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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - Isomorphismus / Kern
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Isomorphismus / Kern: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:19 Di 09.10.2018
Autor: Takota

Hallo.

Satz: Seien $ [mm] I\subset\IR [/mm] $ ein Intervall und [mm] $a_0, a_1 [/mm] : I [mm] \to [/mm] K$ zwei stetige Funktionen sowie

$ H: [mm] C^2(I,K) \to C^0(I,K), \quad [/mm] y [mm] \mapsto y"+a_1(x)*y'+a_0(x)*y.$ [/mm]

Dann gilt Kern(H) = 2.



Beweis:

Das Anfangswertproblem:

[mm] $y"+a_1(x)*y'+a_0(x)*y [/mm] = 0$ [mm] \quad $y(y_0)=y_0, y'(x_0)=y_1$ [/mm]

besitzt für jedes [mm] x_0 \in [/mm] I und alle [mm] y_0,y_1 \in [/mm] K eine eindeutige Lösung.
Dann ist die Abbildung

$H: Kern(H) [mm] \to K^2, \quad [/mm] y [mm] \to \vektor{y(x_0) \\ y_1(x_0)}=\vektor{y_0 \\ y_1} \in K^2$ [/mm]

insbesondere surjektiv, da zu jedem [mm] y_0,y_1 \in [/mm] K eine Lösung existiert und injektiv, da die Lösung eindeutig ist. Insesamt ist die Abbildung H also bijektiv und damit ein Isomorphismus. Dann folgt aus dem Dimensionssatz der linearen Algebra dim Kern(H) = dim [mm] (K^2) [/mm] = 2


Fragen:
a)
Warum wird auf [mm] K^2 [/mm] abgebildet ??
b)
Wie kann man sich diese Abbildung als Pfeildiagramm vorstellen??
Es wird ja eine DGL "y" aus dem Kern genommen und dann auf einen Vektor abgebildet? Bildlich: Links im Kreis steht ein y und im rechten Kreis ein Vektor als Punktepaar [mm] (y_0,y_1)?? [/mm]
c)
"...surjektiv, da zu jedem [mm] y_0,y_1 \in [/mm] K eine Lösung existiert ..."
Wie kann man sich diese Abbildung als Pfeildiagramm vorstellen??
d)
Wie kann man sich den Isomrphismus als Pfeildiagramm vorstellen??
e)
Warum folgt aus dem Isomorphismus das dim Kern(H) = 2 ist?

Kann mir das bitte jemand erklären?

LG
Takota

        
Bezug
Isomorphismus / Kern: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:25 Mi 10.10.2018
Autor: meili

Hallo Takota,

> Hallo.
>  
> Satz: Seien [mm]I\subset\IR[/mm] ein Intervall und [mm]a_0, a_1 : I \to K[/mm]
> zwei stetige Funktionen sowie
>  
> [mm]H: C^2(I,K) \to C^0(I,K), \quad y \mapsto y"+a_1(x)*y'+a_0(x)*y.[/mm]
>  
> Dann gilt Kern(H) = 2.

Das soll wohl dim Kern(H) = 2 heißen?
Leider steht nicht dabei was K ist. Ich nehme an [mm] $\IR$ [/mm] oder [mm] $\IC$. [/mm] Stimmt das?

>  
>
>
> Beweis:
>  
> Das Anfangswertproblem:
>  
> [mm]y"+a_1(x)*y'+a_0(x)*y = 0[/mm] [mm]\quad[/mm]  [mm]y(y_0)=y_0, y'(x_0)=y_1[/mm]

Soll das [mm]y(x_0)=y_0, y'(x_0)=y_1[/mm] sein?

>  
> besitzt für jedes [mm]x_0 \in[/mm] I und alle [mm]y_0,y_1 \in[/mm] K eine
> eindeutige Lösung.
>  Dann ist die Abbildung
>  
> [mm]H: Kern(H) \to K^2, \quad y \to \vektor{y(x_0) \\ y_1(x_0)}=\vektor{y_0 \\ y_1} \in K^2[/mm]

Es wäre besser diese Abbildung nicht auch H zu nennen,
denn es gibt schon eine andere Abbildung H.

>  
> insbesondere surjektiv, da zu jedem [mm]y_0,y_1 \in[/mm] K eine
> Lösung existiert und injektiv, da die Lösung eindeutig
> ist. Insesamt ist die Abbildung H also bijektiv und damit
> ein Isomorphismus. Dann folgt aus dem Dimensionssatz der
> linearen Algebra dim Kern(H) = dim [mm](K^2)[/mm] = 2
>  
>
> Fragen:
>  a)
>  Warum wird auf [mm]K^2[/mm] abgebildet ??

Weil es (der Beweis so) funktioniert.
[mm] $y_0$ [/mm] und [mm] $y_1$, [/mm] die beiden Anfangswerte der DGL [mm]y"+a_1(x)*y'+a_0(x)*y = 0[/mm],
können beliebig aus K gewählt werden. Mit jedem [mm] $\vektor{y_0 \\ y_1} \in K^2$ [/mm] hat man
ein (anderes) Anfangswertproblem.

>  b)
> Wie kann man sich diese Abbildung als Pfeildiagramm
> vorstellen??
>  Es wird ja eine DGL "y" aus dem Kern genommen und dann auf
> einen Vektor abgebildet? Bildlich: Links im Kreis steht ein
> y und im rechten Kreis ein Vektor als Punktepaar
> [mm](y_0,y_1)??[/mm]

$y [mm] \mapsto \vektor{y_0 \\ y_1}$ [/mm]
Meinst du das?
y ist aus dem Kern(H), also aus [mm] $C^2(I,K)$, [/mm] da $Kern(H) [mm] \subseteq C^2(I,K)$. [/mm]
y ist eine zweimal stetig differenzierbare Funktion von I nach K.

Das mit der DGL kommt erst mit dem Ansatz im Beweis. Aber funktioniert
nur, weil die Abbildung H im Satz so definiert ist, wie sie da steht
mit [mm]H: C^2(I,K) \to C^0(I,K), \quad y \mapsto y"+a_1(x)*y'+a_0(x)*y[/mm].

>  c)
>  "...surjektiv, da zu jedem [mm]y_0,y_1 \in[/mm] K eine Lösung
> existiert ..."
>  Wie kann man sich diese Abbildung als Pfeildiagramm
> vorstellen??

Es ist die gleiche Abbildung wie bei b), also [mm] Kern(H) \to K^2 \quad\mbox{mit} \quad y \mapsto \vektor{y_0 \\ y_1}[/mm]
Um zu zeigen dass diese Abbildung surjektiv ist, muss man Sätze über
Anfangswertprobleme bemühen.

>  d)
>  Wie kann man sich den Isomrphismus als Pfeildiagramm
> vorstellen??

Es ist immer noch die gleiche Abbildung H aus dem Beweis.

Um zu zeigen dass diese Abbildung ein Isomorphismus ist,
muss man klären, was zum Teil unausgesprochen vorausgesetzt wurde:
Kern(H) ist ein Vektorraum über K,
[mm] $K^2$ [/mm] ist ein Vektorraum,
H ist eine lineare Abbildung zwischen diesen beiden Vektorräumen
H ist surjektiv (siehe c) )
H ist injektiv (wird im Beweis kurz begründet, liegt aber auch an Sätzen
über Anfangswertprobleme)

>  e)
> Warum folgt aus dem Isomorphismus das dim Kern(H) = 2 ist?

Da ein Isomorphismus injektiv ist, ist [mm] $Kern(H_{Beweis}) [/mm] = 0$,
und surjektiv ist, ist $Bild [mm] (H_{Beweis}) [/mm] = [mm] K^2$. [/mm]
Mit dem Dimensionssatz ($dim \ Kern(H) = dim \ [mm] Kern(H_{Beweis}) [/mm] + dim \  Bild [mm] (H_{Beweis})$) [/mm] folgt,
dass dim Kern(H) = 2, da dim [mm] $K^2$ [/mm] = 2 ist.

>  
> Kann mir das bitte jemand erklären?
>  
> LG
>  Takota

Gruß
meili


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