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Forum "Integrieren und Differenzieren" - Integration durch Substitution
Integration durch Substitution < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Integration durch Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:01 Do 28.11.2013
Autor: Manu3911

Aufgabe
Lösung des folgenden unbestimmten Integrals:
[mm] \integral \bruch{1}{x*(1+\wurzel[3]{x})} [/mm]

Hallo alle zusammen!

Ich weiß nicht, wie ich dieses Integral lösen soll bzw. hab ich ein Problem mit der Substitution: Wenn ich [mm] \wurzel[3]{x} [/mm] substituiere, wie mache ich das denn dann, ich hab ja da noch das x als faktor vor der klammer?

Vielen Dank schonmal!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Integration durch Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:12 Do 28.11.2013
Autor: Diophant

Hallo,

> Lösung des folgenden unbestimmten Integrals:
> [mm]\integral \bruch{1}{x*(1+\wurzel[3]{x})}[/mm]
> Hallo alle
> zusammen!

>

> Ich weiß nicht, wie ich dieses Integral lösen soll bzw.
> hab ich ein Problem mit der Substitution: Wenn ich
> [mm]\wurzel[3]{x}[/mm] substituiere, wie mache ich das denn dann,
> ich hab ja da noch das x als faktor vor der klammer?

>

> Vielen Dank schonmal!

>

Das sieht gemeiner aus, als es ist. Ad hoc habe ich folgendes erfolgreich durchgeführt:

- Substitution [mm] z=1+\wurzel[3]{x} [/mm]

- Anschließend noch eine klitzekleine Partialbruchzerlegung.

Probier es mal, ich denke, du wirst sehen, was ich meine.


Gruß, Diophant
 

Bezug
                
Bezug
Integration durch Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:32 Do 28.11.2013
Autor: Manu3911

Also, ich hab also so substituiert, wie empfohlen und bin dann auf
[mm] 3*x^{\bruch{-1}{3}}*ln(1+\wurzel[3]{x}) [/mm]
gekommen. Ist das korrekt? Was meinst du noch mit der Partialbruchzerlegung? Ich seh gerad leider nicht den Punkt, wo ich damit ansetzen könnte.
Danke!

Bezug
                        
Bezug
Integration durch Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:43 Do 28.11.2013
Autor: Steffi21

Hallo, so ist es nicht korrekt

[mm] z:=1+x^{\bruch{1}{3}} [/mm]

[mm] \bruch{dz}{dx}=\bruch{1}{3}*x^{-\bruch{2}{3}} [/mm]

[mm] dx=3*x^{\bruch{2}{3}}dz [/mm]

[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x*z}*3*x^{\bruch{2}{3}}}dz [/mm]

[mm] =\integral_{}^{}{\bruch{3}{x^{\bruch{1}{3}} *z}dz} [/mm]

[mm] =\integral_{}^{}{\bruch{3}{(z-1)*z}dz} [/mm]

wie es weitergeht, hat dir ja diophant schon gesagt

Steffi



Bezug
                                
Bezug
Integration durch Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:52 Do 28.11.2013
Autor: Manu3911

Hallo Stefi,

könntest du mir deinen letzten Schritt erklären? Wie kommst du auf das Ergebnis?
Ich hätte nach dem vorletzten schritt den faktor [mm] \bruch{3}{x^{1/3}} [/mm] vor das integral gezogen und dann nur noch [mm] \integral \bruch{1}{z}\, [/mm] dz stehen gehabt, was ja dann ln z wäre. Was mache ich denn da falsch?

Gruß, Manu

Bezug
                                        
Bezug
Integration durch Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:59 Do 28.11.2013
Autor: Steffi21

Hallo,

du machst Substitution [mm] z:=1+x^{\bruch{1}{3}} [/mm] umgestellt [mm] x^{\bruch{1}{3}}=z-1 [/mm]

du hast durch die Substitution eine neue Integrationsvariable z, im Nenner steht noch [mm] x^{\bruch{1}{3}}, [/mm] was keine KONSTANTE ist, [mm] x^{\bruch{1}{3}} [/mm] ist auch noch durch die neue Integrationsvariable zu ersetzen

Steffi



Bezug
                                                
Bezug
Integration durch Substitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:28 Do 28.11.2013
Autor: Manu3911

Dankeschön für die viele schnelle Hilfe, ich hab jetzt als Ergebnis:
[mm] 3*ln(\wurzel[3]{x})-3*ln(1+\wurzel[3]{x})+C [/mm]

Gruß Manu

Bezug
                                                        
Bezug
Integration durch Substitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:32 Do 28.11.2013
Autor: Steffi21

ist korrekt, steffi

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