grenzen mit?
Der Integrand hat doch die Form [mm] \bruch{f'(x)}{f(x)}
[/mm]
Das gehört z.B. zu den Standards.
Wenn Du nun [mm] u(x)=1+x^2 [/mm] setzt, dann ist [mm] dx=\bruch{du}{2x}
[/mm]
Als unbestimmtes Integral müsste man also nur [mm] \int{\bruch{1}{u}\ du} [/mm] ermitteln, keine schwierige Aufgabe.
Wenn das Integral aber, wie hier, ein bestimmtes ist, müssen auch die Grenzen mit substituiert werden. Wenn das Integral in x von 0 bis 1 läuft, dann läuft es in u von 1 bis 2, siehe oben (Ersetzungsformel u(x)).
Grüße
reverend
> Vielen Dank!
>
> LG
> Steffi
>
>
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