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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Sa 26.01.2013 | | Autor: | dany1995 |
| Aufgabe | [mm] \beta:\IR^2->\IR^2
[/mm]
[mm] \beta((x,y)):=(x,y^3)
[/mm]
[mm] \beta [/mm] ist bijektiv.
Zeigen Sie: [mm] \beta [/mm] ist keine Kollineation. |
Hallo liebe Leute,
die Lösung, der Aufgabe oben lautet:
[mm] \beta [/mm] ist keine Kollineation, denn die Gerade mit der Gleichung x-y=0 ( wo kommt die denn auf einmal her?? ) wird nicht auf eine Gerade abgebildet, sondern auf eine Kurve mit der Gleichung [mm] x^3-y=0.
[/mm]
Sei [mm] \beta((x,y)=(u,v) [/mm] u=x , [mm] v=y^3
[/mm]
(x,y) liegt auf der Geraden mit der Gleichung x-y=0 | WARUM?
<=> x-y=0
<=> u- [mm] \wurzel[3]{v}=0 [/mm]
<=> [mm] u^3=v
[/mm]
<=> [mm] u^3-v=0
[/mm]
<=> (u,v) liegt auf eine Kurve der Gleichung [mm] x^3-y=0.
[/mm]
ich versuche hier die ganze Zeit diese Lösung zu verstehen, leider gelingt mir das nicht.
Habe daher die Hoffnung eine(r) von euch, kann mir eventuell erklären, warum man jetzt mit der Behauptung beginnt, dass die Gerade mit der Gleichung x-y=0 keine Kollineation ist. Woher kommt jetzt
die Gleichung x-y=o her.
Wie zeigt man eine Kollineation überhaupt?
Die Definition der Kollination lautet: Die bijektive affine Abbildung [mm] \beta:A \to [/mm] A heißt Kollineation, wenn für alle affine Unterräume L von A mit dim(L)=1 wieder dim [mm] (\beta(L))=1 [/mm] gilt.
Das heißt wenn das Bild von einer Geraden unter [mm] \beta [/mm] wieder eine Gerade ist (also Geraden werden auf Geraden abbgebildet).
Ich danke im Voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die Aufgabe habe ich aber im Internet gefunden (zum Üben).
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:52 Mo 28.01.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
> [mm]\beta:\IR^2->\IR^2[/mm]
> [mm]\beta((x,y)):=(x,y^3)[/mm]
>
> [mm]\beta[/mm] ist bijektiv.
> Zeigen Sie: [mm]\beta[/mm] ist keine Kollineation.
>
> Hallo liebe Leute,
>
> die Lösung, der Aufgabe oben lautet:
>
> [mm]\beta[/mm] ist keine Kollineation, denn die Gerade mit der
> Gleichung x-y=0 ( wo kommt die denn auf einmal her?? ) wird
> nicht auf eine Gerade abgebildet, sondern auf eine Kurve
> mit der Gleichung [mm]x^3-y=0.[/mm]
Hier wird in Worten das gesagt (behauptet),
was dann darunter gezeigt wird.
>
> Sei [mm]\beta((x,y)=(u,v)[/mm] u=x , [mm]v=y^3[/mm]
>
> (x,y) liegt auf der Geraden mit der Gleichung x-y=0 |
> WARUM?
Dies ist erst mal die Annahme.
Um dann zu zeigen, dass das Bild genau dieser Geraden unter der
Abbildung [mm] $\beta$ [/mm] keine Gerade ist.
Woher nimmt man nun genau diese Gerade?
Aus Intuition oder aus Erfahrung. (Falls man den Graphen der Funktion
$f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] f(x) = [mm] x^3$ [/mm] kennt)
Weil es mit der Geraden eben geht -
vielleicht ist es sogar die einfachste und naheliegenste.
>
> <=> x-y=0
> <=> u- [mm]\wurzel[3]{v}=0[/mm]
> <=> [mm]u^3=v[/mm]
> <=> [mm]u^3-v=0[/mm]
>
> <=> (u,v) liegt auf eine Kurve der Gleichung [mm]x^3-y=0.[/mm]
>
> ich versuche hier die ganze Zeit diese Lösung zu
> verstehen, leider gelingt mir das nicht.
> Habe daher die Hoffnung eine(r) von euch, kann mir
> eventuell erklären, warum man jetzt mit der Behauptung
> beginnt, dass die Gerade mit der Gleichung x-y=0 keine
> Kollineation ist. Woher kommt jetzt
> die Gleichung x-y=o her.
> Wie zeigt man eine Kollineation überhaupt?
Wenn eine Abbildung keine Kollineation ist, und dies gezeigt werden soll,
genügt es ein Gegenbeispiel zu finden, was hier gemacht wurde.
Will man zeigen, eine Abbildung ist eine Kollineation, so muss man zeigen,
dass jede Gerade auf eine Gerade abgebildet wird.
Also allgemeine Geradengleichung nehmen,
(vielleicht noch Fallunterscheidung machen, wegen senkrechten Geraden),
darauf (bzw. auf die x und y die diese Gleichung erfüllen)
die Abbildung anwenden und zeigen, dass das Bild eine Gerade gibt.
>
> Die Definition der Kollination lautet: Die bijektive affine
> Abbildung [mm]\beta:A \to[/mm] A heißt Kollineation, wenn für
> alle affine Unterräume L von A mit dim(L)=1 wieder dim
> [mm](\beta(L))=1[/mm] gilt.
>
> Das heißt wenn das Bild von einer Geraden unter [mm]\beta[/mm]
> wieder eine Gerade ist (also Geraden werden auf Geraden
> abbgebildet).
>
> Ich danke im Voraus
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Die Aufgabe habe ich aber im Internet gefunden (zum
> Üben).
>
>
>
Gruß
meili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:28 Sa 02.02.2013 | | Autor: | dany1995 |
Danke meili 
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